Тема 4. Правильні многогранники

План:

1. Правильні многокутники

2. Розв’язування задач

Опуклий многогранник називається правильним, якщо його грані є правильними многокутниками з однією й тією самою кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника сходиться одне і те ж число ребер.

Існує п'ять типів правильних опуклих многогранників (мал. 20): правильний тетраедр, куб, октаедр, додекаедр, ікосаедр.

У правильного тетраедра грані — правильні трикутники; у кожній вершині сходиться по три ребра. Тетраедр — трикутна піраміда, всі ребра якої рівні.

У куба всі грані — квадрати; у кожній вершині сходиться по три ребра. Куб — прямокутний паралелепіпед з однаковими ребрами.

У октаедра грані — правильні трикутники, але на відміну від тетраедра в кожній його вершині сходиться по чотири ребра.

У додекаедра грані — правильні п'ятикутники. У кожній вершині його сходиться по три ребра.

У ікосаедра грані — правильні трикутники, але на відміну від тетраедра і октаедра в кожній вершині сходиться по п'ять ребер.

Тетраедр Куб Октаедр Додекаедр Ікосаедр

Мал. 20

Задачі

1. Основа піраміди – прямокутник зі сторонами 6 см і 8 см. Кожне бічне ребро піраміди рівно 13 см. Обчисліть висоту піраміди.

2. Основа піраміди – прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см. Всі двогранні кути при основі піраміди рівні 60⁰. Знайдіть висоту піраміди.

3. Побудувати переріз піраміди площиною, яка проходить через вершину піраміди та дві дані точки на її основі.

4. Побудуйте переріз трикутної піраміди площиною, яка проходить через сторону основи піраміди та дану точку на протилежному ребрі.

5. Побудуйте переріз чотирикутної піраміди площиною, яка проходить через сторону основи та точку на одному з бічних ребер.

6. Висота правильної чотирикутної піраміди рівна 7 см, а сторона основи 8 см. Знайдіть бічне ребро.

Тема 5. Тіла обертання. Циліндр, осьовий переріз циліндра, площа бічної та повної поверхні циліндра

План

1. Тіла обертання. Циліндр.

2. Осьовий переріз циліндра.

3. Площа бічної та повної поверхні циліндра

1.Циліндром (точніше, круговим циліндром) називається тіло, що складається з двох кругів, які не лежать в одній площині і суміщаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих кругів (мал. 21).

Круги називаються основами циліндра, а відрізки, що сполучають відповідні точки кіл кругів, - твірними циліндра.

Мал.21 Мал.22

Оскільки паралельне перенесення — це рух, то основи циліндра рівні.

Через те що при паралельному перенесенні площина переходить у паралельну площину (або в себе), та основи циліндра лежать у паралельних площинах.

Оскільки при паралельному перенесенні точки зміщуються вздовж паралельних прямих або прямих, що збігаються, на одну й ту саму відстань, то твірні циліндра паралельні і рівні.

Поверхня циліндра складається з основ і бічної поверхні. Бічна поверхня - з твірних.

Циліндр називається прямим, якщо його твірні перпендикулярні до площин основ.

Далі будемо розглядати тільки прямий циліндр, називаючи його коротко просто циліндром. Прямий циліндр наочно можна розглядати як тіло, утворене в результаті обертання прямокутника навколо сторони як осі (мал. 22).

Радіусом циліндра називається радіус його основи. Висотою циліндра називається відстань між площинами його основ. Віссю циліндра називається пряма, що проходить через центри основ. Вона паралельна твірним.

2.Переріз циліндра площиною, паралельною його осі, є прямокутник (мал. 23). Дві його сторони — твірні циліндра, а дві інші — паралельні хорди основ. Зокрема, прямокутником є осьовий переріз. Це — переріз циліндра площиною, яка проходить через його вісь (мал. 24).

Теорема 7. Площина, паралельна площини основи циліндра, перетинає його бічну поверхню по колу, яке дорівнює колу основи.

Доведення. Нехай — площина, паралельна площини основи циліндра (мал. 25). Паралельне перенесення вздовж напрямку осі циліндра, яке суміщає площину з площиною основи циліндра, суміщає переріз бічної поверхні площиною з колом основи. Теорему доведено.

Мал. 23 Мал.24 Мал. 25

Призмою, вписаною у циліндр, називається така призма, у якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічними ребрами — твірні циліндра (мал. 26)

Дотичною площиною до циліндра називається площина, яка проходить через твірну циліндра і перпендикулярна до площини осьового перерізу, що містить цю твірну (мал.27).

Призмою, описаною навколо циліндра, називається призма, у якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічні грані дотикаються до циліндра (мал. 28).

Мал. 26 Мал. 27 Мал. 28