Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
метрология лаб4.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
130.87 Кб
Скачать

Задача 4.1. Проверка гипотезы о нормальности закона распределения вероятности появления результатов измерений и их погрешностей при большом число результатов

Теоретическая часть.

Вид закона распределения вероятности может быть определен графически и аналитически. Аналитически вид распределения определяется при сравнении параметров данного (эмпирического) и теоретического распределений.

При проверке гипотезы о нормальности распределения проверяют равенство среднего арифметического и дисперсии эмпирического распределения математическому ожиданию и дисперсии нормального распределения.

Мера расхождения по Пирсону обозначается (критерий согласия)

, (1.11)

где , - частоты, равные числу результатов в каждом интервале, меньших или равных его правой или больших левой границы;

- общее число результатов;

- теоретическая вероятность;

- ширина интервала;

- плотности в серединах интервалов;

- плотности нормированного распределения, определяются по табл. Приложения 2 по ; - нормированное отклонение от среднего арифметического;

- среднее арифметическое;

- среднеквадратическое отклонение;

- число интервалов.

Для каждого интервала вычисляют величины , суммируют, находят меру расхождения . Если в интервал входят 5 и меньше значений, этот интервал объединяют с соседним.

Определяют число степеней свободы ,

где - число разрядов гистограммы;

- число независимых связей, к ним относятся: равенство среднего арифметического эмпирического и теоретического распределений; равенство математических ожиданий; равенство суммы частностей единице.

Задают уровень значимости , где - принятая доверительная вероятность (надежность).

По табл. Приложения 3 находят значения

и .

Если ≤ ≤ ,

то распределение считается нормальным.

Пример 4.1. Проверить нормальность распределения 100 результатов измерений среднего диаметра резьбового калибра. Результаты измерений приведены в таблице 1.8.

Таблица 1.8

Результаты измерений среднего диаметра резьбового калибра

Номер интервала

хi min , мм

хi max , мм

Частоты

mi

Частости

1

8,911

8,913

1

0,01

2

8,913

8,915

5

0,05

3

8,915

8,917

14

0,14

4

8,917

8,919

27

0,27

5

8,919

8,921

24

0,24

6

8,921

8,923

18

0,18

7

8,923

8,925

9

0,09

r=8

8,925

8,927

2

0,02

Решение:

Диапазон значений составляет от 8,911 до 8,927 мм. Этот диапазон разбит на 8 интервалов шириной 0,002 мм. В каждом интервале рассчитывают частости . Рассчитывают среднее арифметическое значение (1.1)

Вычисляют среднеквадратическое значение (1.3)

Далее для расчета критериев согласия по интервалам и суммарного критерия согласия составляют и заполняют табл. 1.9.

Число степеней свободы в данном случае равно

,

так как два интервала были объединены, а число независимых связей s=3.

Задаем уровень значимости q­­1=0,1 (при уровне надежности Р=0,9). По табл. Приложения 3 находим граничные значения отклонений

; .

Условие 0,352<1,125<7,815 выполнено, следовательно, распределение можно считать нормальным.

Таблица 1.9

Результаты расчетов

Номер интервала, i

Середина интервала, хi , мм

Частота, mi

xi-X , мм

Нормированное отклонение

t = (xi-X) / 6

Плотность нормированного распределения p(ti)

Приложение.2

Плотность в середине интервала p(xi)=p(ti) / 6

Теоретическая вероятность

nPi= ∆ xi p(xi)n

Отклонение χi 2

1

8,912

1

-0,00736

-2,53

0,0163

5,8

1,16

0,018

2

8,914

5

-0,00536

-1,92

0,0632

22,6

4,52

3

8,916

14

-0,00336

-1,20

0,1942

69,5

13,9

0,007

4

8,918

27

-0,00136

-0,49

0,3546

126,7

25,34

0,109

5

8,920

24

+0,00064

+0,23

0,3885

138,8

27,76

0,509

6

8,922

18

+0,00264

+0,94

0,2558

91,3

18,26

0,004

7

8,924

9

+0,00464

+1,66

0,1006

36,0

7,2

0,4850

8

8,926

2

+0,00664

+2,37

0,0241

8,6

1,72