6. Интерполяционные формулы Ньютона в случае равноотстоящих узлов

При интерполировании в начале или конце таблицы принято записывать интерполяционный многочлен в виде так называемых формул Ньютона для интерполирования вперед или назад.

Формула

, (6)

где называется интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования вперед (см., например, , с.66).

Формула

, (7)

где называется интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования назад (см., например, , с.66).

В формуле (6) начало отсчета расположено в крайнем левом узле , поэтому ее удобно использовать, когда точка , в которой вычисляется значение , находится в начале таблицы. В формуле (7) начало отсчета расположено в крайнем правом узле , поэтому ее удобно использовать при интерполяции в конце таблицы. Остаточные члены интерполяционных формул (6) и (7) будут такими:

, где .

Иногда удобно записывать интерполяционные формулы (6), (7) с помощью разностей вперед:

(6¹)

, (7¹)

где .

При интерполировании внутри таблицы можно воспользоваться интерполяционной формулой Ньютона-Стирлинга (см. ; с.52)

где , .

Здесь ближайший узел к заданной точке , а - некоторая (неизвестная) точка отрезка, содержащего .

Варианты лабораторной работы по теме:

«Интерполяция функции одной переменной»

Вариант 1

Задание 1

Для функции составить интерполяционные многочлены Лагранжа L и Ньютона N, используя значения в узлах 0,0.2,0.4,0.5,0.6. Найти их значения и значение функции в точке Сравнить все три полученные значения. Заполнить таблицу вида

Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона

		Погрешности
		=…
		=…

В коэффициентах многочленов сохранять по 2 десятичных знака, в значениях и - по 4 десятичных знака, погрешность записать в форме с плавающей точкой.

Задание 2

Для функции заданной таблично

	0	0.2	0.4	0.6
	0	0.564	0.865	0.532

составить интерполяционные многочлены Лагранжа L и Ньютона N, используя значения во всех данных в таблице узлах. Найти полагая а) б) ,где =0.2. Заполнить таблицу вида

Интерполяция табличной функции

В коэффициентах сохранять по 2 десятичных знака, в - по 4 десятичных знака, записать в форме с плавающей точкой.

Вариант 2 Задание 1

Для функции составить интерполяционные многочлены Лагранжа L и Ньютона N, используя значения в узлах 0, 0.2, 0.5, 0.8, 1.0, 1.2, 1.5. Найти их значения и значение функции в точке Сравнить все три полученные значения. Заполнить таблицу вида

Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона

		Погрешности
		=…
		=…

В коэффициентах многочленов сохранять по 2 десятичных знака, в значениях и - по 4 десятичных знака, погрешность записать в форме с плавающей точкой.