2. Поняття функції. Способи задання функцій

Означення. Функція – це залежність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню змінної х відповідає єдине значення у.

y = f (x)

y = x + 25

Змінну х називають незалежною змінною (аргументом), а змінну у – залежною змінною (функцією). Говорять також, що у є функцією від х.

f, g, h... – функції

Означення. Область визначення функції (D (y)) – множина значень, яких набуває незалежна змінна х.

, D (y) = R, крім 3.

Означення. Область значень функції (E (y)) – множина значень залежної змінної у, яких вона набуває при всіх значеннях х.

Означення. Числова функція – це функція, в якої область визначення і множина значень є числові множини.

Способи задання функції:

1. Аналітичний (за допомогою формулою). Н.: .

Аналітичний спосіб означає задання функції формулою, що показує кількість і послідовність операцій над аргументом х, які необхідні для того, щоб дістати значення цієї функції. Якщо при цьому не зазначається область визначення функції, то під останньою розуміють множину допустимих значень аргументу, тобто множину тих значень аргументу, для яких за формулою можна знайти відповідні значення функції.

2. Табличний (за допомогою таблиці)

Табличний спосіб задання функції полягає в написанні таблиці відповідних значень аргументу та функції. Цей спосіб задання функції часто застосовують в експериментальних дослідженнях, а також у математиці: таблиці квадратів і кубів чисел, таблиці значень тригонометричних функцій та ін.

Н.:

х	1	2	3	4
у	1	4	9	16

3. Словесний (переліком пар).

4. Графічний (за допомогою графіка).

Графік функції – це зображення на координатній площині множини упорядкованих пар. Прямі Ох і Оу взаємно перпендикулярні, О – точка перетину цих прямих і початок координат. Ох – вісь абсцис, Оу – вісь ординат.

Означення. Графіком функції , називають множину точок координатної площини, де , а

Графічний спосіб задання функції полягає в тому, що вихідною інформацією про цю функцію є її графік. При цьому для довільного значення х з області визначення Х можна знайти відповідне значення у функції. Прикладом графічного способу задання функції є електрокардіограми, за якими м едики аналізують роботу серця.

У математиці графічне зображення функцій використовують і тоді, коли функція задана аналітичним чи табличним способом. Якщо треба з’ясувати загальний характер поведінки функції та її особливості на деяких підмножинах області визначення, графік, завдяки його наочності є дуже корисним.

Найчастіше графіком функції є деяка лінія координатної площини. Проте не кожна лінія є графіком функції. Справа в тому, що при заданому значенні аргументу х існує лише одне відповідне йому значення функції у. Тому на кожній прямій, паралельній осі ординат, може лежати не більше однієї точки графіка функції.

Наприклад, лінія, зображена нижче не є графіком функції.

Отже, якщо кожному елементу х числової множини Х за правилом f відповідає єдине число у, то говорять, що на множині Х задано числову функцію f (х), і пишуть: . При цьому х називають аргументом, а у – значенням функції. Множину Х називають областю визначення функції, а множину значень, які функція набуває, - її множиною значень; останню позначають через f (Х).

Для області визначення і множини значень функції f застосовують також відповідно позначення і .

Функцію f (х) можна вважати заданою, якщо задано її область визначення Х і правило f , за яким для довільного х з області визначення Х можна знайти (обчислити) відповідне йому значення у, у = f (х).

Питання для узагальнення

• Що називається функцією?

• Що таке графік функції?

• Які існують способи задання функції?