
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
Математическая постановка задачи линейного программирования
1 Задача об использовании ресурсов
Фирма производит два продукта А и В, рынок которых неограничен. Каждый продукт должен быть обработан каждой из машиной I, II, III. Время обработки в часах для каждого из изделий А и В приведено в таблице.
Таблица 1 – Исходные данные задачи 1
|
I |
II |
III |
А |
0,5 |
0,4 |
0,2 |
В |
0,25 |
0,3 |
0,4 |
Время работы машин I, II, III соответственно 40, 36 и З6 часов в неделю. Прибыль от изделий А и В составляет 5 и 3 долларов за одно изделие.
Надо определить недельные нормы выпуска изделий А и В, при которых прибыль предприятия будет максимальной.
Решение. Составим экономико-математическую модель задачи.
Обозначим недельные нормы выпуска изделий: через x1 – вида А, x2 – вида В.
Так как прибыль от реализации единицы продукции вида А составляет 5 долларов, то прибыль от реализации всей продукции вида А составляет 5x1 долларов.
Прибыль от реализации единицы продукции вида В составляет 3 доллара, прибыль от реализации всей продукции вида В составляет 3x2 долларов.
Общая прибыль предприятия Z = 5x1 + 3x2 долларов.
Это выражение – целевая функция, которую нужно максимизировать.
Общее время работы I машины составляет 0,5x1 + 0,25x2, а так как допустимое время работы I машины 40 часов в неделю, получаем первое ограничение 0,5x1 + 0,25x2 ≤ 40.
Аналогично получаем ограничения по времени работы в неделю II и III машин 0,4x1 + 0,3x2 ≤ 36, 0,2x1 + 0,4x2 ≤ 36.
Кроме того, по смыслу задачи xi ≥ 0 (i = 1, 2).
Получаем математическую модель задачи: среди неотрицательных решений системы линейных неравенств
0,5x1 + 0,25x2 ≤ 40,
0,4x1 + 0,3x2 ≤ 36,
0,2x1 + 0,4x2 ≤ 36
найти решение, обеспечивающее максимум функции
5x1 + 3x2 → max.
2 Задача составления рациона
Фирма занимается составлением диеты, содержащей, по крайней мере 20 единиц белков, 30 единиц углеводов, 10 единиц жиров и 40 единиц витаминов. Как дешевле достичь этого при указанных в таблице 2 ценах на 1 кг (или 1 л) пяти имеющихся продуктов?
Таблица 2 – Исходные данные задачи 2
|
Хлеб |
Соя |
Сушеная рыба |
Фрукты |
Молоко |
Белки |
2 |
12 |
10 |
1 |
2 |
Углеводы |
12 |
0 |
0 |
4 |
3 |
Жиры |
1 |
8 |
3 |
0 |
4 |
Витамины |
2 |
2 |
4 |
6 |
2 |
Цена |
12 |
36 |
32 |
18 |
10 |
Решение. Составим экономико-математическую модель задачи.
Обозначим через x1, x2, x3, x4, x5 – количество (в килограммах или литрах) соответственно хлеба, сои, рыбы, фруктов и молока, входящих в ежедневный рацион.
Так как цена одного кг хлеба равна 12 денежных единиц, то затраты на хлеб составят 12x1 денежных единиц.
Цена одного кг сои составляет 36 денежных единиц, затраты на сою составят 36x2 денежных единиц.
Аналогично, стоимость рыбы, фруктов и молока в ежедневном рационе будет 32x3, 18x4, 10x5 денежных единиц соответственно.
Общая стоимость рациона Z = 12x1 + 36x2 + 32x3 + 18x4 + 10x5 денежных единиц.
Это выражение – целевая функция, которую нужно минимизировать.
Общее содержание белка в рационе составляет 2x1 + 12x2 + 10x3 + x4 + 2x5, а так в день необходимо, по крайней мере 20 единиц белков, получаем первое ограничение 2x1 + 12x2 + 10x3 + x4 + 2x5 ≥ 20.
Аналогично получаем ограничения по углеводам, жирам и витаминам 12x1 + 4x4 + 3x5 ≥ 30, x1 + 8x2 + 3x3 + 4x5 ≥ 10, 2x1 + 2x2 + 4x3 + 6x4 + 2x5 ≥ 40.
Кроме того, по смыслу задачи xi ≥ 0 (i = 1, 2, …, 5).
Получаем математическую модель задачи: среди неотрицательных решений системы линейных неравенств
2x1 + 12x2 + 10x3 + x4 + 2x5 ≥ 20,
12x1 + 4x4 + 3x5 ≥ 30,
x1 + 8x2 + 3x3 + 4x5 ≥ 10,
2x1 + 2x2 + 4x3 + 6x4 + 2x5 ≥ 40
найти решение, обеспечивающее минимум функции
12x1 + 36x2 + 32x3 + 18x4 + 10x5 → min.
3 Задача о загрузке оборудования
Производитель безалкогольных напитков располагает двумя разливочными машинами А и В. Машина А спроектирована для пол-литровых бутылок, а машина В – для литровых, но каждая из них может использоваться для обоих типов бутылок с некоторой потерей эффективности в соответствии с приведенными в таблице сведениями о работе машин.
Таблица 3 – Исходные данные задачи 3
Машина |
Количество бутылок, производимых в 1 мин |
|
Пол-литровые бутылки |
Литровые бутылки |
|
А В |
50 40 |
20 30 |
Каждая машина работает ежедневно по 6 часов при пятидневной рабочей неделе. Прибыль от пол-литровой бутылки составляет 4 цента, а от литровой – 10 центов. Недельная продукция не может превосходить 50000 литров; рынок принимает не более 44000 пол-литровых бутылок и 30000 литровых. Производитель хочет максимизировать свою прибыль при имеющихся средствах. Сформулируйте задачу максимизации прибыли.
Решение. Составим экономико-математическую модель задачи.
Обозначим x11 – количество пол-литровых бутылок, выпускаемых в неделю на машине А, x12 – количество литровых бутылок, выпускаемых в неделю на машине А, x21 – количество пол-литровых бутылок, выпускаемых в неделю на машине В, x22 – количество литровых бутылок, выпускаемых в неделю на машине В.
Общее количество пол-литровых бутылок, выпускающихся на двух машинах x11 + x21, прибыль от их реализации составит 4(x11 + x21) центов.
Общее количество литровых бутылок, выпускающихся на двух машинах x12 + x22, прибыль от их реализации составит 10(x12 + x22) центов.
Общая прибыль производителя за неделю составит 4(x11 + x21) + 10(x12 + x22). Это выражение – целевая функция, которую нужно максимизировать.
Недельная продукция не может превосходить 50000 литров
0,5(x11 + x21) + 1(x12 + x22) ≤ 50000.
Рынок принимает не более 44000 пол-литровых бутылок x11 + x21 ≤ 44000.
Рынок принимает не более 30000 литровых бутылок x11 + x12 ≤ 30000.
Время, которое машина А выпускает пол-литровые бутылки, составляет x11/50 минут, литровые – x12/20 минут, общее время работы машины А (x11/50 + x12/20)/60 = x11/3000 + x12/1200 часов.
Время, которое машина В выпускает пол-литровые бутылки, составляет x21/40 минут, литровые – x22/30 минут, общее время работы машины В (x21/40 + x22/30)/60 = x21/2400 +x22/1800 часов.
Так как время работы каждой машины ограничено и не превышает 30 часов в неделю, получаем ограничения x11/3000 + x12/1200 ≤ 30 и x21/2400 +x22/1800 ≤ 30.
Кроме того, по смыслу задачи xij ≥ 0 (i = 1, 2; j = 1, 2)
Получаем математическую модель задачи: среди неотрицательных решений системы линейных неравенств
0,5(x11 + x21) + 1(x12 + x22) ≤ 50000,
x11 + x21 ≤ 44000,
x12 + x22 ≤ 30000,
x11/3000 + x12/1200 ≤ 30,
x21/2400 +x22/1800 ≤ 30
найти решение, обеспечивающее максимум функции
4(x11 + x21) + 10(x12 + x22) → max.
4 Задача о раскрое материалов
Необходимо распилить 20 бревен длиной по 5 м каждое на бруски по 2 м и 3 м, при этом отношение полученных брусков 3:2.
Составить такой план распила, при котором будет получено максимальное число комплектов и все бревна будут распилены (в один комплект входит 3 бруска по 2 м и 2 бруска по3 м).
Решение. Составим экономико-математическую модель задачи.
Рассмотрим число способов распила бревен. Таких способов всего два и они представлены в таблице.
Таблица 4 – Варианты распила бревен
Способ распила |
Количество брусков длиной |
|
2 м |
3 м |
|
1 |
2 |
0 |
2 |
1 |
1 |
Обозначим x1 – число бревен, раскраиваемых 1-ым способом, x2 – число бревен, раскраиваемых 2-ым способом и x – число изготавливаемых комплектов брусков.
Так как общее количество бревен равно сумме его единиц, раскраиваемых различными способами, то x1 + x2 = 20.
Требование комплектности выразится уравнениями 2x1 + x2 = 3x, x2 = 2x.
Очевидно, что xi ≥ 0 (i = 1, 2).
Получаем математическую модель задачи: среди неотрицательных решений системы линейных уравнений
x1 + x2 = 20,
2x1 + x2 = 3x,
x2 = 2x
найти решение, обеспечивающее максимум функции Z = x.
Задачи для самостоятельной работы