3 .Площа бічної і повної поверхні циліндра

Впишемо в циліндр правильну n-кутну призму (рис. 29).

Площа бічної поверхні цієї призми S_п = Р_пН, де Р_п — периметр основи призми, а Н - її висота.

Як відомо, при необмеженому збільшенні п периметр Р_п необмежено прямує до довжини С кола основи циліндра. Отже, площа бічної поверхні призми необмежено прямує до СН. Тому величину СН приймають за площу бічної поверхні циліндра.

Рис. 29

Мал.29

Таким чином, площа бічної поверхні циліндра обчислюється за формулою:

S_{бок.п.цил.} = СН = 2 RН,

де R — радіус циліндра, а Н — його висота.

Площа повної поверхні циліндра обчислюється за формулою

S_{повн. п.} = S_{бок.п.цил.} +2 S_{осн.цил.} = 2 R(Н+R),

де S_{осн.цил.} = R²

Тема 6. Тіла обертання. Конус. Осьовий переріз конуса. Бічна та повна поверхня конуса

План

1. Тіла обертання. Конус.

2. Переріз конуса площинами

3. Бічна та повна поверхня конуса

1 .Конусом (точніше, круговим конусом) називається тіло, яке складається з кола — основи конуса, точки, яка не лежить у площині цього круга,— вершини конуса і всіх відрізків, що сполучають вершину конуса з точками основи (мал. 30). Відрізки, що сполучають вершину конуса з точками кола основи, називаються твірними конуса. Поверхня конуса складається з основи і бічної поверхні.

Конус називається прямим, якщо пряма, що сполучає вершину конуса з центром основи, перпендикулярна до площини основи. Далі будемо розглядати тільки прямий конус, називаючи його просто конусом. Наочно прямий круговий конус можна розглядати як тіло, утворене в результаті обертання прямокутного трикутника навколо його катета як осі (мал. 31).

Висотою конуса називається перпендикуляр, опущений з його вершини на площину основи. У прямого конуса основа висоти збігається з центром основи. Віссю прямого кругового конуса називається пряма, що містить його висоту.

Мал. 30 Мал.31

2.Переріз конуса площинами

Переріз конуса площиною, яка проходить через його вершину, є рівнобедрений трикутник, у якого бічні сторони є твірними конуса (мал. 32). Зокрема, рівнобедреним трикутником є осьовий переріз конуса. Цей переріз, який проходить через вісь конуса (мал. 33).

Теорема 8. Площина, паралельна площині основи конуса, перетинає конус по кругу, а бічну поверхню — по колу з центром на осі конуса.

Доведення. Нехай — площина, яка паралельна площині основи конуса і перетинає конус (мал. 34). Перетворення гомотетії відносно вершини конуса, яке суміщає площину з площиною основи, суміщає переріз конуса площиною з основою конуса. Отже, переріз конуса площиною є круг, а переріз бічної поверхні — коло з центром на осі конуса. Теорему доведено.

Мал.32 Мал.33 Мал.34

Площина, яка паралельна основі конуса і перетинає конус, відтинає від нього менший конус. Частина, що залишилася, називається зрізаним конусом (мал. 35).

Мал.35