Глава 2. Пределы числовых последовательностей и функций.

П. 1. Числовая последовательсность. Определения.

Рассмотрим ряд натуральных чисел:

 1,  2,  3, … ,  n –1,  n, … .

 Если заменить каждое натуральное число  n  в этом ряду некоторым числом  u_n , следуя некоторому закону, то мы получим новый ряд чисел:          

 u₁ ,   u₂ ,   u₃ , …,   u_{n  1} ,   u_n  , …,  кратко обозначаемый { u_n }  

 и называемый числовой последовательностью.

Величина  u_n называется общим членом последовательности. Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой  u_n = f ( n ), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру  n ; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задаётся путём описания её членов (см. ниже последний пример).

Опр.15.Числовая последовательность{ u_n } называется ограниченной, если существует такое число M, что для любого n N выполняется неравенство:

В противном случае последовательность называется неограниченной.

Опр.16.Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если для любого n выполняется неравенство ( ).

Аналогично определяется убывающая(невозрастающая) последовательности.

Все эти последоваетльности называются монотонными.

Примеры   числовых последовательностей:

  1,  2,  3,  4,  5, …   ряд натуральных чисел ;

2,  4,  6,  8,  10, …  ряд чётных чисел;

В последнем примере невозможно дать формулу общего члена последовательности, тем не менее эта последовательность описана полностью.

Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу  a  при увеличении порядкового номера  n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

Опр.17.

Это определение означает, что  a  есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к  a  при возрастании  n. Геометрически это значит, что для любого  > 0  можно найти такое число N,  что начиная с  n > N  все члены последовательности расположены внутри интервала ( a  a  ).

Опр.18.Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

Опр.19. Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что | u_n  | Mдля всех  n .

Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.

П.2. Теорема Веерштрасса. Основные свойства пределов.

Теорема 1 Вейерштрасса: Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

Основные свойства пределов.  Нижеприведенные свойства пределов справедливы не только для числовых последовательностей, но и для функций.

Если { u_n } и { v_n }   две сходящиеся последовательности, то:

Если члены последовательностей { u_n }, { v_n }, { w_n } удовлетворяют неравенствам 

 

Некоторые замечательные пределы.

Таблица 1.

П.3.Предел функции.

Опр.20. Число L называется пределом функции  y = f ( x ) при  x, стремящемся к  a :

если для любого  > 0 найдётся такое положительное число = ( ), зависящее от  , что из условия | x  a | < следует  |  f ( x ) – L | < 

Это определение означает, что L есть предел функции  y = f ( x ), если значение функции неограниченно приближается к  L , когда значение аргумента  x приближается к  a.

Геометрически это значит, что для любого  > 0  можно найти такое число  , что если  x  находится в интервале ( a  a  ), то значение функции лежит в интервале ( L  ,  L + ).

Отметим, что в соответствии с этим определением аргумент функции лишь приближается  к  a , не принимая этого значения! Это следует учитывать при вычислении предела любой функции в точке её разрыва, где функция не существует.

П р и м е р .   Найти

 

Р е ш е н и е .  Подставляя  x = 3  в выражение  получим не имеющее смысла   выражение . Поэтому мы решим по-другому:

 

Сокращение дроби в данном случае корректно, так как  x 3 ,  он лишь приближается к 3.  Теперь мы имеем:

поскольку, если  x  стремится к  3, то  x + 3  стремится к  6 .

П.4.Бесконечно малая и бесконечно большая функции.

Опр.21.Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→ , если

Опр.22.Функция y=f(x) называется бесконечно большой при x→ , если

П р и м е р .  Функция  y  =     является бесконечно малой при  x,

cтремящемся к  4, так как  

 

Если абсолютное значение некоторой переменной неограниченно возрастает, то эта переменная называется бесконечно большой.

 

Бесконечно большая величина не имеет конечного предела, но она имеет так называемый бесконечный предел, что записывается как:

 

Символ   ( “бесконечность” ) не означает некоторого числа, он означает только, что дробь неограниченно возрастает при  x, стремящемся к 3. Следует отметить, что дробь может быть как положительной ( при x > 3 ), так и отрицательной ( при x < 3 ). Если бесконечно большая величина может быть только положительной при любых значениях  x, это отражается в записи. Например, при  x  0 функция  y = x^2 бесконечно большая, но она положительна как при  x > 0, так и при  x < 0 ; это выражается так:

Наоборот, функция  y =   x ^2  всегда отрицательна, поэтому  

В соответствии с этим, результат в нашем примере можно записать так:

П.5.Основные теоремы о пределах функций.

Теорема 1. , где С = const.

 

  Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х стремящемся к а.

 

  Теорема 2.

Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.

 

  Теорема 3.

  Следствие.

 

  Теорема 4.  при

 

  Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0 и тд. 

 

  Теорема 6. Если функция f(x) имеет конечный предел при х стремящемся а, то она ограничена вблизи точки х = а.