♥Кужир - Общая физика_ оптика, квантовая физика, физика атомного ядра и элементарных частиц. Сборник задач

n x

2/l sin

n x.

(2.14)

l

w

2

l/3

sin2 x dx.

Н

У

(2.15)

1

l 0

l

Т

Используя соотношение

й

sin2

= (1 – cos 2 ) / 2,

Б

вычисляем интеграл (2.15)

и

l /3

l /3

о

w1

1

2 x

1 l

l

2 x

l

2

l

0

0

l рl 3

и

Вероятность пребывантя в правой крайней трети ямы w3 в силу

симметрии будет также равна w1.

= 0,610.

то

w2

= 1 – 2w1

Поск льку суммарная вероятность пребывания частицы в яме

п

равна единицез,

е

Р

Отв т: w1 = 0,195; w2 = 0,610.

ЗАДАЧИ

4 балла

2.57

В чем заключается физическая сущность первого постулата

Бора?

εЕ44

2.58

На рис. 2.4 представлены первые

εЕ33

εЕ22

четыре энергетических уровня ато-

У

ма водорода. Какой из переходов

3

Т

соответствует

излучению

фотона

1 2

максимальной энергии? Какой из

4

5 6

Н

переходов соответствует

поглоще-

Е

нию фотона максимальной длины

ε11

волны? Ответ обоснуйте.

БРис. 2.4

Ответ: 3; 4.

2.59

Фотон выбивает из атома водородай, находящегося в основ-

ном состоянии, элект

с к нет ческой энергией Тк = 10 эВ.

и

Определите величину эне гии ε фотона.

Ответ: ε = 23,6 эВ.

р

2.60

На сколько

зменонлась

кинетическая

энергия

электрона

в атоме водородатпри излучении атомом фотона с длиной

волны λ = 435,0 нм?

Ответ: Тки= 2,85 эВ.

2.61

з

О ределите изменение энергии E электрона в атоме водорода

риоизлучении атомомфотона счастотой ν=6,28·1014 Гц.

Ответ: Е = 2,6 эВ.

п

2.62еВычислите по теории Бора период Т движения электрона

Р

в атоме водорода, находящегося в возбужденном состоянии,

определяемом главным квантовым числом n = 2.

Ответ: Т = 1,21·10−15 с.

2.66 Определите длину волны де Бройля λ для электрона, кинети-

й

ческая энергия которого Тк = 103 эВ.

Ответ: λ = 1,21 ∙ 10−10 м.

р

2.67 Альфа-частица находится в бесконечно глубокой одномер-

о

ной прямоугольной потенциальнойияме. Используя соотно-

шение неопределенн стей, цените ширину l ямы, если из-

т

вестно, что минимальная энергия α-частицы Еmin = 8,0 МэВ.

и

Ответ: l = 1,6 ∙ 10−15 м.

2.68

з

Электрон наход тся в бесконечно глубокой прямоугольной

о

Запишите уравнение Шредин-

потенциальной яме шириной l.

гера для эт го случая.

п

е

5−6 баллов

2.69 Вычислить линейную скорость v и период движения Т элект-

Р

рона на первой боровской орбите атома водорода. Радиус

первой орбиты а0 = 0,528·10−10 м.

Ответ: v = 2,2 ∙ 106 м/с; Т = 1,5 ∙ 10−16 с.

денное, характеризуемое главным квантовым числом n = 2.

Найдите величину энергии

Б

Е, необходимой для перевода

атома водорода в указанное возбужденное состояние.

Ответ: Е = 10,2 эВ.

Н

2.73 Найдите наибольшую λmax и наименьшую λmin длины волн для

серии Лаймана.

и

р

2.75

Ответ: λmax = 120 нм; λmin = 90 нмй.

Вычислите дл ну волныде Бройля λ для электрона, прошед-

2.74

Найдите потенциал и низации атома водорода.

Ответ: i = 13,6 В.

и

шего ускоряющуютразность потенциалов U = 22,5 В.

Ответ: λ = 0,258 нм.

о

2.76

п

Определитездлины волн де Бройля α-частицы и протона,

р шедших одинаковую ускоряющую разность потенциалов

U = 1,0 кВ.

Ответ: λ1 = 9,0 ∙ 10−13 м; λ1 = 3,2 ∙ 10−13 м.

2.77еКинетическая энергия электрона равна удвоенному значению

Р

его энергии покоя 2m0с2. Вычислите длину волны де Бройля λ

для такого электрона.

Ответ: λ = 8,6 ∙ 10−13 м.

Ответ: vэ = 58 м/с;

vпр = 316 м/с.

2.79 Оцените с помощью соотношения неопределенностей мини-

мальную кинетическую энергию Ткmin электрона, движущего-

ся внутри сферической области диаметром d = 0,10 нм.

У

Ответ: Ткmin = 15 эВ.

2.80

Какова должна быть кинетическая энергия Тк протона в мо-

Т

ноэнергетичеcком пучке, используемого для исследования

структуры с линейными размерами l ~ 10−13 см?

Ответ: Тк = 20,6 МэВ.

Н

Б

2.81

p/p импульса

Определите относительную неопределенность

движущейся частицы, если допуст ть, что неопределенность

ее координаты равна длине волныйде Бройля.

Ответ:

p/p = 0,16.

и

2.82

Частица находится в беск нечно глубокой одномерной пря-

р

Еn,n+1 сосед-

моугольной яме. Найди е

тношение разности

них энергетических

к энергии Еn частицы в трех

уровней

случаях: 1) n = 2; 2) n

= 5; 3) n → ∞.

E2,3

т

11

En

Ответ:

5

;

E5,6

;

0.

E

25

E

Eи4

5

n

2

2.83

з

в бесконечно глубокой

одномерной

Электр н находится

рямоугольнойо

потенциальной яме шириной l = 0,10 нм.

О ределите в электрон-вольтах наименьшую разность энер-

п

г тических уровней электрона.

Ответ: Еmin = 112 эВ.

е

Р

2.86 Вычислите по теории Бора период Т движения электрона

в атоме водорода, находящегося в возбужденном состоянииУ,

если квантовое число n = 2.

Т

Ответ: Т = 1,2 ∙ 10−15 с.

2.87 В каких пределах Δλ должна лежать длина волнНмонохрома-

й

тического света, чтобы при возбуждении атома водорода

квантами этого света радиус орбиты

Бэлектрона увеличился

в 16 раз?

λ = 102,6 нм. Найди е радиусn-й орбиты.

Ответ: 95,0 нм < λ < 102,0 нм.

атоме

2.88

Переход электрона в

иводорода с k-й на n-ю орбиту

(n = 1) сопровождается излучением фотона с длиной волны

т

и

Ответ: rn = 4,8 ∙ 10−10 м.

2.89

з

Электрон в атоме водорода находится на третьем энергетиче-

уровне

ском

. Определите кинетическую Тк, потенциальную U

и п лную энергию Е электрона. Ответ выразите в электрон-

в льтах.

= 1,5 эВ; U = −3 эВ; Е = −1,5 эВ.

е

Ответ: Тк

2.90

пКрасная линия в спектре атома водорода имеет длину волны

Р

658,6 нм и излучается при переходе возбужденного атома

с третьего энергетического уровня на второй. Найдите длины

волн λkn еще четырех спектральных линий из серии Бальмера.

Ответ: λ32 = 656,3 нм; λ42 = 486,1 нм; λ52 = 434,1 нм;

изменится

и

Ответ: λ1/λ2 = 0,612.

2.96

з

Протон обладает к нетической энергией Тк = 1,0 кэВ. Опре-

о

Е, которую необходимо

делить дополн тельную энергию

ему с бщить для того,

чтобы длина волны де Бройля λ

уменьшилась в три раза.

е

Ответ: Е = 8,0 кэВ.

2.97

пДля приближенной оценки минимальной энергии электрона в

Р

атоме водорода можно предположить, что неопределенность

r радиуса r электронной орбиты и неопределенность р им-

пульса р электрона на такой орбите соответственно определя-

ются следующим образом:

r ≈ r и

р ≈ р. Используя эти свя-

тицы: w 1 – в крайней трети и w 2 – в крайней четверти ямы?

Ответ: w1 / w2 = 2,152.

2.101

Частица в бесконечно глубокоййпотенциальной яме находит-

ся в основном состоянии. Какова вероятность w обнаруже-

и

ния частицы: в средней т ети ямы; в крайней трети ямы?

Ответ: w 1 = 0,609; w 2

= 0,195.

р

2.102

В прямоугольной

енциальной яме шириной l с абсолютно

по

x

< l) находится частица в

непроницаемыми с енками (0 <

т

основном состоян . Найдите вероятность w местонахожде-

ния частицыив области 1/4l < x < 3/4l.

Ответ: w = 0,82.

з

2.103

Собственнаяо

функция, описывающая состояние частицы в

нциальной яме, имеет вид

n

(x) Сsin n x. Используя

пот

l

еусловия нормировки волновой функции, определите посто-

Р

янную С.

Ответ: С =

2/ l.

2.105

Найдите с точностью до двух значащих цифр значение посто-

янной Ридберга Rʹ в формуле Бальмера, зная, что наименьшая

частота излучения в видимой области спектра атома водоро-

да ν = 457,2·1012 Гц.

У

Ответ: R' = 1,097 ∙ 107 м−1.

Т

2.106

Фотон с энергией ε = 16,5 эВ выбил электрон из невозбуж-

денного атома водорода. Какую скорость v будет иметь элект-

рон вдали от ядра атома?

Н

Б

Ответ: v = 1,0 Мм/с.

2.107

Электрон в невозбужденном атоме водорода получил энер-

й

гию Е = 12,0 эВ. На какой эне гет ческий уровень n он пе-

решел? Сколько линий N можноиобнаружить в спектре излу-

чения при перех де на б лее низкие энергетические уровни?

Энергия основного с с

р

= −13,53 эВ.

яния Е1

Ответ: n = 3; N = 3.

о

2.108

Из катодной

т

на диафрагму с узкой прямоугольной

щелью нормально к плоскости диафрагмы направлен поток

трубки

м н энергетических электронов. Определите анодное напря-

з

жение трубки

U, если известно, что на экране, отстоящем от

щели на расстоянии

l = 0,50 м, ширина центрального диф-

о

ракционного максимума x = 10,0 мкм. Ширину b щели при-

пнять равной 0,10 мм.

Ответ: U = 1,5 В.

е

2.109

Электрон движется

по

окружности радиуса R = 0,50 см в

Р

−3

магнитном поле, модуль индукции которого B = 8,0·10 Тл.

тивистской формуле не превышает 10 %?

Ответ: Тк = 3,84 ∙ 10−14 Дж.

2.112 Электрон находится в бесконечно глубокой прямоугольнойУ

потенциальной яме с непроницаемыми стенками. Ширина

Б

ямы l = 0,20 нм, энергия электрона в яме Е = 37,8ТэВ. Опре-

делите номер n энергетического уровня и модуль волнового

вектора k.

й

Н

Ответ: n = 2; k = 3,14 ∙ 1010 м−1.

2.113

Частица в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной

р

потенциальной яме шириной l наход тся в возбужденном со-

стоянии, определяемым квантовым числом n = 3. Определи-

о

те, в каких точках инте валаи0 < x < l

плотность вероятности

нахождения

имеет максимальное и минимальное

значения.

частицы

3

3

Ответ: м н мальное значение: 0,

l

,

2

l, l ;

з

эл ктронав основном состоянии атома водорода, имеет вид

макс мальное значение: l

,

l ,

5l .

и

6

2

6

2.114

С бственная волновая функция, описывающая движение

е

Р

п(r) Ae-r / a0 ,где А

– некоторая постоянная; а0 – первый бо-