П.5. Первый и второй замечательные пределы

 П. 1. Первый замечательный предел.

Оп.24. Первым замечательным пределом называется предел

Теорема 7.   Первый замечательный предел равен

Теорема означает, что график функции выглядит так:

Рис.28.График

Приведём примеры применения первого замечательного предела для вычисления других родственных пределов.

Пример 1.  Вычислим предел .

Очевидно, что

при этом предел знаменателя  -- это первый замечательный предел, равный 1 (и, следовательно, не равный 0). Числитель правой части, равный 1, имеет предел 1. Значит, по теореме о пределе отношения,

    

        Пример 2.  Вычислим предел .

Сделаем замену переменного: пусть . Тогда и база переходит в базу . После замены получаем

    

        Пример 3.   Вычислим предел .

Очевидно, что

при этом предел знаменателя был вычислен в предыдущем примере; он равен 1. Числитель правой части имеет предел 1. Применяя теорему о пределе отношения, получаем

    

        Пример 4.   Вычислим предел .

Преобразуем функцию под знаком предела следующим образом:

Теперь вынесем постоянный множитель за знак предела и применим теорему о пределе произведения:

(Чуть ниже мы увидим, что пределы сомножителей существуют, так что применять эту теорему здесь можно.) Заметим, что при заменах и база переходит в базу и , так что

и

Поэтому

    

    П.6. Второй замечательный предел.

Опр.25 .   Вторым замечательным пределом называется предел

Число , заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием натуральных логарифмов.

Теорема 8.   Второй замечательный предел существует. Его значение e -- число, лежащее между и 3.    

Более подробное изучение числа показывает, что  -- иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы:

        Замечание .  Можно также показать, что

В формуле можно сделать замену , при этом база перейдёт в базу , и мы получим

 Упр. 1.   Покажите, что имеют место также равенства

и

На этой основе, применяя теоремы о связи двусторонних пределов с односторонними, покажите, что

и

    Формулы в этих замечании и упражнении представляют собою другую форму записи второго замечательного предела. Мы сохраним название второй замечательный предел за всеми этими формулами.

Глава 3. Непрерывность функций в точке и на отрезке.

П.1.Непрерывность функции в точке.

Опр.26. Функция f непрерывна в точке a, если для любой окрестности V(A) точки A = f(a) существует окрестность U_E(a) такая, что .

Если функция непрерывна в точке a, то говорят, что функция f класса C и пишут: .

На числовой прямой каждой окрестности можно сопоставить симметричную окрестность. Таким образом, определение непрерывности функции можно сформулировать на языке -δ в том виде, как это принято в математическом анализе:

.

Из определения следует, что функция непрерывна в каждой изолированной точке своего определения. В соответствии с этим наибольший интерес представляет собой тот случай, когда a — предельная точка области определения.

Опр.27.Функция f непрерывна в точке a, предельной для множества E, если для любого числа найдётся такое число δ > 0, что для всех точек условие | x − a | < δ влечет . Или:

В этом случае определение непрерывности, фактически повторяет определение предела функции в данной точке.

Таким образом:

Опр.28: функция f непрерывна в точке a, предельной для множества E, если она имеет предел в данной точке и этот предел совпадает со значением функции в данной точке:

Теорема 9:  Функция тогда и только тогда непрерывна в точке , когда она непрерывна в точке справа и слева, то есть когда выполнены следующие условия:

1) функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки;

2) существует предел значений функции слева: ;

3) существует предел значений функции справа: ;

4) эти два предела совпадают между собой и со значением функции в точке : .     

Рис.29.Функция непрерывна: пределы слева и справа совпадают с

Точка , в которой функция непрерывна, называется точкой непрерывности функции ; так же определяются точки непрерывности слева и справа.

Опр.29. Точка х₀ называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х₀, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.

Опр.30. Точка х₀ называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Пример.1.Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837г)

не является непрерывной в любой точке х₀.

Пример 2. Функция f(x) =  имеет в точке х₀ = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.

.

П.2. Производные и дифференциалы функций.

Рассмотрим некоторую функцию  y = f ( x ) в двух точках  x₀  и  x₀ + :  f ( x₀ ) и  f ( x₀ + ). Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции:  f ( x₀ + )  f ( x₀ ) называется приращением функции.

Опр. 31. Производной функции  y = f ( x ) в точке  x₀  называется предел:

Опр.32.Если этот предел существует, то функция   f ( x )  называется дифференцируемой в точке  x₀ .

Производная функции   f ( x ) обозначается так:

Геометрический смысл производной.  Рассмотрим график функции  y = f ( x ):

Из рисунка  видно, что для любых двух точек A и B графика функции:  

где  - угол наклона секущей AB.

Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x₀ ,  f ( x₀  ) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом  f ’( x₀ )  имеет вид:

y = f ’( x₀ ) · x + b .

Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:

f ( x₀ ) = f ’( x₀ ) · x₀ + b ,

отсюда,  b =  f ( x₀ ) – f ’( x₀ ) · x₀ , и подставляя это выражение вместо  b, мы получим  уравнение касательной:

y =  f ( x₀ ) +  f ’( x₀ ) · ( x – x₀  ) .

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан:  координата  x  движущейся точки – известная функция  x ( t ) времени  t. В течение интервала времени от  t₀  до  t₀ +   точка перемещается на расстояние:  x ( t₀ + )  x ( t₀ ) = , а её средняя скорость равна:  v_a =  . При  0  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью  v ( t₀ )  материальной точки в момент времени  t₀ . Но по определению производной мы имеем:

отсюда,  v ( t₀ ) = x’ ( t₀ ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит  механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:  a = v’ ( t ).

Дифференциал функции.

Опр.33. Дифференциалом функции называется произведение производной 

f ’( x₀ ) и приращения аргумента   :

df = f ’( x₀ ) · .