2.5. Определение радиуса кривизны траектории

Пусть дан закон движения точки в координатной форме (2.2), а нужно найти a_τ , a_n и определить радиус кривизны траектории.

Искомый радиус кривизны входит в выражение нормального ускорения точки:

a_n = v²/ρ, (2.14)

поэтому можно наметить следующий план решения задачи.

По известному закону движения находим:

1. |v|² = v_x² + v_y² + v_z²;

2. |a|² = a_x² + a_y² + a_z²;

3. | a_τ | = |a| |cos(a,v)| = |(a·τ)|;

4. | a_n | = |a| |sin(a,v)| = |(a×v)|/|v|;

5. ρ = v²/a_n.

Рассмотрим подробнее данную процедуру, полагая для простоты, что точка движется в плоскости xOy.

Определяем касательное и нормальное ускорения как проекции полного ускорения на касательную и нормаль.

| a_τ | = |a|·|cos(a,v)| = |(a·τ)| = |(a·v)|/|v| = ; (2.21)

| a_n | = |a| |sin(a,v)| = |(a×v)|/|v| = , (2.22)

поскольку у векторного произведения:

i	j	k
ax	ay	az
vx	vy	vz

=

(a×v) =

= i (a_y v_z – v_y a_z) – j (a_x v_z – v_x a_z) + k (a_x v_y – v_x a_y)

в нашем случае только последняя компонента будет отличной от нуля.

Находим с учетом (2.22) радиус кривизны траектории:

ρ = (2.23)

и кривизну кривой:

k = 1/ρ = . (2.24)

Отметим, что если известно уравнение траектории в виде y = y(x), то вместо (2.24) можно воспользоваться формулой, знакомой студентам из курсов математики или сопромата:

k = 1/ρ = . (2.25)

Нетрудно убедиться, что они равнозначны. В самом деле:

.

Подставляя в (2.25), получим:

k = 1/ρ = = =

= =

То есть действительно (2.25) эквивалентно (2.24).

Примечания

1. Процедура определения кривизны траектории может некоторыми деталями отличаться от рассмотренной выше. Например, касательное ускорение a_τ можно искать, исходя из зависимости:

|v|² = v_τ² = v_x² + v_y² + v_z² ,

дифференцируя которую, получим:

,

откуда

что совпадает, как видим, с формулой (2.21) при движении точки в плоскости xOy.

Нормальное ускорение a_n также можно найти, исходя из соотношения

,

однако в любом случае мы определяем радиус кривизны траектории как ρ = v²/a_n .

2. Проверить правильность полученных результатов можно с помощью зависимости:

a_τ² + a_n² = a_x² + a_y².

3. Если скорость точки, движущейся по плоской кривой с конечным радиусом кривизны в некоторый момент времени станет равной нулю , то вместе со скоростью обратится в ноль и нормальное ускорение, поэтому формулы (2.23) и (2.24) дадут неверный результат.

Для определения кривизны кривой в этом случае вместо (2.24) нужно воспользоваться формулой (2.25) или изменить закон движения точки по траектории, что никак не повлияет на ее кривизну.

Пример 2.4. Определить минимальный и максимальный радиус кривизны эллипса с полуосями a и b (рис. 2.11).

Решение. Зададим любой закон движения точки, возможный при данной траектории. Например:

x = a cost;

y = b sint.

В самом деле, исключая параметр t, получим уравнение траектории, представляющей собой эллипс с полуосями a и b:

(x/a)² + (y/b)² = 1.

Проекции скоростей и ускорений будут равны:

Минимальный радиус кривизны эллипса будет в точке А, которой соответствует t = 0:

Максимальный радиус кривизны будет в точке В при t = π/2:

Подставляя в (2.23), получим:

ρ_А =

ρ_В =

Ответ: ρ_А = b²/a ; ρ_В = a²/b.

Пример 2.5. Определить максимальную и минимальную кривизну траектории в примере 2.3.

Решение. Максимальная кривизна и соответственно минимальный радиус кривизны будут в нижней точке траектории, где движущаяся точка находится в начальный момент времени t₁ = 0 и затем через каждые π секунд.

Подставляя в формулу (2.24) , , получим:

k(0) = 1/ρ(0) =

Минимальной будет кривизна в самых верхних точках траектории, куда движущаяся точка попадает в моменты времени t₂ = π/2 и затем через каждые π секунд. При этом скорость и нормальное ускорение точки обращаются в ноль и формула (2.24) приводит к неопределенному результату.

В таких случаях, как уже отмечалось выше, нужно воспользоваться формулой (2.25) или изменить закон движения точки по траектории, задав его, например, в виде: x = t, y = t². При этом точке М₂(1,1) на рис. 2.10 будет соответствовать момент времени t = 1, для которого

и по формуле (2.24) для точки М₂(1,1) мы получим:

k(1,1) =

Ответ: k(0,0) = 2; k(1,1) = .