6. Вычисление площадей криволинейных фигур.

Определённый интеграл геометрически даёт площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), прямыми x=a, x=b слева и справа и снизу отрезком оси OX.

Площадь любой плоской фигуры в прямоугольной системе координат может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилегающих к оси OX (или OY).

Задачи на вычисление площадей плоских фигур решают по следующему плану:

1. Делают схематический чертёж по условию задачи;

2. Составляют формулу для вычисления площади полученной фигуры и находят пределы интегрирования из условия задачи;

3. Вычисляют площадь фигуры по составленной формуле.

6.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

6.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. и

2 . и ,

3. и

4. и

5. и

6. и

7.

8.

9. и

10. ,

11. и

6.3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. ;

2.

3. ,

7. Объём тела вращения.

7.1.Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями:

1. , , , ;

2 .

3.

4.

5.

6.

Применение интеграла к решению технических задач.

8.Путь, пройденный телом.

Нахождение пути, пройденного телом при прямолинейном движении.

Как известно, путь, пройденный телом при равномерном движении за время , вычисляется по формуле

Если тело движется не равномерно в одном направлении и скорость его меняется в зависимости от времени , т.е. то для нахождения пути, пройденного телом за время от разделим этот промежуток времени на равных частей . В каждой из таких частей скорость можно считать постоянной и равной значению скорости в конце этого промежутка. Тогда пройденный телом путь будет приближённо равен сумме т.е.

Если функция непрерывна, то

Итак,

8.1. Скорость движения материальной точки задаётся формулой . Найти путь, пройденный точкой за первые четыре секунды движения.

8.2. Скорость движения изменяется по закону Найти путь, пройденный телом за третью секунду движения.

8.3. Скорость движения тела задана уравнением Определить путь, пройденным телом от начала движения до остановки.

8.4.Тело брошено вертикально вверх со скоростью Найдите наибольшую высоту подъёма тела.

8.5.Два тела выходят одновременно из одной точки: одно со скоростью другое – со скоростью На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 20 секунд после начала движения, если движутся по прямой в одном направлении?

8.6. Два тела одновременно начали прямолинейное движение из одной точки в одном направлении со скоростями и Через сколько секунд после начала движения расстояние между нами будет равно 250 м?