Задача 4.2.Проверка гипотезы о нормальном законе распределения вероятности появления результатов измерения и их погрешностей при малом числе результатов

При малом числе результатов 11<n<50 нормальность распределения проверяется обязательным соответствием данного распределения двум критериям.

Первый критерий – статистика d

. (1.12)

При выбранном уровне значимости q₁ должно выполняться условие

Граничные значения статистик определяют по Приложению 4.

Второй критерий – условие ,

где m₁ – число разностей, которые соответствуют условию ;

- среднеквадратическое отклонение;

- квантиль интегральной функции Ф нормированного нормального распределения, его величина приведена в Приложении 5 , причем, ;

Р₂ - доверительная вероятность для второго критерия, ,

m – граничное число разностей, зависящее от уровня значимости и количества результатов (Приложение 6).

Пример 4.2.

Изготовлены детали. Одним из наиболее важных параметров каждой из деталей является длина (мм). Проведено 19 измерений этого параметра, результаты приведены в таблице 1.10. Необходимо проверить нормальность распределения случайных погрешностей этого параметра.

Таблица 1.10

Результаты измерений длин деталей

хi , мм	18,035	18,008	18,011	18,009	18,004	18,006
	18,010	18,003	18,008	18,006	18,012	18,005
	18,007	18,008	18,009	18,008	18,007	18,009	18,010

Решение:

Находим среднее арифметическое значение ,

Находим для всех 19 значений, для записи промежуточных результатов при расчетах удобнее пользоваться таблицами любой формы.

Затем рассчитывают . В данном случае эта сумма равна 0,036 мм.

Находим . В данном случае .

Статистика будет равна

.

Задаем уровень значимости . Для нахождения граничных значений статистик используем Приложение 4. Строки n=19 в таблице нет, соседние строки имеют вид

.

Используем линейную интерполяцию

;

.

Условие имеет вид

Первый критерий выполняется.

Проверяем второй критерий.

В соответствии с выражением (1.3) =0,028мм. Задаем уровень значимости второго критерия q₂=0,02.

Используя Приложение 6, находим , тогда

По Приложению 5 находим , учитывая, что .

Далее рассчитываем произведение

Просматриваем величины разностей и убеждаемся, что ни одна разность не превосходит 0,0072, хотя одно из этих значений могло превзойти 0,0072, так как m=1.

Второй критерий также выполняется. Таким образом, при уровне значимости результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения.

Вариант 4.1.

а). При проверке кинокопировального аппарата прерывистой печати методом двукратной экспозиции для кольца кинопленки из 90 кадров получены следующие значения вертикальной неустойчивости в кадровом окне. Проверить нормальность распределения данной погрешности. Результаты измерений (х_i , мм) приведены в таблице 1.11.

Таблица 1.11