random books / Ландсберг- Элементарный учебник физики Т. 3.Колебания и волны. Оптика. Атомная и ядерная физика(2009)

Отпустим сначала один маятник, а второй отпустим только тогда, когда первый будет проходить через положение равновесия, т. е. спустя четверть периода. С этим сдвигом по времени на четверть периода маятники и будут колебаться дальше (рис. 11).

Мы могли бы выждать полпериода от момента пуска первого маятника и тогда отпустить второй. Колебания были бы сдвинуты на полпериода: маятники одновременно проходят при этом через положения равновесия, но движутся все время в противоположные стороны; при наибольшем отклонении одного из них вправо другой сильнее всего отклонен влево, и наоборот (рис. 12).

Нетрудно получить такие сдвинутые по времени колебания

вопыте с теневой проекцией. Если на равномерно вращающемся диске укреплены два шарика в двух диаметрально противоположных точках (рис. 13), то их тени будут колебаться со сдвигом

вполпериода, т. е. будут все время двигаться в противоположные стороны, одновременно проходя через среднее положение. Для того чтобы получить сдвиг в четверть периода, надо расположить

шарики под центральным углом 90◦ друг к другу (рис. 14). В этом случае одна тень проходит через среднее положение тогда, когда другая наиболее отклонена. Вообще колебания на тени будут сдвинуты на такую часть п е р и о д а, какую часть от полной окружности (360◦) составляет у г о л между радиусами, на которых укреплены шарики.

Про колебания одинаковой частоты, но смещенные по времени, говорят, что они с д в и н у т ы п о ф а з е. Смещение по времени выражается в долях периода, а с д в и г, и л и р а з- н о с т ь, ф а з — в угловых единицах (градусах или радианах).

Если второе колебание запаздывает по сравнению с первым на 1/8 периода, то это значит, что оно о т с т а е т п о ф а з е на 360◦ · 1/8 = 45◦, или сдвинуто по фазе на −45◦. Если же второе

колебание опережает первое на 1/8 периода, то говорят, что оно о п е р е ж а е т е г о п о ф а з е на 45◦, или сдвинуто по фазе на +45◦.

Если колебания происходят без запаздывания, то их называют синфазными, или говорят, что они совершаются в ф а з е (т. е. в одинаковой фазе). При запаздывании одного из колебаний на полпериода говорят, что колебания происходят в п р о т и в о- ф а з е.

Понятие сдвига, или разности, фаз характеризует, как мы видим, соотношение по времени между д в у м я гармоническими колебаниями. Можно, однако, говорить о фазе одного-единст- венного гармонического колебания. Фазой гармонического колебания называется угол, соответствующий времени, протекшему от какого-нибудь произвольно выбранного момента. Разумеется, один период колебания соответствует при этом по-прежне- му 360◦.

Итак, фаза колебания зависит от того, какой момент принят за начало отсчета времени. Разность же фаз двух колебаний не зависит от этого произвольного выбора.

§ 7. Динамика колебаний маятника. Маятники, изображенные на рис. 2, представляют собой протяженные тела различной формы и размеров, совершающие колебания около точки подвеса или опоры. Такие системы называются физическими маятниками. В состоянии равновесия, когда центр тяжести находится на вертикали под точкой подвеса (или опоры), сила тяжести уравновешивается (через упругие силы деформированного маятника) реакцией опоры. При отклонении из положения равновесия сила тяжести и упругие силы определяют в каждый момент времени угловое ускорение маятника, т. е. определяют характер его движения (колебания). Мы рассмотрим теперь динамику колебаний подробнее на простейшем примере так называемого математического маятника, который представляет собой грузик малого размера, подвешенный на длинной тонкой нити.

В математическом маятнике мы можем пренебречь массой нити и деформацией грузика, т. е. можем считать, что масса маятника сосредоточена в грузике, а упругие силы сосредоточены в н и т и, которую считают нерастяжимой. Посмотрим теперь, под действием каких сил происходит колебание нашего маятника после того, как он каким-либо способом (толчком, отклонением) выведен из положения равновесия.

Когда маятник покоится в положении равновесия, то сила тяжести, действующая на его грузик и направленная вертикально

2. Если при пуске маятника отклонять его на разные (но не слишком большие) углы, то он будет колебаться с одним и тем же периодом, хотя и с разными амплитудами. Пока не слишком велики амплитуды, колебания достаточно близки по своей форме к гармоническому (§ 5) и период математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Это свойство называется

изохронизмом (от греческих слов «изос» — равный, «хронос» — время).

Впервые этот факт был установлен в 1655 г. Галилеем якобы при следующих обстоятельствах. Галилей наблюдал в Пизанском соборе качания паникадила на длинной цепи, которое толкнули при зажигании. В течение богослужения размахи качаний постепенно затухали (§ 11), т. е. амплитуда колебаний уменьшалась, но период оставался одним и тем же. В качестве указателя времени Галилей пользовался собственным пульсом.

Выведем теперь формулу для периода колебаний математического маятника.

Рис. 16. Колебания маятника в плоскости (а) и движение по конусу (б)

При качаниях маятника груз движется ускоренно по дуге BA (рис. 16, а) под действием возвращающей силы P1, которая меняется при движении. Расчет движения тела под действием непостоянной силы довольно сложен. Поэтому мы для упрощения поступим следующим образом.

Заставим маятник совершать не колебание в одной плоскости, а описывать конус так, чтобы груз двигался по окружности (рис. 16, б). Это движение может быть получено в результате сложения двух независимых колебаний: одного — по-прежнему в плоскости рисунка и другого — в перпендикулярной плоскости. Очевидно, периоды обоих этих плоских колебаний одинаковы, так как любая плоскость качаний ничем не отличается от всякой другой. Следовательно, и период сложного движения — обращения маятника по конусу — будет тот же, что и период качания в одной плоскости. Этот вывод можно легко иллюстрировать непосредственным опытом, взяв два одинаковых маятника и сообщив одному из них качание в плоскости, а другому — вращение по конусу.

Но период обращения «конического» маятника равен длине описываемой грузом окружности, деленной на скорость:

амплитуды!), то можно считать, что возвращающая сила P1 направлена по радиусу окружности BC, т. е. равна центростре-

мительной силе:

P1 = mvr 2 .

С другой стороны, из подобия треугольников OBC и DBE следует, что BE : BD = CB : OB. Так как OB = l, CB = r, BE = P1, BD = P = mg, то отсюда

Из полученной формулы следует, что период маятника не зависит от его массы и от амплитуды (при условии, что она

достаточно мала). Другими словами, мы получили путем расчета те основные законы, которые были установлены ранее из наблюдений.

Но наш теоретический вывод дает нам больше: он позволяет установить к о л и ч е с т в е н н у ю зависимость между периодом маятника, его длиной и ускорением свободного падения.

Период математического маятника пропорционален корню квадратному из отношения длины маятника к ускорению свободного падения. Коэффициент пропорциональности равен 2π.

На зависимости периода маятника от ускорения свободного падения основан очень точный способ определения этого ускорения. Измерив длину маятника l и определив из большого числа колебаний период T , мы можем вычислить с помощью полученной формулы g. Этот способ широко используется на практике.

Известно (см. том I, § 53), что ускорение свободного падения зависит от географической широты места (на полюсе g = 9,83 м/с2, а на экваторе g = 9,78 м/с2). Наблюдения над периодом качаний некоторого эталонного маятника позволяют изучить распределение ускорения свободного падения по широте. Метод этот настолько точен, что с его помощью можно обнаружить и более тонкие различия в значении g на земной поверхности. Оказывается, что даже на одной параллели значение g в разных точках земной поверхности различно. Эти а н о м а л и и в распределении ускорения свободного падения связаны с неравномерной плотностью земной коры. Они используются для изучения распределения плотности, в частности для обнаружения залегания в толще земной коры каких-либо полезных ископаемых. Обширные г р а в и м е т р и ч е с к и е измерения, позволившие судить о залегании плотных масс, выли выполнены в СССР в области так называемой Курской магнитной аномалии (см. том II, § 130) под руководством советского физика Петра Петровича Лазарева. В соединении с данными об аномалии земного магнитного поля эти гравиметрические данные позволили установить распределение залегания железных масс, обусловливающих Курскую магнитную и гравитационную аномалии.

§ 9. Упругие колебания. У маятника возвращающая сила обязана своим возникновением силе тяжести. Но для колебаний существенно только само наличие возвращающей силы, т. е. такой силы, которая всегда направлена к положению равновесия и, вообще говоря, увеличивается с удалением от этого положения. Такого рода силы возникают также при деформации твердых тел и представляют собой упругие силы (см. том I, § 58). Следовательно, эти упругие силы тоже могут вызывать колебания. По происхождению возвращающей силы такие колебания называются упругими. Выше мы уже приводили ряд примеров. Колебания тела, подвешенного на пружине (такое устройство часто

28 Гл. I. Основные понятия. Механические колебания

называют пружинным маятником), вагона на рессорах, пластинки, зажатой в тиски, колебания камертона, натянутой струны, моста, фундамента, фабричной трубы или высокого здания — все это упругие колебания.

В соответствии с иным происхождением возвращающей силы потенциальная энергия упругих колебаний есть э н е р г и я д е- ф о р м а ц и и у п р у г о г о т е л а, а не потенциальная энергия силы тяжести, как у маятника.

В остальном динамика упругих ко-

лебаний та же, что и у маятника. И здесь мы имеем дважды за период переход кинетической энергии

в потенциальную (энергию дефор-

мации) и обратно.

Особенно просто проследить

все стадии этого процесса, наблю-

дая тело, например шарик, колеб-

лющееся на пружинах. В этом случае можно считать, что энергия деформации имеется только у пружин, а не у шарика, деформацией

которого можно пренебречь. Если же масса тела велика по сравнению с массой пружин, то можно считать, что кинетическая энергия имеется только у тела, а не у пружин, массой которых мы пренебрегаем. Таким образом, переход энергии из кинетической в потенциальную и обратно является вместе с тем переходом энергии от тела к пружинам и обратно.

На рис. 17 показаны четыре положения такой колебательной системы, взятые через каждую четверть периода. В положении 1 тело наиболее сильно отклонено вправо, одна пружина сжата, другая растянута, скорость и кинетическая энергия равны нулю, вся энергия потенциальная. В положении 2 пружины не деформированы, тело с наибольшей скоростью проходит через положение равновесия, вся энергия кинетическая. В положении 3 происходит то же, что и в положении 1. В положении 4 отличие от положения 2 только в направлении скорости.

Взяв при тех же пружинах тело с большей массой, легко убедиться, что частота колебаний уменьшится. С помощью секундомера можно убедиться в том, что четырехкратное увеличение массы тела удлиняет период колебаний (т. е. уменьшает их частоту) в два раза. При массе, увеличенной в девять раз, период увеличится в три раза. Период упругих колебаний пропорционален квадратному корню из массы тела. Этот результат

будет получаться на опыте тем точнее, чем лучше выполнены описанные условия, когда можно считать массу сосредоточенной в одной точке (центре тяжести тела) и не принимать во

с о б о й з а м е д л е н и е к о л е б а н и й, у в е л и ч е н и е и х п е р и о д а.

Проделаем теперь опыт, оставив тело прежней массы, но заменив пружину более жесткой. Мы тотчас же увидим, что период колебаний уменьшился. Таким образом, период упругих колебаний тем меньше, чем больше жесткость пружины, т. е. чем меньше упругость системы.

Исследование упругих колебаний груза на пружине показывает, что при не слишком больших амплитудах эти колебания являются гармоническими, причем период их выражается формулой, аналогичной формуле математического маятника:

T = 2π mk .

Здесь m — масса колеблющегося груза, k — жесткость пружины, т. е. сила, необходимая для растяжения пружины на единицу длины.

§ 10. Крутильные колебания. Важным случаем упругих

ных валах теплоходных машин, и при известных условиях, о которых речь будет ниже, могут оказаться очень вредными (§ 15).

В ручных и карманных часах нельзя использовать подвесной маятник; в них применяется так называемый балансир