2.1.5. Математическое обеспечение модели моб

и его реализация в системе Excel

В рамках разработки математического обеспечения модели МОБ предполагается оценить разрешимость модели МОБ и в случае разрешимости найти решение модели МОБ.

Разрешимость модели МОБ. Базовые прогнозные модели МОБ (см. модели 2.1.5, 2.1.9) представляют собой систему n линейных уравнений с n неизвестными, общий вид которой может быть представлен следующим образом:

(2.1.13)

……………………….

или в матричной форме:

Поскольку матрица C системы (2.1.13) квадратная, то при условии det C0 существует обратная матрица C^-1 и тогда система (2.1.13) имеет единственное решение:

(2.1.14)

Что же делать в том случае, если построенная модель МОБ неразрешима? На наш взгляд, одним из возможных способов преодоления данной трудности является экспертная корректировка матрицы прямых затрат. Дело в том, что рассчитанная матрица прямых затрат является результатом обработки больших массивов экономической информации, и по этой причине, безусловно, имеет определенные погрешности обработки данных. Поэтому за счет небольших экспертных изменений матрицы прямых затрат можно добиться выполнимости условия разрешимости системы det C0 .

Методика нахождения решения модели. Одним из методов решения системы уравнений вида (2.1.13) является метод, основанный на формуле (2.1.14) и представляющий матричный метод решения системы, или метод обратных матриц. Из курса линейной алгебры известны и другие методы решения системы уравнений вида (2.1.13), например, правило Крамера, метод Гаусса. В курсе высшей математики (линейная алгебра) студенты знакомятся с решением систем линейных уравнений с использованием указанных методов.

Однако реализация этих методов в ручном режиме достаточна трудоемка и при практическом решении балансовых моделей, представленных в виде системы линейных уравнений, используют стандартные пакеты прикладных программ. Решение системы уравнений вида (2.1.13) средствами Excel возможно несколькими способами. Продемонстрируем их, используя матрицу А примера 2.1.3.

Способ 1. Реализация матричного метода решения модели МОБ (2.1.6) соответственно формуле (2.1.8) предполагает

а) нахождение обратной матрицы к матрице (Е-А) (расчет матрицы полных затрат В);

б) выполнение операции умножения матриц полных затрат В и вектор-столбца конечного использования Y. Для определенности будем предполагать, что матрица (А) представлена матрицей примера 2.1.3 и имеет размерность 44.

Нахождение обратной матрицы к матрице (Е-А) (расчет матрицы полных затрат В).

Сформируем искомую матрицу (Е-А)

=

,

Где в числителе матрица, присоединенная к матрице (Е-А), элементы которой представляют собой алгебраические дополнения для элементов транспонированной матрицы , а в знаменателе – определитель матрицы (Е-А). Алгебраические дополнения в свою очередь для элемента с индексами i и j получаются умножением множителя на минор, получаемый после вычеркивания из матрицы i -й строки и j -го столбца.

Далее введем элементы матрицы (Е-А) в диапазон ячеек А4:D7. Выделим область (диапазон из 16-ти ячеек) E4:H7 для размещения обратной матрицы. Найдем обратную матрицу с помощью функции МОБР, для чего: выполним один щелчок левой кнопки мыши по кнопке (вставка функции) стандартной панели инструментов (на экране диалоговое окно Мастер функций).

В левом окне подведем курсор на категорию Математические и выделим ее щелчком кнопки мыши. В поле Функция этого окна с помощью кнопок прокрутки найдем функцию МОБР и выделим ее щелчком по мыши и нажмем кнопку ОК (рис. 2.1.1).

Рис. 2.1.1. Диалоговое окно активизации команды обращения матрицы.

В поле Массив с мигающим курсором введем диапазон размещения элементов матрицы (Е-А) – A4: D7 и нажмем клавиши Ctrl+Shift+Enter (одновременным нажатием этих клавиш мы указываем программе, что она должна выполнить операцию над массивами) (рис.2.1.2.).

Рис. 2.1.2. Диалоговое окно ввода данных инструмента МОБР.

На экране в выделенном диапазоне получим обратную матрицу. В нашем примере искомая обратная матрица приведена на рис. 2.1.3.

	Матрица (Е-А)			Обратная матрица
0,48	-0,12	-0,04	-0,2	2,233073	0,451158	0,184553	0,658239
-0,07	0,65	-0,03	-0,12	0,277656	1,60969	0,103653	0,329007
-0,04	-0,03	0,7	-0,14	0,171212	0,113615	1,461256	0,315565
-0,05	-0,03	-0,04	0,8	0,15854	0,094242	0,088484	1,319256

Рис. 2.1.3. Результат применения инструмента.

Выполнение операции умножения матриц полных затрат В и вектор-столбца конечного использования . Напомним, что в соответствии с (2.1.8) модель МОБ в матричной форме имеет вид: ,

где матрица полных затрат В найдена на предыдущем этапе, и в таблице Excel находится в ячейках Е4:Н7.

Пусть вектор–столбец конечного использования продукции отраслей имеет вид: . Требуется найти валовой выпуск продукции отраслей . Это означает, что с помощью команд Excel требуется выполнить операцию умножения матриц В и .

Занесем вектор в ячейки А9:А12. Выделим диапазон Е9:Е12 для размещения вектора решений . Умножение матриц В и выполним с помощью функции МУМНОЖ, для чего: выполним один щелчок левой кнопки мыши по кнопке (вставка функции) стандартной панели инструментов (на экране диалоговое окно Мастер функций). В левом окне подведем курсор на категорию Математические и выделим ее щелчком кнопки мыши. В поле Функция этого окна с помощью кнопок прокрутки найдем функцию МУМНОЖ и выделим ее щелчком по мыши и нажмем кнопку ОК (рис. 2.1.4).

Рис. 2.1.4. Диалоговое окно активизации команды умножения матриц

В поле Массив1 с мигающим курсором введем диапазон размещения элементов матрицы В – Е4: Н7, в поле Массив2 с мигающим курсором введем диапазон размещения элементов матрицы - А9:А12 и нажмем клавиши Ctrl+Shift+Enter (рис.2.1.5.).

Рис. 2.1.5. Диалоговое окно ввода данных инструмента МУМНОЖ.

На экране в выделенном диапазоне, в ячейках Е9:Е12, получим вектор-столбец произведения матриц. Это означает, что значения неизвестных: , , , .

	Матрица (Е-А)				Матрица полных затрат
0,48	-0,12	-0,04	-0,2	2,233073	0,451158	0,184553	0,658239
-0,07	0,65	-0,03	-0,12	0,277656	1,60969	0,103653	0,329007
-0,04	-0,03	0,7	-0,14	0,171212	0,113615	1,461256	0,315565
-0,05	-0,03	-0,04	0,8	0,15854	0,094242	0,088484	1,319256
Вектор-столбец конечного использования				Вектор-столбец валового выпуска
40,3				101,3527
21				45,95028
1,3				11,9743
2,5				11,78139

Рис. 2.1.6. Результат применения инструмента.

Хотя можно было бы операцию умножения матриц за счет введения более сложной формулы выполнить в один шаг: выделяем диапазон для размещения результата Е9:Е12 и введем в него формулу= МУМНОЖ(E4:H7;А9:А12) и нажмем клавиши Ctrl+Shift+Enter (рис.2.1.7).

Рис.2.1.7. Активизация команды умножения матриц с помощью формулы.

Матричный метод решения модели МОБ средствами Excel может также осуществляться не последовательной работой шагов, а путем задания формулы: для этого в поле Е9:Е12 вводится более сложная формула, включающая одновременно операции взятия обратной матрицы и умножения матриц: МУМНОЖ(МОБР(А4:D7); А9:А12) (рис.2.1.8).

Рис.2.1.8. Активизация команды решения системы уравнений с помощью формулы.

Способ 2. Для решения системы линейных уравнений может быть использована команда Поиск решения из меню Сервис Excel, позволяющая решать оптимизационные задачи. Поскольку система n линейных уравнений с n неизвестными, при условии ее разрешимости, имеет единственное решение, то введение любой целевой функции не оказывает влияния на решение системы, т.к. область допустимых значений системы – единственная точка. Поэтому целевая функция имеет формальный характер и необходима лишь для того, чтобы активизировать команду Поиск решения.

Методику решения системы линейных уравнений продемонстрируем для рассмотренного примера:

или в развернутом виде:

Предварительно введем в таблицу Excel исходные данные задачи: будем предполагать, что переменные модели ( ) находятся соответственно в ячейках А1-D1. В ячейку А2 вводим левую часть первого ограничения:

,

А3 – левую часть второго ограничения:

,

А4 – третьего:

,

А5 – четвертого:

.

В ячейке А6 договоримся, что находится линейная функция любого вида, выраженная через переменные А1-D1, например:

Диалоговое окно ввода данных представлено на рис.2.1.9.

Рис.2.1.9. Подготовка данных для активизации инструмента Поиск решения.

Далее вызываем команду Поиск решения из меню Сервис, щелкнув М1 последовательно по их названиям (рис.2.1.10). На экране –

Рис.2.1.10. Диалоговое окно активизации инструмента Поиск решения.

диалоговое окно Поиск решения. В поле Установить целевую ячейку занесем название ячейки А6. После слова Равной можно выделять Максимальное значение или Минимальное значение – это не имеет значения, т.к. целевая функция в данном случае имеет формальный характер и не оказывает влияния на решение. Еще раз повторим, что целевая функция в данном случае должна быть выделена лишь для того, чтобы активизировать команду Поиск решения. В поле Изменяя ячейки: занесем диапазон переменных модели А1-D1, т.к. именно эти ячейки отведены под значения вычисляемых переменных, щелкнув М1 по красной стрелке в этом поле. Далее занесем ограничения задачи в поле Ограничения: для чего щелкнем М1 по кнопке Добавить. На экране диалоговое окно Добавление ограничения. В поле Ссылка на ячейку заносим ячейку А2, где располагается левая часть первого ограничения, в среднее поле занесем равенство, выделив его в открывшемся окне. В правое поле занесем правую часть первого ограничения - число 40,3. Далее занесем второе ограничение в поле Ограничения, для чего проделаем аналогичную процедуру со вторым ограничением, которое располагается в ячейке А3, в правой части равенства указываем значение 21. Аналогично для последующих третьего и четвертого ограничений. Так как все условия задачи введены, щелкнем М1 по ОК. На экране - диалоговое окно Поиск решения (рис.2.1.11).

Рис.2.1.11. Диалоговое окно активизации инструмента Поиск решения.