random books / Соина, Казанцев, Васильева, Гольцман - Сборник вопросов и задач по ОФ Р3. Оптика. Р4. Квантовая физика (2013)

дорода, упруго отразившись от спутника, ионизовать при своем дальнейшем движении в атмосфере атом того же типа?

4.185. Вспектреводородоподобногоионаизвестныдлиныволн трех линий, принадлежащих к одной и той же серии: 99,2; 108,5 и 121,5 нм. Какие спектральные линии можно предсказать еще?

4.186. Энергия связи электрона в атоме гелия равна 24,6 эВ. Найдите энергию, необходимую для удаления обоих электронов из этого атома. Проанализируйте полученный результат и докажите, что значение энергии связи определяется взаимодействием электрона как с ядром, так и со вторым электроном.

4.187. Выразите постоянную Ридберга через фундаментальные постоянные в предположении бесконечно тяжелого ядра атома водорода. Как изменится постоянная Ридберга, если учесть конечное значение массы ядра?

4.188. Вблизиспектральнойлинииводорода( 1 486,1320 нм) американский физик Г. Юрг в 1932 г. обнаружил близкую линию ( 2 485,9975 нм). Предполагая, что эта линия обусловлена небольшой примесью к обычному водороду его изотопа, определите относительную молекулярную массу этого изотопа.

4.189. Отрицательные мюоны могут захватываться атомом и замещать в нем электроны электронной оболочки. Практически может замещаться в нем лишь один электрон. Получающиеся в результате такой замены системы называются мезоатомами. Масса мюона m 207me . Вычислите по теории Бора радиус r1 первой орбиты мюона в мезоатоме водорода. Определите число оборотов N, которое успеет совершить мюон до своего -распада (среднее время жизни мюона = 2,2 мкс).

4.190. Найдите для позитрония (система из электрона и позитрона, вращающаяся вокруг центра инерции): а) расстояние между частицами в основном состоянии; б) энергию ионизации и первый потенциал возбуждения; в) постоянную Ридберга и длину волны резонансной линии.

4.191. Найдите отношение ( ) энергии электростатического отталкивания двух электронов, находящихся на расстоянии, рав-

ном комптоновской длине волны электрона ( mc ), к энергии

покоя электрона. Значение какой постоянной определяется таким образом?

121

4.192. Выразите радиусы rn орбит и энергии En стационарных состояний атома водорода, а также скорости электрона в этих со-

4.193. -функция основного состояния атома водорода имеет вид 1 Ce r/a1 , где а1– радиус первой боровской орбиты. На каком расстоянии от ядра вероятность Pr обнаружения электрона максимальна? Нарисуйте графики зависимостей | 1 |2 и Рr от r.

4.194. Докажите, что число электронных состояний в атоме водорода, отвечающих главному квантовому числу n, равно 2n2 (с учетом спинового удвоения).

4.195. Нарисуйтесхемуэнергетическихуровнейатомаводорода с учетом тонкой структуры и покажите стрелками возможные переходымеждусостояниямисn = 1 иn = 2, атакжесn = 2 иn = 3.

4.196. Тонкое расщепление 2р-уровня атома водорода составляет E2 p 4,53 10 5 эВ. Вычислите относительное расщепление для головной линии серии Лаймана.

Многоэлектронные атомы. Характеристические рентгеновские спектры

4.197. 1) Резонансная линии натрия, соответствующая пе-

Укажите стрелками переходы, соответствующие главной и резкой сериям. Найдите границу главной серии атома лития, если длина волныголовнойлинииглавнойсерии 1 670,8 нм, аграницарезкой серии 2 349 нм.

4.199. С помощью периодической системы элементов Д. И. Менделееварассмотритепорядок«застройки» оболочекатомов. В каком месте системы (при каком Z) начинается отклонение от простейшего порядка «застройки»?

122

4.200. У атома какого элемента заполнены все состояния с главным квантовым числом, меньшим четырех, 4s-подоболочка и наполовину 4р-подоболочка? Запишите электронную конфигурацию атома этого элемента.

4.201. Закон Мозли по виду напоминает формулу Бальмера для водородоподобных атомов. Укажите причины этого сходства. В чем состоит принципиальное отличие оптических спектров элементов от их рентгеновских спектров? Отличаются ли заметным образомрентгеновскиеспектрысвободныхатомовотспектровтаких же атомов, входящих в молекулы?

4.202. Найдите с помощью закона Мозли длины волн K -ли- ний ванадия и меди и энергии соответствующих этим линиям квантов.

4.203. Для элементов с Z > 50 поправка в законе Мозли заметно отличается от единицы. Убедитесь в этом на примере цезия (Z = 55) и вольфрама (Z = 74), длины волн K -линий которых соответственно равны 402 и 210 нм. Какова погрешность расчета по закону Мозли для этих элементов?

4.204. На сколько единиц отличаются порядковые номера элементов, у которых длины волн K -линий составляют 0,072 нм и

0,079 нм?

4.205. Определите напряжение на рентгеновской трубке с никелевым антикатодом, если разность длин волн K -линии и коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра равна

0,084 нм.

4.206. При каком напряжении на рентгеновской трубке с медным антикатодом разность длин волн K -линии меди и коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра равна

70 пм?

4.207. Во сколько раз увеличится разность длин волн K -ли- нии и коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра, если напряжение на рентгеновской трубке с медным антикатодом увеличить от 10 до 20 кВ?

4.208. При каком напряжении на рентгеновской трубке с антикатодом из ванадия следует ожидать появления K-серии излучения ванадия? Используйте данные табл. 9 «Край K-полосы поглощения рентгеновского излучения».

4.209. Найдите скорость фотоэлектронов, вырываемых K -из- лучением молибдена из K-оболочки атомов ванадия. Электроны можно считать нерелятивистскими.

123

4.210. Под действием рентгеновского излучения с длиной волны 0,05 нм выбиваются электроны из K-оболочки меди. Найдите кинетическую энергию электронов.

4.211. Определите длину волны K -линии элемента периодической системы Менделеева, начиная с которого в спектре характеристического рентгеновского излучения появляется L-серия.

4.212. Спомощьютабл. 9 «КрайK-полосыпоглощениярентге- новского излучения» и закона Мозли вычислите в килоэлектронвольтах энергию связи L-электронов железа, кобальта и цинка.

4.213. Для ванадия энергия связи L-электронов равна 0,52 кэВ. Найдите энергию связи K-электронов ванадия.

4.214. По известной длине волны линии L некоторого элемента найдите постоянную экранирования для этой линии. Сделайте вычисления для меди ( L 1,42 нм) и для вольфрама

( L 0,143 нм).

4.215. Найдите энергию связи электронов на L-оболочке титана (Z = 22), если разность длин волн между головной линией K-серии и ее коротковолновой границей 0,026 нм.

4.216. Унекоторогоэлементадлиныволн K - и K -линийрав- ны соответственно 275 и 251 пм. Чему равна длина волны головной линии его L-серии? Что это за элемент?

Спонтанное и вынужденное излучение

4.217. Покажите, что число атомов, возбужденных на некоторый уровень, убывает со временем по закону N N0e t, где – среднее время жизни на этом уровне.

4.218. Газоразрядная трубка заполнена парами лития. При температуре паров Т = 1500 К и общем числе атомов лития в трубке N = 3,0 1016 мощность излучения резонансной линии ( 670,8 нм), соответствующей переходу 2р 2s, равна P = 0,25 Вт. Найдите среднее время жизни атома лития в состоянии резонансного возбуждения.

4.219. Спектральная линия ( 532,0 нм) возникает в результате перехода между двумя возбужденными состояниями атома, среднее время жизни в которых равно 12 и 20 нс. Оцените естественную ширину этой линии.

4.220. В какой области спектра теплового излучения при температуре 300 К интенсивность индуцированного излучения превосходит интенсивность спонтанного?

124

4.221. Покажите, что с помощью «оптической накачки» нельзя получить инверсное заселение верхнего уровня в двухуровневой системе.

4.222. Пусть в квантовой системе, состоящей из трех уровней, обозначенных 0, 1, 2 при счете снизу, производится «накачка» на уровень 2 (рис. 55), причем обратный переход возможен только через уровень 1. Покажите, что в этом случае усиление света с часто-

той 21 E2 E1 h возможно при условии g1A10 > g2A21, где g1 и g2 – кратность уровней 1 и 2, А10 и А21 – коэффициенты Эйнштейна

для соответствующих спонтанных переходов.

Рисунок 54

4.223. Система атомов находится в термодинамическом равновесии со своим излучением при температуре Т. Пусть переходу между двумя энергетическими уровнями атомов E1 и Е2 со статистическими весами g1 и g2 соответствует частота и коэффициенты Эйнштейна А21, В21, В12. Найдите выражение для объемной спектральной плотности энергии теплового излучения; определите также связь между коэффициентами Эйнштейна.

4.224. Атомарныйводороднаходитсявтермодинамическомравновесиисосвоимизлучением. Вычислитеотношениевероятностей индуцированного и спонтанного излучения атомов при переходе с уровня 2р на уровень 1s при температуре Т = 3000 К и температуру, при которой эти вероятности будут одинаковы.

4.225. Какиехарактеристикигазовоголазеразависятоткоэффициента отражения зеркал, расстояния между ними, температурного коэффициента линейного расширения станины лазера, на которой крепятся зеркала, от давления газа в трубке?

125

4.226. Каковарасходимостьпучкагелий-неоновоголазера, если диаметр пучка на выходе лазера составляет d = 2 мм? Длина волны излучения лазера 632,8 нм.

4.227. Известно, что степень поляризации излучения при прохождении света через диэлектрик при угле падения, равном углу Брюстера, незначительна. Почему же постановка «окон Брюстера»

вгазовомлазереприводиткполнойполяризацииизлучениялазера?

§4.4. ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА

Состав ядра, масса и энергия связи ядра

1

1.Радиус ядра r 1,4 A3 , где А – массовое число ядра.

2.Дефект массы ядра , где mp,

mn, mя – соответственно массы протона, нейтрона и данного ядра, Z – зарядовое число ядра, А – массовое число ядра.

3. На опыте измеряются не массы ядер, а массы атомов, поэтому m целесообразно записать в виде:

m ZmH (A Z )mn mат ,

где mH и mат – массы атома водорода и атома, соответствующего данному ядру.

4. Энергия связи атомного ядра

5. При расчете энергии связи дефект массы удобно выразить через избытки масс атома водорода H MH 1, нейтро-

на n Mn 1 и атома ат = Мат – А, где МН, Мn и Мат выражены в атомных единицах массы. Тогда дефект массы, выраженный в

атомных единицах массы, имеет вид:

M Z H (A Z ) n ат.

6. Закон радиоактивного распада

N N0e t ,

126

где N – число не распавшихся (материнских) атомов к моменту времени t, N0 – число атомов в начальный момент времени, – постоянная распада.

7. Период полураспада

Tln 2 .

8.При последовательных радиоактивных превращениях ра-

диоактивное равновесие наступает при T1 >> T2, где T1 и T2 – периоды полураспада материнского и дочернего элементов. Условие радиоактивного равновесия (вековое соотношение): 1N1 2 N2 .

4.228. Оцените, исходя из соотношения неопределенностей, минимальную кинетическую энергию электрона, локализованного в области с линейными размерами, сопоставимыми с диаметром ядра (10–15 м). При расчете воспользоваться релятивистской формулой, связывающей энергию и импульс электрона. Какой вывод можно сделать из этой оценки?

4.229. Найдите радиусы ядер r серебра и урана и оцените из соотношения неопределенностей минимальные скорость и кинетическую энергию (в мегаэлектронвольтах) нуклона в этих ядрах.

4.230. Предполагая, что разность энергий покоя нейтрона и

протона, равная (mn – mp)c2 = 1,293 МэВ, имеет электромагнитную природу, оцените радиус rp протона. При оценке считать, что заряд протона равномерно распределен по объему сферы радиуса rp.

4.231. Оцените плотность ядерного вещества, объем, прихо-

дящийся на один нуклон, среднее расстояние между нуклонами и объемную плотность электрического заряда q в атомных ядрах (при оценке последней величины считайте, что Z = А/2).

4.232. Каким был бы радиус Солнца RC, если бы его плотность

была равна плотности ядерного вещества ( я 1, 45 1017 кг/м3), то есть если бы Солнце превратилось в нейтронную звезду?

4.233. Объясните, в чем заключается различие между относительной атомной массой элемента и его массовым числом.

4.234. Природный бор, относительная атомная масса которого

приведена в таблице Менделеева, состоит в основном из двух стабильных изотопов 10В и 11В. Найдите массовые доли 1 и 2 этих изотопов в природном боре.

127

4.235. Природный углерод состоит в основном из двух стабильных изотопов 12С и 13С. Взяв из периодической системы элементов Д. И. Менделеева относительную атомную массу природного углерода, найдите, какой процент (по массе) составляет изотоп 13С в природном углероде.

4.236. Природный хлор состоит в основном из двух стабильныхизотопов35Cl и37Cl, доликоторыхпомассевприродномхлоре составляют 1 0,76 и 2 0,24 соответственно. Найдите относительную атомную массу природного хлора. Сравните полученный результат с указанным в периодической таблице Менделеева.

4.237. В природном литии, содержащем два стабильных изотопа, 92,5% (по массе) приходится на изотоп 7Li. Взяв из таблицы Д. И. Менделеева относительную атомную массу природного лития, определите, какой другой стабильный изотоп содержится в природном литии.

4.238. В природном магнии содержится три стабильных изотопа 24Mg, 25Mg и 26Mg, доли которых (по массе) составляют1 = 0,79, 2 = 0,10 и 3 = 0,11 соответственно. Найдите относительную атомную массу природного магния.

4.239. В таблице приведены значения удельной энергии связи некоторых атомных ядер (нуклидов). Заполните оставшиеся пустыми клетки таблицы. Какой вывод можно сделать, анализируя приведенные в таблице данные?

4.240. Найдите энергию связи: а) нейтрона и -частицы в ядре 21Ne; б) энергию, необходимую для расщепления ядра 16O на четыре одинаковых частицы.

4.241. Найдите энергию возбуждения ядра 207Рb, возникающего при захвате ядром 206Рb медленного нейтрона.

4.242. Найдите энергию, необходимую для расщепления ядра 16О на -частицу и ядро 12С, если известно, что энергии связи ядер 16О, 12С и 4Не равны 127,62; 92,16 и 28,30 МэВ соответственно.

128

4.243. Найдите энергии связи ядер гелия 32 He и трития 13 H . Считая, что меньшее значение энергии связи ядра 32 He по сравнению с 13 H обусловлено электростатическим кулоновским отталкиванием протонов, найдите среднее расстояние между протона-

ми в ядре 32 He .

4.244. Вычислите разность энергий связи зеркальных ядер 33S и 33С1, если известно, что масса атома 33S меньше массы атома 33Cl на 0,00599 а. е. м. Сравните полученное значение с разницей в энергиях электростатического кулоновского отталкивания протонов в этих ядрах, считая распределение заряда в ядре равномерным.

4.245. Взаимодействие нуклонов в ядре обусловлено обменом-мезонами. Учитывая, что масса -мезона примерно в 270 раз большемассыэлектрона, аскорость -мезоновблизкакскорости света, оцените радиус действия ядерных сил.

Радиоактивность, закон радиоактивного распада

4.246. Температура ампулы с ураном очень долгое время остается выше температуры окружающей среды, и в ней самопроизвольно образуются атомы других химических веществ. За счет какой энергии повышается температура ампулы? Зависят ли результаты подобных опытов от внешних условий и от того, входят ли атомы урана в какие-либо соединения?

4.247. Радиоактивное излучение распространяется в области пространства, где действует сильное магнитное поле. Какие виды траекторий могут наблюдаться?

4.248. В каких из трех случаев изменяются химические свойства атомов: при -, - или -излучении?

4.249. Какие фундаментальные законы отражают так называемые правила смещения для радиоактивных превращений элементов?

4.250. После -распада ядра 92238 U происходят два последовательных -распада дочерних ядер. Ядром какого изотопа является конечное ядро?

4.251. Ядро 94239 Pu испытывает -распад. Дочернее ядро испытывает два последовательных -распада, затем образовавшееся ядро бомбардируется нейтронами и захватывает три нейтрона. Ядро какого изотопа образуется в результате этих процессов?

129

4.252. Заданы исходные и конечные элементы четырех радиоактивных семейств:

Сколько - и -превращений произошло в каждом семействе?

4.253. Сколько последовательных - и -распадов должно произойти, чтобы 88226 Ra превратился в изотоп свинца 82210 Pb ?

4.254. При различных процессах, происходящих с атомными ядрами, испускаются -кванты. Чем объясняется дискретность спектра этих -квантов?

4.255. Объясните качественно, почему нет нейтронной радиоактивности, практически не наблюдается протонная радиоактивность и в то же время существует α-радиоактивность.

4.256. Почемуприделениитяжелыхатомныхядервсеосколки деления радиоактивны, а не – радиоактивны?

4.257. Докажите, что среднее время жизни радиоактивных ядер 1/ , где – их постоянная распада.

4.258. Найдите активность препарата изотопа радия 226Ra массой 1 г. Период полураспада радия 226Ra 1620 лет.

4.259. Активность препарата изотопа 238U массой 0,5 г равна 6,2 103 Бк. Найдите период полураспада 238U.

4.260. Изотоп урана 238U массой 1 г в равновесии с продуктами его распада выделяет мощность 1,07 10–7 Вт. Найдите полное количество теплоты, выделяемое одним молем урана за среднюю продолжительность жизни атомов урана.

4.261. Определите активность ядер в свежеприготовленном препарате брома 82Вr, если известно, что через сутки его активность стала равной 7,4 109 Бк.

4.262. Вкровьчеловекаввелинебольшоеколичествораствора, содержащего радиоизотоп натрия 24Na активностью 2,0 103 Бк. Активность крови, взятой в объеме 1 см3 через 5,0 ч после этого, оказалась 0,27 Бк. Найдите объем крови человека. Через какой интервалвременираспадется90% введенноговкровьчеловека24Na?

130