Закон распределения с.В.
Соотношение вероятностей и их соответствующее значение (табличный ряд распределения случайной величины)
Функция
распределения: F(x)
= P(X
< x), C.B.
X - вероятность того, что
случайная точка Х в результате опыта
попадает левее (
)
х (интегральный закон распределения),
f(x) – скорость
изменения (производная)
Свойства:
0
F(x)
1P(
)
= F(
)
– F(
)
– вероятность С.В. попасть в интервал
[
]F(
F(
)
= 0
= 1
Плотность
распределения вероятностей:
Свойства:
F(x) = P(X < x) =
(условие нормировки)f(x) = F’(x), F(x) – функция распределения вероятностей
P(
)
= 
– вероятность попасть
Х на участке (
)
Вероятность попасть в точку (С.В.Н.Т.) = 0.
Условие нормировки – площадь под всей кривой распределения равен 1.
Математическое ожидание – действительное число, определяемое в зависимости от типа С.В. Х:
Мода
– действительное число,
определенное как точка максимума
плотности распределения вероятности
f(x).
Медиана – равновероятное получение большего или меньшего значения С.В.
P(X
< 
)
= P(X 
)
или F(
)
= 
Дисперсия С.В. – математическое ожидание квадрата отклонения от ее математического ожидания.
Д[x]
= M[
]
или Д = М[
]
- 
Д[x]
= 
Среднее
квадратичное отклонение:
= Д[x] –
определяет стандартный среднеквадратичный
интервал рассеивания.
центрированная С.В.:
стандартизированная С.В.:
Свойства дисперсии:
если Х – const, то
Д[C
]
= 
Доказательство:
(для С.В.Д.Т.)
(для С.В.Н.Т.)
Начальный
момент k-го
порядка –
математическое ожидание величины 
Центральный
момент k-го
порядка
случайной величины Х называется
математическое ожидание величины 
характеризует скошенность (асимметрию)
распределения (если f(x)
симметрична относительно 
,
то 
)
– островершинность
(плосковершинность)
(эксцесс
- безразмерная величина). Островершинные
имеют положительный эксцесс, плосковершинные
отрицательный. 3 – соответствует
нормальному распределению (распределение
Гаусса)
– абсолютный начальный
момент
– абсолютный центральный
момент (первый совпадает со средним
арифметическим отклонением)
Квантиль
р(порядка)
– распределение случайной величины Х
непрерывного типа – действительное
число 
, удовлетворяющее уравнению:
P(X
< 
)
= p
P(|X|
<
)
= p
В
частности, 
Критической
точкой порядка р
– называется распределение случайной
величины Х непрерывного типа –
действительное число 
(x-каппа),
удовлетворяющее уравнению:
P(X
)
= p
P(|X|
)
= p
Квантиль
и критическая точка связаны между собой:
– биномиальное распределение (n
– число испытаний, р –
вероятность 1 испытания)
– равномерное распределение на интервале
а,b
– нормальное распределение
Биномиальное распределение
P(x=m)
= 
(q = 1-p; n = 0,1,2...n)
– С.В.Д.Т.
Вывод:
,
умножим на р
,
= n p
– дисперсия биномиального распределения
Вывод:
,
дифференцируем по р, (дважды)
– среднеквадратическое
отклонение (для биномиального
распределения)
Распределение Пуассона
-
аппроксимирует биномиальное распределение
при 
при условии, что np имеет
конечный предел
(закон малых чисел)
Отрезок
оси 
длины l,
точек m.
– среднее число точек (математическое
ожидание) приходящееся на единицу длины
отсюда a = np;
Вывод:
Основные характеристики биномиального распределения:
