ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

Математическая постановка задачи линейного программирования

1 Задача об использовании ресурсов

Фирма производит два продукта А и В, рынок которых неограничен. Каждый продукт должен быть обработан каждой из машиной I, II, III. Время обработки в часах для каждого из изделий А и В приведено в таблице.

Таблица 1 – Исходные данные задачи 1

	I	II	III
А	0,5	0,4	0,2
В	0,25	0,3	0,4

Время работы машин I, II, III соответственно 40, 36 и З6 часов в неделю. Прибыль от изделий А и В составляет 5 и 3 долларов за одно изделие.

Надо определить недельные нормы выпуска изделий А и В, при которых прибыль предприятия будет максимальной.

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим недельные нормы выпуска изделий: через x₁ – вида А, x₂ – вида В.

Так как прибыль от реализации единицы продукции вида А составляет 5 долларов, то прибыль от реализации всей продукции вида А составляет 5x₁ долларов.

Прибыль от реализации единицы продукции вида В составляет 3 доллара, прибыль от реализации всей продукции вида В составляет 3x₂ долларов.

Общая прибыль предприятия Z = 5x₁ + 3x₂ долларов.

Это выражение – целевая функция, которую нужно максимизировать.

Общее время работы I машины составляет 0,5x₁ + 0,25x₂, а так как допустимое время работы I машины 40 часов в неделю, получаем первое ограничение 0,5x₁ + 0,25x₂ ≤ 40.

Аналогично получаем ограничения по времени работы в неделю II и III машин 0,4x₁ + 0,3x₂ ≤ 36, 0,2x₁ + 0,4x₂ ≤ 36.

Кроме того, по смыслу задачи x_i ≥ 0 (i = 1, 2).

Получаем математическую модель задачи: среди неотрицательных решений системы линейных неравенств

0,5x₁ + 0,25x₂ ≤ 40,

0,4x₁ + 0,3x₂ ≤ 36,

0,2x₁ + 0,4x₂ ≤ 36

найти решение, обеспечивающее максимум функции

5x₁ + 3x₂ → max.

2 Задача составления рациона

Фирма занимается составлением диеты, содержащей, по крайней мере 20 единиц белков, 30 единиц углеводов, 10 единиц жиров и 40 единиц витаминов. Как дешевле достичь этого при указанных в таблице 2 ценах на 1 кг (или 1 л) пяти имеющихся продуктов?

Таблица 2 – Исходные данные задачи 2

	Хлеб	Соя	Сушеная рыба	Фрукты	Молоко
Белки	2	12	10	1	2
Углеводы	12	0	0	4	3
Жиры	1	8	3	0	4
Витамины	2	2	4	6	2
Цена	12	36	32	18	10

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим через x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ – количество (в килограммах или литрах) соответственно хлеба, сои, рыбы, фруктов и молока, входящих в ежедневный рацион.

Так как цена одного кг хлеба равна 12 денежных единиц, то затраты на хлеб составят 12x₁ денежных единиц.

Цена одного кг сои составляет 36 денежных единиц, затраты на сою составят 36x₂ денежных единиц.

Аналогично, стоимость рыбы, фруктов и молока в ежедневном рационе будет 32x₃, 18x₄, 10x₅ денежных единиц соответственно.

Общая стоимость рациона Z = 12x₁ + 36x₂ + 32x₃ + 18x₄ + 10x₅ денежных единиц.

Это выражение – целевая функция, которую нужно минимизировать.

Общее содержание белка в рационе составляет 2x₁ + 12x₂ + 10x₃ + x₄ + 2x₅, а так в день необходимо, по крайней мере 20 единиц белков, получаем первое ограничение 2x₁ + 12x₂ + 10x₃ + x₄ + 2x₅ ≥ 20.

Аналогично получаем ограничения по углеводам, жирам и витаминам 12x₁ + 4x₄ + 3x₅ ≥ 30, x₁ + 8x₂ + 3x₃ + 4x₅ ≥ 10, 2x₁ + 2x₂ + 4x₃ + 6x₄ + 2x₅ ≥ 40.

Кроме того, по смыслу задачи x_i ≥ 0 (i = 1, 2, …, 5).

Получаем математическую модель задачи: среди неотрицательных решений системы линейных неравенств

2x₁ + 12x₂ + 10x₃ + x₄ + 2x₅ ≥ 20,

12x₁ + 4x₄ + 3x₅ ≥ 30,

x₁ + 8x₂ + 3x₃ + 4x₅ ≥ 10,

2x₁ + 2x₂ + 4x₃ + 6x₄ + 2x₅ ≥ 40

найти решение, обеспечивающее минимум функции

12x₁ + 36x₂ + 32x₃ + 18x₄ + 10x₅ → min.

3 Задача о загрузке оборудования

Производитель безалкогольных напитков располагает двумя разливочными машинами А и В. Машина А спроектирована для пол-литровых бутылок, а машина В – для литровых, но каждая из них может использоваться для обоих типов бутылок с некоторой потерей эффективности в соответствии с приведенными в таблице сведениями о работе машин.

Таблица 3 – Исходные данные задачи 3

Машина	Количество бутылок, производимых в 1 мин
	Пол-литровые бутылки	Литровые бутылки
А В	50 40	20 30

Каждая машина работает ежедневно по 6 часов при пятидневной рабочей неделе. Прибыль от пол-литровой бутылки составляет 4 цента, а от литровой – 10 центов. Недельная продукция не может превосходить 50000 литров; рынок принимает не более 44000 пол-литровых бутылок и 30000 литровых. Производитель хочет максимизировать свою прибыль при имеющихся средствах. Сформулируйте задачу максимизации прибыли.

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим x₁₁ – количество пол-литровых бутылок, выпускаемых в неделю на машине А, x₁₂ – количество литровых бутылок, выпускаемых в неделю на машине А, x₂₁ – количество пол-литровых бутылок, выпускаемых в неделю на машине В, x₂₂ – количество литровых бутылок, выпускаемых в неделю на машине В.

Общее количество пол-литровых бутылок, выпускающихся на двух машинах x₁₁ + x₂₁, прибыль от их реализации составит 4(x₁₁ + x₂₁) центов.

Общее количество литровых бутылок, выпускающихся на двух машинах x₁₂ + x₂₂, прибыль от их реализации составит 10(x₁₂ + x₂₂) центов.

Общая прибыль производителя за неделю составит 4(x₁₁ + x₂₁) + 10(x₁₂ + x₂₂). Это выражение – целевая функция, которую нужно максимизировать.

Недельная продукция не может превосходить 50000 литров

0,5(x₁₁ + x₂₁) + 1(x₁₂ + x₂₂) ≤ 50000.

Рынок принимает не более 44000 пол-литровых бутылок x₁₁ + x₂₁ ≤ 44000.

Рынок принимает не более 30000 литровых бутылок x₁₁ + x₁₂ ≤ 30000.

Время, которое машина А выпускает пол-литровые бутылки, составляет x₁₁/50 минут, литровые – x₁₂/20 минут, общее время работы машины А (x₁₁/50 + x₁₂/20)/60 = x₁₁/3000 + x₁₂/1200 часов.

Время, которое машина В выпускает пол-литровые бутылки, составляет x₂₁/40 минут, литровые – x₂₂/30 минут, общее время работы машины В (x₂₁/40 + x₂₂/30)/60 = x₂₁/2400 +x₂₂/1800 часов.

Так как время работы каждой машины ограничено и не превышает 30 часов в неделю, получаем ограничения x₁₁/3000 + x₁₂/1200 ≤ 30 и x₂₁/2400 +x₂₂/1800 ≤ 30.

Кроме того, по смыслу задачи x_ij ≥ 0 (i = 1, 2; j = 1, 2)

Получаем математическую модель задачи: среди неотрицательных решений системы линейных неравенств

0,5(x₁₁ + x₂₁) + 1(x₁₂ + x₂₂) ≤ 50000,

x₁₁ + x₂₁ ≤ 44000,

x₁₂ + x₂₂ ≤ 30000,

x₁₁/3000 + x₁₂/1200 ≤ 30,

x₂₁/2400 +x₂₂/1800 ≤ 30

найти решение, обеспечивающее максимум функции

4(x₁₁ + x₂₁) + 10(x₁₂ + x₂₂) → max.

4 Задача о раскрое материалов

Необходимо распилить 20 бревен длиной по 5 м каждое на бруски по 2 м и 3 м, при этом отношение полученных брусков 3:2.

Составить такой план распила, при котором будет получено максимальное число комплектов и все бревна будут распилены (в один комплект входит 3 бруска по 2 м и 2 бруска по3 м).

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи.

Рассмотрим число способов распила бревен. Таких способов всего два и они представлены в таблице.

Таблица 4 – Варианты распила бревен

Способ распила	Количество брусков длиной
	2 м	3 м
1	2	0
2	1	1

Обозначим x₁ – число бревен, раскраиваемых 1-ым способом, x₂ – число бревен, раскраиваемых 2-ым способом и x – число изготавливаемых комплектов брусков.

Так как общее количество бревен равно сумме его единиц, раскраиваемых различными способами, то x₁ + x₂ = 20.

Требование комплектности выразится уравнениями 2x₁ + x₂ = 3x, x₂ = 2x.

Очевидно, что x_i ≥ 0 (i = 1, 2).

Получаем математическую модель задачи: среди неотрицательных решений системы линейных уравнений

x₁ + x₂ = 20,

2x₁ + x₂ = 3x,

x₂ = 2x

найти решение, обеспечивающее максимум функции Z = x.

Задачи для самостоятельной работы