Неопределенный интеграл и его свойства.

1. Актуализация изучаемого материала.

Известно, что каждому математическому действию есть обратное ему действие. Например, сложение есть действие, обратное вычитанию, деление – умножению и т.д.

Мы знаем, что для данной функции по известным нам формулам можно найти производную, имеющую большое значение для исследования функции. Действие нахождения производной или дифференциала называется дифференцированием.

Но часто бывает необходимо решать и обратную задачу, т. е. по производной восстановить функцию, по угловому коэффициенту касательной к кривой составить уравнение самой кривой, по уравнению скорости движения найти уравнение самого движения и т.д.

Потребность отыскания функции по ее производной, а также потребность создавать общий метод для вычисления площадей, объёмов, работы и т. д. привели к созданию интегрального исчисления.

Возникновение интегрального исчисления, так же как и дифференциального относится ко II половине 17 века. И связывают его с именами английского математика и механика И. Ньютона и немецкого математика и философа Г. Лейбница. Дальнейшее развитие интегральное исчисление получило в трудах ученых различных стран. В России интегральное исчисление разрабатывали Л. Эйлер, М.В. Остроградский, П.А. Чебышев, а в последние десятилетия

Н.Н. Лузин, А.Л. Хинчин, А.Н. Колмогоров и др.

2. Интегрирование и первообразная.

Определение. Интегрированием называется действие нахождения функции по её производной или по её дифференциалу.

Полученная при этом функция называется первообразной.

Определение. Первообразной функцией для данной функции f(x) называется такая функция F(x), производная (или дифференциал) которой равна f(x) (или f(x)dx), т.е. выполняется условие F′(х)=f(х)

Например: f(x)=3х² , тогда F(x)=x³, т. к. F^’(x)=3x².

Но производной функции соответствует не единственная первообразная, а множество, причем они отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Действительно, функции F(x)= x³+5,

F(x)= x³-100

…………………

F(x)=x³+ C,

являются первообразными для функции f(x)=3x², где С - любое действительное число.

Определение. Совокупность всех первообразных функций F(x)+C для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается.

,

где f(x) – подынтегральная функция;

f(x)dx – подынтегральное выражение;

F(x) – первообразная;

С- произвольная постоянная интегрирования.

Так, пользуясь определением неопределённого интеграла, можно записать:

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. Дифференциал неопределенный интеграла равен подынтегральному выражению.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной С.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла.

, где a=const, a≠0

4. Неопределённый интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций.