Центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема в различных её формах устанавливает условия, при которых возникает нормальное распределение, и нарушения которых ведет к распределению, отличному от нормального.

Ц.П.Т. для одинаково распределенных слагаемых:

Если X1, X2... Xn – независимые С.В., имеющие одно и тоже распределение с мат. ожиданием и дисперсией, то при увеличении n закон распределения суммы:

неограниченно приближается к нормальному.

Выборка и способы ее записи

-случайный эксперимент, связанный со случайной величиной Х, имеющей функцию распределения .

Выборкой объема n из генеральной совокупности с функцией распределения называется последовательность x1,x2..xn наблюдаемых значений случайной величины Х, соответствующих n независимым повторениям эксперимента

Выборка может быть записана в виде вариационного ряда или в виде статистического ряда.

Вариационным рядом выборки x1,x2...xn называется способ ее записи, при котором элементы упорядочиваются по величине, т.е. записываются в виде последовательности

, где

Разность между максимальным и минимальными элементами выборки называется размахом выборки. Пусть в выборке объема n элемент xi встречается nipi. Число ni называется частотой элемента xi.

Статистическим рядом называется последовательность пар (xi, ni). Записывается в виде таблицы.

При большом объеме выборки ее элементы объединяют в группу (разряды), представляя результаты опытов в виде группированного статистического ряда.

Эмпирическая функция распределения F*(x) определяется по значениям накопленных относительных частот с соотношением:

Полигон, гистограмма частот, кумулятивная кривая

Полигоном частот группированной выборки называется ломанная с вершинами в точках

I = 1, 2… k.

Гистограммой частот группированной выборки называется ступенчатая фигура, составленная из прямоугольников, построенных на интервалах группировки так, что площадь каждого прямоугольника равна частоте . Т.о. площадь гистограммы частот равна объему выборки n. Если длины интервалов –b, то высоты .

Полигон относительных накопленных частот (кумулятивная кривая) – ломанная с вершиной в точках:

Числовые оценки параметров распределения

Распределенная случайная величина Х характеризуется рядом параметров. Сюда относятся и числовые характеристики: мат. ожидание (средняя), дисперсия, мода, медиана. Эти параметры называются параметрами генеральной совокупности. Они могут быть найдены из закона распределения случайной величины. Используя выборку наблюдений случайной величины, можно вычислить приближенные значения каждого из параметров, называемые в статистике числовыми оценками параметров или просто оценками.

Выборочным средним называется средняя арифметическая элементов выборки.

Для группированной выборки соотношение принимает вид:

Оценкой моды dx унимодального (одновершинного) распределения является элемент выборки dx , встречающийся с наибольшей частотой. Для группированной выборки, когда длина интервалов одинакова и равна b, оценка моды вычисляется по формуле:

dx

ad – нижняя граница интервала, - число элементов выборки в этом интервале

Оценкой медианы hx называется число hx , которое делит вариационный ряд на две части, содержащие равное число элементов. Если объем выборки n – нечетное число, то hx

то есть является элементом вариационного ряда со средним номером. Если n=2k, то hx )

Оценкой медианы по группированной выборке является выборочная квантиль x0.5.

Вычисляется по формуле:

hx

ah нижняя граница интервала, к которому принадлежит медиана, число элементов выборки в интервалах, лежащих слева от интервала сод. медиану.