5.3 Похибки визначення координат об'єкта позиційним методом

Місце розташування об'єкта позиційним методом визначається як крапка перетинання принаймні двох ліній положення різних сімейств. Похибка визначення ліній положення приводить до похибки перебування координат об'єкта. Якщо об'єкт М знаходиться на значній відстані від наземних станцій, то похибки і визначення пересічних ліній положення АВ і CD (рис. 5.4) вважають малими в порівнянні з відстанями від об'єкта до станцій, а лінії положення A^’В^’ і C^’D', отримані в результаті виміру, – рівнобіжними лініям АВ и CD.

РНК М', що відповідає оцінці положення об'єкта, знайденої в результаті виміру, виявляється на відстані м від крапки М, що відбиває щире положення об'єкта. Таким чином, відстань м є радіальна похибка виміру. Тому що і перпендикулярні лініям положення, то, згідно рис. 5.4, радіальна похибка

де _м – кут, під яким перетинаються лінії положення.

Тому що похибки і – величини випадкові, випадкова і радіальна похибка с середньоквадратичним значенням

(5.4)

де  – коефіцієнт взаємної кореляції похибок визначення ліній положення.

При некорельованості вимірів ліній положення  = 0 середньоквадратичні похибки виміру місця розташування складають

(5.5)

Таким чином, точність перебування місця розташування росте при зменшенні похибок визначення ліній положення і і наближенні кута перетинання ліній положення _м до 90°.

Якщо оцінка похибок на основі наближених формул недостатня, то використовують більш повні статистичні характеристики, що дозволяють оцінити імовірність того, що розрахункова крапка перетинання двох ліній положення знаходиться в межах області, називаної еліпсом похибок або еліпсом розсіювання.

Орієнтування еліпса похибок залежить від похибок виміру ліній положення і і кута перетинання ліній положення _м

У випадку однакової точності визначення ліній положення, тобто при = = , велика піввісь еліпса а збігається з бісектрисою кута _м , а розміри півосей еліпса похибок

де c_l — постійна величина.

При _м = 90° еліпс перетворюється в окружність, тому що a = b = . Імовірність улучення розрахункових координат об'єкта в межі області Q, обмеженої еліпсом похибок,

Це вираження дозволяє обчислити імовірність Р_М при заданих розмірах еліпса похибок. Так, значення с₁ = 1,5; 2,0; 2,5; 3,0 відповідають імовірностям .Р_м = 0,68; 0,86; 0,96; 0,99. Отримані співвідношення використовуються при розрахунку робочих зон РНС.

5.4 Робочі зони радіонавігаційних систем

Робоча зона (область) РНС – частина простору (поверхні), у межах якої забезпечується перебування координат об'єкта з похибкою, що не перевищує максимально припустиму . При цьому прийнятий сигнал повинний перевищувати граничне значення , що відповідає максимальної дальності дії системи. Таким чином, границі робочої зони визначаються рівняннями і , де — середньоквадратичне значення радіальної похибки, — її максимально припустиме значення.

Звичайно границі робочої зони РНС розраховують з умови заданої точності місцезнаходження , умова є перевірочна, оскільки максимальна дальність дії РНС на відміну від РЛС виявлення залежить від граничного сигналу, необхідного для одержання точності місцезнаходження не нижче заданої. Знайдемо робочі зони дальномірних, кутомірних, кутомірно-дальномірних і різницево-дальномірних систем.

Робочі зони дальномірних РНС. Побудуємо робочу зону дальномірної системи з запитом на борті об'єкта в крапці М (рис. 5.5) і двома наземними відповідачами в крапках А и В на відстані d між ними. Якщо похибка виміру часу затримки до обох відповідачів однакова , то по формулі (5.4) для незалежного виміру дальностей D_A і D_B знайдемо

(5.6)

тому що (для дальномірних систем ).

По (5.6) можна побудувати криву рівної точності , що обмежує робочу зону РНС. Для цього потрібно обчислити кут з умови

(5.7)

Отже, крива рівної точності є лінія, усі крапки якої є вершинами кута =const, тобто окружність, що проходить через крапки А и В; відрізок d є хорда цієї окружності.

Тому що центральний кут хорди дорівнює 2 , з трикутника АОС легко знайти радіус окружності рівної точності: R_pТ=OA=d/(2sin ). Через крапки А і В можна провести і другу окружність рівної точності, симетричну відносно d. Площа, обмежена цими окружностями, і буде робочою зоною дальномірної системи, у межах якої похибка визначення місця розташування не перевищує припустиму .

Іноді умови роботи системи в деяких напрямках неоднакові (наприклад, при розташуванні об’єктів на березі) і приходиться враховувати обмеження робочої зони системи по її максимальній дальності дії .

Робочі зони кутомірних РНС. Побудуємо робочу зону кутомірної РНС, коли радіопеленгатор знаходиться на борті об'єкта в крапці М (рис. 5.6), а наземні маяки розташовані в пунктах А и В на відстані d між собою і D_A і D_B від об'єкта М, при цьому лінії положення перетинаються під кутом .

Припускаючи, що вимір азимутів і виробляється з однаковою точністю , а меридіани в пунктах А, В и М можна вважати рівнобіжними, запишемо формулу (5.5) у виді

(5.8)

Для побудови лінії рівної точності, що обмежує робочу зону кутомірної системи, потрібно вирішити рівняння (5.8) при . Це рівняння приводять до більш простого виду . Для коефіцієнта

складено таблиці, приведені в спеціальних довідниках по радіонавігації.

У цьому випадку криві рівної точності будують відповідно до формули

Криві рівної точності кутомірної системи також розташовуються симетрично відносно бази d, але вони відрізняються від окружностей і не усі проходять через крапки А и В. Зокрема, при =109°28' криві рівної точності стискуються в крапку, що лежить на нормалі, до середини бази d на відстані, рівній з обох сторін від неї. У цих крапках похибка місцезнаходження розподілу мінімальна: . Для всіх інших крапок робочої зони кутомірної системи похибка визначення місця розташування більша.

Тому що зі збільшенням відстані від бази похибка місцезнаходження швидко росте, те обмеження робочої зони умовою є більш жорстким, чим D<D_макс; останнє для кутомірних систем звичайно не враховують.

Робочі зони кутомірно-дальномірних систем.

Для таких систем лінії положення перетинаються під кутом = л/2, і . Тому формула (5.4) для похибки приймає вид

(5.9)

З цього рівняння при =const можна знайти лінію рівної точності, що обмежує робочу область системи. З (5.9) випливає, що цією лінією буде окружність з центром у місці розташування наземної станції і радіусом

При побудові робочої зони враховують умова D<D_макс, а також форму діаграми спрямованості наземної станції й інших її параметрів (наприклад, тривалість імпульсу), що можуть обмежувати робочу зону системи також по мінімально можливій дальності роботи системи.

Робочі зони різницево-дальномірних систем.

Для визначення місця розташування об'єкта М в різницево-дальномірній системі використовують принаймні дві пари станцій А В и А С (рис. 5.7) з пересічними під кутом лініями положення (гіперболами).

Якщо похибки виміру часу затримки по першій і другій парах рівні відповідно і , а базові кути першої і другої пар — і , то відповідно до формули (5.3)

Якщо ці похибки незалежні, то згідно (5.5)

^(5.10)

При = = , що часто буває на практиці, вираження (5.10) спрощується:

Це співвідношення можна спростити для основних областей (I і II на рис. 5.7) робочої зони системи, де кут представляють через кути і , що поділяються дотичними до гіпербол у крапці М навпіл. Тому і, отже,

^,

— табульований коефіцієнт, на основі якого будують лінії рівної точності, наприклад лінію, що обмежує робочу зону системи відповідно до рівняння .

Робоча зона різницево-дальномірної системи має складну конфігурацію, обумовлену геометричним фактором системи (розміщенням станцій).