Глава 6. Сложное движение точки

6.1. Основные понятия и теорема о сложении скоростей

Рассмотрим движение тела в неподвижной – глобальной системе координат О₁ξηζ . Пусть по поверхности этого тела, с которым жестко связана подвижная – локальная система координат Oxyz , движется точка М (рис. 6.1).

Определение. Сложным называется такое движение точки, при котором она перемещается относительно тела и одновременно движется вместе с ним.

Определение. Движение точки М по отношению к неподвижной системе отсчета О₁ξηζ называется абсолютным. Скорость v_a и ускорение a_a этого движения называются абсолютной скоростью и абсолютным ускорением.

Определение. Движение точки М относительно подвижной системы отсчета Oxyz называется относительным. Скорость v_r и ускорение a_r этого движения называются относительными.

Определение. Движение той точки твердого тела, где в данный момент времени находится точка М, относительно неподвижной системы отсчета О₁ξηζ называется переносным. Скорость v_e и ускорение a_e этого движения называются переносными.

Теорема. Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей:

v_a = v_e + v_r (6.1)

Доказательство. Проведем радиус-векторы, определяющие положение центра О подвижной системы отсчета и движущейся точки в каждой системе координат.

В каждый момент времени между ними будет зависимость:

ρ = ρ_O + r = ρ_O + (xi + yj + zk),

дифференцируя которую, получим:

v_a = dρ/dt = dρ_O /dt + ( i + j + k) + [x(di/dt) + y(dj/dt) + z(dk/dt)]. (6.2)

Выясним смысл слагаемых, входящих в (6.2). Пусть тело неподвижно, а точка М движется по нему. Тогда абсолютное движение совпадает с относительным, векторы ρ_O, i, j и k остаются постоянными по величине и направлению, и из формулы (6.2) получим:

v_r = ( i + j + k). (6.3)

Пусть затем наоборот – точка не движется по телу, но движется вместе с ним. Тогда абсолютное движение совпадает с переносным, x, y, z = const и из (6.3) следует, что

v_e = dρ_O /dt + [x(di/dt) + y(dj/dt) + z(dk/dt)]. (6.4)

Подставляя (6.3) и (6.4) в (6.2), получим (6.1).

6.2 Теорема Кориолиса об ускорении точки в сложном движении

Теорема. Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: переносного, относительного и кориолисова:

a_a = a_e + a_r + a_k, (6.5)

где последнее равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения и скорости точки в относительном движении:

a_k = 2(ω_е  v_r). (6.6)

Доказательство. Приведем доказательство для случая плоского переносного движения.

Пусть тело, с которым жестко связана локальная система координат Oxyz, движется относительно неподвижной системы отсчета О₁ξηζ, скользя нижним основанием по неподвижной плоскости π₀, совпадающей с плоскостью О₁ξη (рис. 6.2). Пусть точка М перемещается по телу, и в данный момент времени попадает в плоскость π₁, параллельную плоскости π₀.

Проведем через центр O ось Оξ, параллельную неподвижной оси О₁ξ и обозначим через O´ точку пересечения плоскости π₁ с осью Оξ.

Движение тела описывается движением плоского сечения π₁, которое представим суммой его поступательного движения вместе с полюсом O´ и вращения вокруг оси Оξ с угловой скоростью ω_е и угловым ускорением ε_е.

Абсолютное ускорение точки a_a найдем как производную от ее абсолютной скорости v_a:

a_a = (dv_a/dt) (d²ρ_O /dt²) + ( i + j + k) + [x(d²i/dt²) + y(d²j/dt²) + z(d²k/dt²)] +

+ 2[(di/dt) + (dj/dt) + (dk/dt) ] = A + B + C + 2D, (6.7)

где di/dt – скорость конца вектора i, вращающегося вокруг оси Оξ с угловой скоростью ω_е. По аналогии с (4.9) она равна выражению:

di/dt = ω_е  i, (6.8)

дифференцируя которое, получим:

d²i/dt² = (ε_е  i) + ω_е  (di/dt) = (ε_е  i) + ω_е  (ω_е  i). (6.9)

С учетом (6.8), (6.9) и таких же формул для других ортов выражения C и D, входящие в (6.7), можно записать в следующем виде:

C = [(d²i/dt²) x + (d²j/dt²) y + (d²k/dt²) z] = [(ε_е  i) + ω_е  (ω_е  i)] x +

+ [(ε_е  j) + ω_е  (ω_е  j)]y + [(ε_е  k) + ω_е  (ω_е  k)]z = [ε_е  ( xi + yj + zk)] +

+ ω_е  [ω_е  ( xi + yj + zk)] = (ε_е  r) + ω_е  (ω_е  r); (6.10)

D = [(di/dt) + (dj/dt) + (dk/dt) ] = [(ω_е  i) + (ω_е  j) + (ω_е  k) ] =

= ω_е  ( i + j + k) ω_е  v_r. (6.11)

Выясним смысл слагаемых, входящих в (6.7). Пусть тело неподвижно, а точка М движется по нему. Тогда абсолютное движение совпадает с относительным, векторы ρ_O, i, j и k остаются постоянными по величине и по направлению, и из формулы (6.7) мы получим:

a_r = B = ( i + j + k). (6.12)

Пусть наоборот – точка не перемещается по телу, но движется вместе с ним. Тогда абсолютное движение совпадает с переносным, x, y, z = const и из (6.7) следует, что

a_e = A + C d²ρ_O /dt² + (ε_е  r) + ω_е  (ω_е  r) = a_O´ + a^ε_O´M + a^ω_O´M, (6.13)

поскольку a_O´ = a_O , а выражения (4.10) и (4.11) для вращательного и центростремительного ускорений, входящие в (5.3), не зависят от выбора центра О на оси вращения.

Подставляя (6.11)–(6.13) в (6.7), мы и получим формулу (6.5). Теорема доказана.