Числовые характеристики системы двух случайных величин

1. – начальный момент порядка kS системы (X,Y) – математическое ожидание произведения степеней

2. – начальный момент для системы дискретных случайных величин

3. – начальный момент для системы непрерывных случайных величин

4. 

Начальные моменты первого порядка – определяют координаты точки, называемые центром рассеивания системы на плоскости.

5. 

для системы дискретных случайных величин

6. 

для системы непрерывных случайных величин

7. 

Центральные моменты второго порядка – дисперсии характеризуют рассеивание случайной точки в направлении Ох и Оу.

8. 

Второй смешанный центральный момент, – называется корреляционным моментом или моментом связи. Характеризует взаимное влияние случайных величин.

9. , безразмерное отношение – коэффициент корреляции случайных величин Х и У.

Теорема. Если случайные величины Х и У независимы, то корреляционный момент и коэффициент корреляции равны нулю.

10. 

Плотность распределения системы (Х,У) нормально распределенных и независимых случайных величин Х и У.

11. 

Каноническая форма нормального распределения на плоскости. Центр рассеивания совмещен с началом координат.

Ковариация

С.В.Д.Т.:

С.В.Н.Т.:

Свойства:

1. – симметричность

2. Дисперсия случайной величины есть ковариация её с самой собой

3. Если Х и У независимы, то

4. 

5. 

6. 

7. |

Доказательство:

Коэффициент корреляции

Свойства:

1. 

2. Если Х и У независимы, то

3. Если Y = aX+b – линейная зависимость, то

4. Если , то Х и У линейно зависимы У = aX+b, тогда:

То есть:

M[C] = C = M[ ] = M[ ]-M[ ]= 0-0=0

C = 0,

Корреляционная матрица:

Нормальный случайный вектор

Двумерный случайный вектор (X,Y) распределен по нормальному закону, если совместная плотность распределения вероятностей случайного компонента (зависимых случайных величин) имеет вид:

Здесь ( ) – центр рассеивания; – среднеквадратичные отклонения случайных компонентов вектора (Х,У)

Если компоненты двумерного нормального вектора некоррелированы ( ), то они независимы:

При этом – главные оси рассеивания. Если – рассеивание называется круговым.

Эллипс рассеивания

В общем случае ( ) – эллипс рассеивания, есть эллипс, в каждой точке которого плотность имеет одно и то же постоянное значение.

Ориентация эллипсов рассеивания зависит от коэффициента корреляции. С помощью преобразования поворота системы координат, плотность нормального распределения может быть приведена к каноническому виду с главным эллипсом рассеивания:

Свойства мат. ожидания функции случайной величины

1. (как зависимых, так и независимых С.В.)

Мат. ожидание линейной функции случайных величин равно той же линейной функции от математических ожиданий этих величин.

2. 

Доказательство:

Отсюда:

Свойства дисперсии

1. Удвоенная сумма корр. моментов каждой из слагаемых величин со всеми последующими

2. Дисперсия произведения двух независимых случайных величин

3. Дисперсия среднего арифметического n результатов измерений (независ. случайные величины от Х1 до Хn)

в n раз меньше дисперсия отдельного результата измерений.

Неравенство Чебышева

Для любой С.В. Х, имеющей мат. ожидание и дисперсию , справедливо неравенство:

P{|

где любое положительное число ( ).

Неравенство ограничивает сверху вероятности больших отклонений С.В. от ее математического ожидания.

Доказательство: для С.В.Н.Т. с плотностью распределения вероятности f(x)

Первое неравенство: , если дисперсия неизвестна

Дисперсия случайной величины Х:

Заменим область интегрирования, на множество точек, для которых , от этого интеграл увеличится, не может:

Заменим , не превосходящую ,от этого выражения больше не станет:

то есть:

, делим обе части на , и получаем неравенство Чебышева. Аналогично доказывается и для С.В.Д.Т., имеющей значения X1,X2...Xn с вероятностями P1,P2...Pn, вместо интегралов – суммы значений Xn для которых