Вычисление геодезических координат по плоским

На практике может возникнуть задача обратного перехода, когда известны плоские прямоугольные координаты точек, необходимо вычислить их геодезические широты и долготы. В этом случае используются формулы (7.52) курса лекций. Для эллипсоида Красовского имеем рабочую формулу, удобную для вычислений

где принято:

Отметим, что широты и долготы вычисляются по приведенным формулам в радианной мере.

Задание на выполнение работы:

Редуцировать на плоскость проекции Гаусса-Крюгера сеть триангуляции, предложенную в предыдущей работе. Для решения этой задачи необходимо:

1. Определить номер шестиградусной координатной зоны, в которую попадает геодезическая сеть и долготу осевого меридиана.

2. Вычислить плоские прямоугольные координаты всех пунктов.

3. Вычислить геодезические широты и долготы исходных пунктов.

4. Вычислить расстояния, редуцированные на плоскость проекции, между пунктами сети, проконтролировав вычислениями из решения обратной геодезической задачи на плоскости.

5. Вычислить поправки в измеренные направления и углы треугольников, проконтролировать их значения по сферическим избыткам треугольников.

Математические формулы

Здесь приводятся основные математические формулы, которые применяются при решении задач высшей геодезии.

1. Тригонометрические функции:

2. Формулы плоской тригонометрии:

B

Т еорема синусов:

;

Теорема косинусов:

;

Площадь треугольника:

где - полупериметр треугольника.

3. Формулы сферической тригонометрии:

Если обозначить стороны сферического треугольника в частях радиуса сферы, то получаем длины этих сторон на сфере единичного радиуса (сферические расстояния):

Теорема синусов:

Теорема косинусов:

Для решения прямоугольного сферического треугольника удобно применять аналогии Непера ( если катеты брать как дополнение до /2, а прямой угол не считать элементом ): косинус любого элемента треугольника равен произведению синусов двух несмежных с ним элементов или произведению котангенсов смежных с ним двух элементов. Например, пусть угол В треугольника равен /2, тогда получаем:

;

Сумма углов сферического треугольника: A + B + C = 180⁰ + , где  - сферический избыток, вычисляемый по формуле

^// = ^// S_ / R²

4. Разложение дифференцируемых функций в ряды:

Ряд Тейлора

Погрешность вычисления значения функции f оценивают с помощью остаточного члена в форме Лагранжа. Если, например, учтено n степеней разложения, то погрешность

,

где  - значение аргумента из области определения x , приводящее к максимально возможному значению производной.

Если применить формулу Тейлора для некоторых наиболее часто встречающихся функций, получим:

Формула Маклорена ( x₀ = 0 ) применяется для вычисления функций малых аргументов

Тригонометрические функции:

Биномиальное разложение ( n – любое, как положительное, так и отрицательное, как целое, так и дробное ):