Вариант 5.

Часть 1.

В1. В об­ще­жи­тии ин­сти­ту­та в каж­дой ком­на­те можно по­се­лить че­ты­рех че­ло­век. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство ком­нат не­об­хо­ди­мо для по­се­ле­ния 83 ино­го­род­них сту­ден­тов?

В2. Цена на элек­три­че­ский чай­ник была по­вы­ше­на на 21% и со­ста­ви­ла 3025 руб­лей. Сколь­ко руб­лей стоил чай­ник до по­вы­ше­ния цены?

В3. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, на сколько градусов нагреется двигатель с третьей по пятую минуту разогрева.

В4. Для из­го­тов­ле­ния книж­ных полок тре­бу­ет­ся за­ка­зать 36 оди­на­ко­вых сте­кол в одной из трех фирм. Пло­щадь каж­до­го стек­ла 0,25 м². В таб­ли­це при­ве­де­ны цены на стек­ло, а также на резку сте­кол и шли­фов­ку края. Сколь­ко руб­лей будет сто­ить самый де­ше­вый заказ?

 

Фирма	Цена стек­ла(руб. за 1 м2)	Резка и шли­фов­ка (руб. за одно стек­ло)
A	415	75
B	430	65
C	465	60

В5. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты (1;6), (9;6), (7;9).

В6. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 7 из них встречается вопрос по производной. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по производной.

В7. Найдите корень уравнения 

В8. Сторона правильного треугольника равна  . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

В9. На рисунке изображён график функции y=f(x) и семь точек на оси абсцисс: х₁, x₂, x_3, x_4, x_5, x₆, х₇. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

В10. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме  все ребра равны   Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми В и Е₁.

Часть 2.

В11. Найдите  , если   и  .

В12. Катер должен пересечь реку шириной  L = 75 м и со скоростью течения u=0,5 м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением  , где   — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом   (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 150 с?

В13. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S — вершина, SO=4, SC=5. Найдите длину отрезка AC.

В14. Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

В15. Найдите наибольшее значение функции   на отрезке  .

С1. а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

С2. Точка Е – середина ребра АА₁ куба . Найдите площадь сечения куба плоскостью C₁DE, если рёбра куба равны 2.

С3. Решите систему неравенств:

Воркута Декабрь 2013