10. Специальные задачи линейного программирования: транспортная задача, решение средствами ms Excel

Транспортная задача является одной из наиболее распространенных задач линейного программирования и находит широкое практическое приложение.

Постановка задачи (об оптимальном закреплении потребителей к поставщикам). Некоторый однородный продукт, сосредоточенный у m производителей (поставщиков) A_i в количестве a_i единиц, необходимо доставить n потребителям B_j в количестве b_j единиц. Известна стоимость c_ij перевозки единицы груза от поставщика i к потребителю j. Необходимо составить план перевозок, позволяющий с минимальными затратами перевезти все грузы и полностью удовлетворить потребителей.

Часто исходные данные транспортной задачи записывают в виде таблицы (матрицы) планирования:

Потребитель Производитель	B1	B2		Bn	Предложение (запасы)
A1	c11	c12		c1n	a1
A2	c21	c22		c2n	a2
					
Am	cm1	cm2		cmn	am
Потребность (спрос)	b1	b2		bn

Составим экономико-математическую модель (транспортная задача относится к двухиндексным задачам линейного программирования):

1. вводим переменные: , где x_ij – количество единиц груза, перевозимых от поставщика i к потребителю j ; стоимость этой перевозки составит ;

2. задаем целевую функцию , которая выражает стоимость перевозок всех грузов;

3. из условий задачи составляем ограничения:

1. все грузы должны быть перевезены, т.е.

;

2. все потребности должны быть удовлетворены, т.е.

.

Таким образом, модель транспортной задачи имеет следующий вид:

Найти минимальное значение целевой функции
	(10.1)
при ограничениях
,	(10.2)
,	(10.3)
, , .	(10.4)

В рассмотренной модели предполагается, что суммарные запасы равны суммарным потребностям, т.е.

.

(10.5)

Транспортная задача, в которой суммарные запасы и суммарные потребности совпадают, называется закрытой транспортной задачей, в противном случае получаем открытую транспортную задачу.

Замечание. Решение открытой ТЗ проводится сведением к закрытой ТЗ (введением фиктивного поставщика или фиктивного потребителя):

1. если суммарные запасы превышают суммарные потребности, то вводится фиктивный потребитель B_n+1, потребность которого равна ;

2. если суммарные потребности превышают суммарные запасы, то вводится фиктивный поставщик A_m+1, запасы которого равны .

Стоимость перевозки единицы груза до фиктивного потребителя или от фиктивного поставщика приравнивается нулю, так как груз в обоих случаях фактически не перевозится.