5. Обернена пропорційність, її властивості і графік

Означення. Оберненою пропорційністю називається функція виду , де k – деяке число, що не дорівнює нулю.

Число k у формулі називають коефіцієнтом оберненої пропорційності.

Областю визначення оберненої пропорційності є множина R \ {0}.

Графіком оберненої пропорційності є гіпербола. На рис. зображено графіки оберненої пропорційності для .

Для оберненої пропорційності відношення двох довільних значень аргументу дорівнює оберненому відношенню відповідних значень функції: .

Для оберненої пропорційності з додатним коефіцієнтом збільшенню (зменшенню) аргументу в кілька разів відповідає зменшення (збільшення) значення функції у стільки ж разів.

Наприклад. Знайти формулу оберненої пропорційності, якщо при значенні аргументу х = 2 функція набуває значення у = – 2.

Розв’язання. За означенням оберненої пропорційності шуканою формулою є , де k – деяке число, відмінне від нуля. Оскільки за умовою х = 2 і у = – 2 задовольняють цю формулу, то маємо . Звідси .

Отже, шуканою формулою є .

Отже, функція задана формулою , де х – незалежна змінна, k 0 – дане число називається обернена пропорційність.

Графіком є гіпербола, яка складається з двох віток. Якщо k > 0, то вітки гіперболи лежать у І і ІІІ чвертях, якщо k < 0, то у ІІ і ІV чвертях.

Властивості:

1. Область визначення: D (y) = R, крім 0.

2. Область значень: Е (y) = R, крім 0.

3. Якщо k > 0 – функція спадає, якщо k < 0 – функція зростає.

4. Функція непарна.

Приклад: , S – const, t – зменшується, V – збільшується.

Питання для узагальнення

• Яка функція називається оберненою пропорційністю?

• Що є графіком оберненої пропорційності?

• Які властивості має обернена пропорційність?

• При якій умові функція зростає (спадає)?

6. Функціональна пропедевтика в початковій школі

Поняття функції є одним із фундаментальних математичних понять. Велика увага його формуванню надається в курсі математики середньої школи.

В початковій школі формуються початкові уявлення про функціональну залежність, хоч можливості досить обмежені, але вчитель повинен їх використовувати.

І етап

Одні з найпростіших видів функціональної залежності є пряма і обернена пропорційності.

Якщо є 3 величини а, b, с і відношення двох дорівнює третій, тобто , причому а (це третя величина) стала, то перші дві величини змінюються прямо пропорційно.

Чим більша кількість, тим більше вартість при однаковій ціні.

Ціна =

Якщо ж одна з трьох величин дорівнює добутку двох інших, тобто , і її значення однакове (стале), то дві інші пов’язані обернено пропорційною залежністю.

Вартість = ціна · кількість

↓ ↓ ↓

стала = k у х

(однакова)

При сталій (однаковій) вартості чим більша кількість, тим менша ціна і навпаки.

У початковій школі учні отримують перші уявлення про ці залежності. І перш за все тому, що вони мають загальноосвітнє значення, зустрічаються в повсякденному житті дітей.

Приклади:

№	а	b	с
1)	Ціна товару	Кількість товару	Вартість товару
2)	Норма виробітку	Час роботи	Загальний виробіток
3)	Маса 1 предмета	Кількість предметів	Загальна маса
4)	Врожайність	Площа	Врожай
5)	Швидкість	Час	Відстань
6)	Витрати матеріалу на 1 виріб	Кількість виробів	Загальні витрати
7)	Продуктивність праці	Час	Загальний виробіток
8)	Місткість 1 посудини	Кількість посудин	Загальна місткість
9)	Заробіток за 1 годину	Час	Загальний заробіток

З величинами діти знайомляться через задачі.

Спочатку вчаться розв’язувати прості задачі з пропорційними величинами (після ознайомлення з діями ділення і множення).

Перші уявлення – при ознайомленні з конкретним смислом дії множення.

Наприклад:

Маса однієї посилки 3 кг. Яка маса 6 таких посилок?

Маса порося 18 кг. Яка маса 3-х поросят?

Банка вміщує 3 л соку. Скільки соку треба, щоб заповнити 4 таких банки?

На дитяче пальто витрачають 2 м драпу. Скільки таких пальт можна пошити з 6м драпу?

Перші задачі спочатку можна коротко записати «традиційно».

1 пос. – 3 кг

6 пос. – ?

А далі показати інший варіант в таблиці.

Маса 1 посилки	Кількість посилок	Загальна маса посилок
3 кг	6	?

Я кщо важко вибрати дію, ілюструємо кресленням:

Далі звертається увага на зв'язок між величинами; як знаходити масу 1 предмета, кількість, загальну масу і т.д. Тобто встановлюється залежність між величинами і формулюються висновки.

Корисні вправи:

Ціна	Кількість	Вартість
2	6	?
3	?	18
?	4	20

Ціна	Кількість	Вартість
5	10	?
5	15	?
5	20	?
5	30	?

Аналогічно:

однакова кількість (4; 4; 4; 4)

однакова вартість (40; 40; 40; 40).

Кожний рядок – окрема задача.

Встановлюємо, про які величини йдеться в задачі. Які величини відомі?

Яку треба знайти? Як?

Далі аналізуємо:

1. Зростає кількість; зростає вартість (ціна стала).

2. У скільки разів зростає кількість, у стільки разів зростає вартість.

У цій роботі потрібна система.