random books / ВОЛЬКЕНШТЕЙН М. - Оптика (1951)

Таким образом, в спектрографе нулевая полоса непосред­ ственно вычерчивает кривую дисперсии вещества. Масштаб этой кривой зависит от d и {.1 На рис. 13,а представлена спек­ трограмма паров Na, полученная по· этому методу. На спектрограмме видны линии

а 1I0глощения Na (л 5890,0 А и л 5895,9 А).

Рядом с ними видна картина дисперсии в со­ ответствии с выведенными формулами. Если

теперь поместить на пути одного из интер­

ферирующих лучей стеклянную пластинку, ею будет внесена дополнительная разность

бхода, благодаря чему появится определен­ ный наклон у интерференционных полос. Там, где наклон полос, вызванный пла­ стинкой, больше наклона полос от паров, будет преобладать первый. TIL\{, где они равны, имеется минимум (слева от линий по­

глощения) или максимум (справа от линий поглощения). Вблизи линий поглощения и между ними преобладает наклон от па­

ров, поэтому он просто неСКО,1ЬКО умень­ шен на рис. 13,6 по сравнению с рис. 13, а. На рис. 13,8 и 13, z показаны картины,

вполучающиеся с более толстыми стеклами,

дающими больший наклон. При этом удается получить более резкие макси­ мумы и минимумы (названные д. С. Рож­ дественским крюками) и получить их

также и между линиями ПОГJющения. Чем ближе крюки подходят к линиям поглощения (при толстых стеклах и ма-

глых плотностях пара), тем точнее можно

измерить' дисперсию. Приведем расчет. Пусть толщина пластинки d', а показа­

наклонную полосу и определив ее длину волны на ординате Yk,

шает точность обычных спектрофотометрических определений.

его сотрудников были определены силы осцилляторов в спек­ трах различных металлов. 1

Кисследованию дисперсии в веществах, состоящих из

многоатомных молекул, метод Рождественского до сих пор не применилея. Такие исследования, несомненно, представят исключительный интерес, но встретятся со значительными труд­

ностями, связанными со сложностью структуры полос погло­

щения (электронно-колебательно-вращательных).

В 1945 г. И. В. Обреимов 2 предложил тонкий и чувстви- тельный метод определения n(л), основанный на комбинирова­ нии спектрографа с ус­

орита, толщина которой d и показатель преломления n2 (л) известны С высокой точностью. На пластинку, нормально к ней, падает параллельный пучок белого света. Часть пучка проходит через пластинку с пока-

для физических и технических измерений. Изд. АН (1945).

зателем преломления n2• часть - через жидкость с показателем преломления n1 (рис. 14). Тогда вдоль геометрической тени пластинки будет наблюдаться интерференция обоих пучков, дающая френелево диффракционное явление. Разность хода

обоих пучков

A=(n2 - nt )d.

Допустим, что падающий свет монохроматический, с дли­ ной волны л. Тогда, если А равна нечетному числу полуволн, вдоль края геометрической тени будет наблюдаться темная подоса, окаЙМJlенная более слабыми диффракционными поло­ сами. Если мы освещаем сосуд с пластинкой (кубиком) белым светом, исходящим из некоторой горизонтальной щели, причем параллельно этой щели располагается и дифрагирующая грань кубика, и принимаем прошедший свет на накрест лежащую

,

нечетномУ числу полуволн. Светлому промежутку между пят­ намИ соответствует такое значение Л, для KOTOr;OfO ~ равна

целому числу волн. Для каждого светлого промежутка

лого промежутка, то для соседних светлых промежутков имеем

ния. Следовательно. задача измерения кривой дисперсии n1 (л)

сводитсяк одному точному измерению показателя преломления для одной длины волны Л. При этом необходимо. конечно,

. знать точное значение толщины кубика d и кривой дисперсии

материала,ИЗ которого он сделан.

В цитированной работе И. В. Обреимова приводится по­ дробная теория метода, его различные модификации, анализ

погрешностей и многочисленные применения.

ГЛАВА 4

ЭЛЕМЕНТЫ КРИСТАЛЛООПТИКИ

§ 17. Симметрия и физические свойства кристаллов

Молекулярнооптические явления представляют важный ИСl'очник сведений о строении и свойствах твердых тел и о процессах, в них происходящих. Строение твердого тела­ одна из актуальных проблем современной физики; в разреше­ НИJI ЭТОЙ проблемы роль оптических методов весьма суще­ ственна: Во всем дальнейшем изложении нам неоднократно

ПРliдется возвращаться к явлениям. происходящим в кристаллах.

НеСМQТРЯ на то, что свойствам кристаллов посвящен ряд монографий, 1 мы считаем необходимым дать краткую харак­

теристику этих свойств.

В отличие от жидкостей и газов. в общем случае, кри­ сталл анизотропен, имеет различные свойства по разным на· ПР:;l.влениям. Это наиболее важное и универсальное свойство кристалла, этим свойством в первую очередь определяется

в твердых кристаллах имеется правильное расположение частиц

техиздат (1944).

А. Шубников, Е. Флинт н Г. Бокни, Основы кристалло­

9 Зах. 2024. М. В. ВолькенurrеЙн.

кристалл обладает кристаллической решеткой. В случае жидких кристаллов такой решетки нет. В жидких кристаллах все поло­ жения частиц равновероятны, но, при заданном положении одной частицы, положения соседних частиц вдоль различных направлений не равновероятны. В этой главе мы рассматриваем

только твердые кристаллы.

Наиболее общие свойства любого тела, это геометрические свойствасвойства симметрии. Однако геометрические свой­ ства тела определяются его физическим строением и поэтому любые физические свойства тела, так или иначе, характери­ зуются его симметрией.

Выводы, которые удается сделать на основании исследо­ вания свойств симметрии, носят наиболее общий характер и не зависят от специализированной теории: они в равной мере справедливы и в классической и в квантовомеханической

теории.

Тело сложного строения может рассматриваться как система точек. Примером такого тела может служить любая много­

атомная молекула; точками в этом случае являются атомы, из которых она построена. Такая конечная точечная система может, как известно, обладать тремя типами элементов сим·

метрии.

Первый тип - оси симметрии, обозначаемые Сп. Если при

повороте вокруг некоторой оси на угол 2~n тело совмещается

само с собой, то оно обладает осью симметрии Сп. В моле­ кулах практически встречаются оси порядка n = 2, 3, 4, 5,6 и оси полной аксиальной симметрии СОО (линейные молекулы). Второй тип- плоскость зеркального отражения - тело совме­ щается само с собой при отражении от некоторой плоскости. Такая плоскость обозначается о; есди система одновременно обладает осью симметрии, лежащей в этой плоскости, пло­ скость симметрии называется вертикальной и обозначается 0v' если ось симметрии нормаЛьна к плоскости о, последняя назы­ вается горизонтальнойи обозначается оп. Наконец, если само·

совмещение системы достигается при повороте вокруг неко-

2Jt

-торой оси на угол -n и последующем отражении в плоскости

перпендикулярной оси, система имеет зеркально-поворотную ось n-ого порядка, обозначаемую S.. Порядок II В этои

кулярной этой оси; то же самое самосовмещение может быть достигнуто отражением точечной системы в точке, являющейся

пересечением ЭТОй оси и плоскости - в центре симметрии системы. В этом случае система обладает зеркально-поворот-

элементами симметрии приводит к тому, что число возможных

типов симметрии точечных систем оказывается ограниченным.

Число типов или групп симметрии, складывающихся из конеч­

ного числа поворотов и отражений (следовательно, без осейСсо),

равно четырнадцати. Это: две простых группы СП и 821

содержащиеоднулйшь ось (простуюи зеркально-поворотную;,

а,. ...L Сп' D21I = Vh ; группа DfId - комбинация D n с n плоско­ стями симметрии, проходящими между осями второго порядка;

9*

его осей симметрии; группа Та - совокупность всех элементов симметрии тетраэдра; группа О - осей симметрии октаэдра; ТN- совокупность элементов симметрии, представляемых диа­ гоналями куба, тремя ОСЯМИ С2, проходящими через центры противоположных граней, и тремя плоскостями симметрии, параллельными граням куба; О,. - совокупность всех элемен­ тов симметрии куба; J и J1I, - группы, являющиеся соответ­ ственно совокупностью всех осей симметрии или всех элемен­ тов симметрии икосаэдра. lIодробное рассмотрение точечных групп симметрии с соответствующими примерами (молекулы), читатель найдет в другом месте. 1

Кристалл можно рассматривать как практически бесконеч­ ную регулярную систему точек. Такая система может обладать теми же элементами симметрии Сп' 8т а Н, кроме того, транс­ ляционными элементами симметрии. Так как решетка прини­ мается бесконечной, она самосовмещается при параллельном

переносе вдоль некоторого направления, вдоль которого свой­ ства решетки периодичны. Комбинация трансляций вдоль оси симметрии с поворотом вокруг этих осей приводит к появле­ нию новых элементов - винтовых осей симметрии; комбинация отражения в некоторой плоскости с трансляцией вдоль напра­ вления, лежащего в этой плоскости, ПрИВОДИТ К появлению плоскостей скольжения. Наличие трансляционной симметрии

в кристалле ограничивает возможные значения n - порядка оси вращения. В кристалле возможны лишь оси порядка n = 2, 3, 4, 6. Число возможных групп симметрии кристал­

лов значительно превышает число групп симметрии конечных точечных систем, но также является ограниченным. Все воз­ можные группы симметрии кристаллов были найдены Е. С. Фе­ доровым. Их число равно 230.

Они могут быть разделены на 32 класса точечной симме­ трии: С1 (нет осей и плоскостей симметрии), Ci (центр сим­

-,.

_";

Се", Dsn·

6. Кубическая Т, Т1I• Та. О, 0h'

Таким'образом, кристалл триклинной системы может иметь максимальную симметрию С, - центр симметрии, кристаллы моноклинной и ромбической системы симметрии имеют оси

симметрии второго порядка, кристаллы тетрагональной и гекса­ гональной систем могут иметь оси симметрии порядков 3. 4, 6. Наконец, криста.,л кубической системы имеет наиболее

РИС. 17. Энантиоморфные кристаллы.

высокую для дискретной структуры симметрию - симметрию

тетраэдра, октаэдра или куба. Кристаллы классов С,. C2h;

вать в дВУх, так называемых энантиоморфных формах --. пра­ вой плевой, являющихся зеркальными отражениями друг

друга (рис. 17).

Любые физические свойства кристалла в значительной сте­

пени определяются его симметрией. Мы уже указывали (§ 3),

!II

:1

11

III;If

~11I

что физические величины (речь шла о поляризуемости), выра­ жающие свойства анизотропного тела, имеют характер тензо­ ров. Очевидно, что при рассмотрении физических свойств анизотропного тела существенна не только симметрия атого

тела, но и симметрия физической величины, о которой идет речь. Симметрия физической величины выражается видом и рангом соответствующего тензора. Симметричный (эрмитов)

теНЗ0р второго ранга, каким, в частности, является тензор поляризуемости, обладает центром симметрии, иными словами, его значение не меняется при замене всех координат· их отри­ цательными значениями. В самом деле, перейдем от тензора, aik'

записанного в системе координат х, у. Z, к тензору а,Тс, запи- санному в системе координат х' = - х, у' = -у, z' = - Z.

При преобразовании системы координат тензор второго ранга трансформируется,как произведениедвух векторов [ер. (2,7)]. Имеем

,

aik = a'k,

что и требовалось доказать.

Отсюда следует, что любое физическое свойство, пред­ ставляемое симметричным(армитовым) тензором второго ранга, есть свойство центросимметрическоеи, следовательно,в отно­ шении этого свойства нет разницы между теми кристалли­ ческими классами, которые обладаютили не обладают центром симметрии. Вместо 32 классов мы получаем 11 - наличие

центра симметрии определяется характером самой физической величины (табл. 24).

Дальнейшее упрощение, уменьшение числа классов, кото­ рые нужно рассматривать, вносится благодаря следующему лажному свойству тензора, выражающего данную физическую

величину. Свойства симметричного тензора ранга подинаковы во всех системах, имеющиХ аксиальную симметрию п~рядка n+ 1 и выше. Это означает, что тензор второго рангя., пред­

ставляющий свойства кристалла,. имеет всего пять различных форм, соответствующих определенным кристаллическим систе-

система.

2. Тензор имеет центр симметрии, ось второго порядка и плоскость ей нерпендикулярную- моноклинная система.

3. ТеНЗ0Р имеет центр симметрии, три взаимно перепенди­ кулярных оси второго порядка и плоскости симметрии, про­

ходящие через любые две оси - ромбическая система.

4. Тензор имеет аксиальную симметрию - тетрагонanьная

игексагональная системы.

5.Тензор имеет сферическую симметрию - кубическая

система.

В случае кубической системы имеются оси порядка выше 2, но тензор второго ранга имеет форму (симметрию), отличную от предыдущей, так как в этом случае три взаимно перпенди­

кулярных координатных направления равнозначны.

Симметрия и форма симметричного тензора второго ранга

вприведенных случаях следующие:

1.Ci , тензор имеет вид

не имеющая плоскости симметрии аь и центра симметрии, но ось СОО и бесконечное множество перпендикулярных СОО осей С2• Это симметрия DJ:j.

5. Симметрия Кh изотропного тела. Бесконечное множество осей Сео, пересекающихся в одной точке; и бесконечное мно­ жество плоскостей симметрии, проходящих через эту точку. Сама эта точка является центром симметрии. Форма те~зора

оО ан

Докажем, что при наличии оси второго порядка С2, симметричный тензор должен иметь форму (4,3а). Совершаем поворот системы

Но, так как ось С2, ось Z, есть элемент симметриисистемы и, следо­ вательно, поворот около этой оси на 1800 не должен менять никаких СВОйств системы. имеем:

аа:. == ауз == О,

т. е. мы действительно получим форму тевзора (4,3а), что и требо­

валось доказать.

Докажем аналох:ичным образом форму (4.3в) для случая СИМ­ метрии с осью Са. С, Св. Таблица направляющих косинусов для

в случае кубической системы преобразованиесводится'к цикли­ ческой Ilерестаиовке осей Х, у, Z, чему соответствует табличка

х' у' z'

х U U 1

у 1 О О z О 1 О

и соотношения

ажж, = ауу = ахж

,

ауу = аzз == ауу

а;е: = аа:а: = авв

и

аж// = ayz == аzж = О.

Таким образом, в случае 2 - моноклинной системы, на­ правление оси симметрии кристалла (не смешивать с кристалло­ графическими осями, принятыми для описания внешней формы кристаллаl) есть одна из главных осей тензора. В случаях ромбической, тетрагональной и гексагональной систем тензор оказывается приведенным к диагональной форме В системе осей, совпадающих с осями симметрии кристалла. В случае кубической системы кристаЛл изотропен в отношении любого свойства, представляемого симметрическим тензором второго

ранга.

Установим, наконец, наиболее грубое деление кристаллов по формам зллипсоидов, изображающих симметрический тен­ зор второго ранга. Этот эллипсоид обращается в сферу в слу­ чае кубической системы. Он является эллипсоидом вращения в случае гексагональной и тетр~гональноlt системы (одноосные кристаллы). В остальных случаях все три главные оси эллип­

соида имеют различные значения (двухосные кристаллы). Выразим эти J::BoltcTBa математически. Преобразуем систему~

координат таким образом, чтобы новая ось z' совпадала с на­ правлением, в котором изучается то или иное физическое явление (например, направление вектора напряженности поля

и т. д.). Тогда значение a~B дает коэффициент, связывающий

Компоненты вдоль оси z' двух векторов, определяющих фи­ зическое СВОItСТВО (например, вектор поляризации и вектор

140 ЭЛЕменты кристлnлооптики (гл. 4

электрической напряженности). Согласно (4,1), имеем для сим­

метричного тензора:

а~з = аl1(1,з')2+~2(2,з')2+а88(з,з')2+

+2аи (1 ,3') (2,3') +2а18 (1,3') (3,3') +2028 (2,3') (3,3'). (4,4)

Это уравнение поверхности второго порядка - трехосного эллипсоида. Наличие элементов симметрии у кристалла упро­

щает это уравнение, в соответствии со значениями a'k' при­

веденными в (4,3), (4,3а), (4,3б), (4,3в), (4,3г). В табл. 25

дана сводка выражений а;з для всех кристаллических систем.

В кристалле триклинной системы эллипсоид трехосный и

не существует простого геометрического соотношения между кристаллографическими осями,и осями эллипсоида. В кристалле МОНОКЛИННОй системы одна из осей кристалла совпадает с одной из главных осей эллипсоида. В кристалле ромбической системы совпадают все три оси, но ЭДЛИПСОИД трехосный; в тетраго­ нальной и гексагональной системах - эллипсоид вращения, нако­ нец в кристалле кубической системы - эллипсоид вырож­ дается в шар.

§ 18. Распространение света в анизотроПной среде

Анизотропная среда характеризуется не скалярной, но тен­ зорной величиной диэлектрической постоянной. Вместо соот­

ношения (1,3)

~~

D=зЕ

Тензор диэлектрической постоянной симметричен (эрмитов):

что может быть доказано аналогично доказательству эрмито­ вости тензора пonяризуемости aik (стр. 22). Приводя тензор 8ik к главным осям х, у, z, которые фиксированы по отношению к кристаЛJlУ и определяются симметрией последнего, получаем

плоская монохроматическаясветовая волна. Такая волна пред­

ставляется выражением:

есть скорость световой волны в направлении нормали. Анизо­

ния света по лучу и по нормали.

140 ЭЛЕМЕНТЫ криеТАЛЛООПТИКИ [гл. 4

электрической напряженности). Согласно (4,1), имеем для СИМ­ метричного тензора:

а;з= ан (1,з')2+~2(2,з')2+ 088(3,з')2+

+2аи (1 ,3')(2,3') +2а18 (1,3') (3,3') +2а28(2,3') (3.3'). (4,4)

Это уравнение поверхности второго порядка - трехосного эллипсоида. Наличие элементов симметрии у кристалла упро­

В кристалле триклинной системы эллипсоид трехосный и

не существует простого геометрического соотношения между кристаллографическими оСями -.и осями эллипсоида. В кристалле моноклинной системы одна из осей кристалла совпадает С одной из главных осей эллипсоида. В кристалле ромбической системы совпадают все три оси, но эллипсоид трехосный; в тетраго­ нальной и гексагональной Системах - эллипсоид вращения, нако­ нец в кристалле кубической системы - эллипсоид вырож­

§ 18. Распространение света в анизотропной среде

Анизотропная среда характеризуется не скалярной, но тен­ зорной величиной диэлектрической постоянной. Вместо соот­ ношения (1,3)

Тензор диэлектрической постоянной симметричен (эрмитов):

что может быть доказано аналогично доказательству эрмито­ воети тенаора поляризуемости ai1t (стр. 22). Приводя тензор s,1t к главным осям х, у, Z, которые фиксированы по отношению к кристаму и определяются симметрией последнего, получаем

DIII1=sxE:e, Dy=syEy, Dz=€sE z. (4,7)

~~

Вектор D параллелен Е лишь в случае кристаллов кубиче- ской системы, для которых эллипсоид €tk вырождается в шар.

Рассмотрим, как распространяется в аниартропной среде плоская монохроматическаясветовая волна. Такая волна пред­

cTaвляeTcя выражением: