2.2.Законы преломления и отражения света, падающего под произвольным углом к поверхности раздела двух сред

Рассмотрим вначале простейший случай, когда световой вектор Е направлен параллельно поверхности раздела. Тогда направления падающего, отраженного и прошедшего лучей имеют вид, изображенный на рис.2.4.

n1

n2

ϕ2 E2 k2

Рис.2.4.Наклонное падение света на поверхность раздела при ориентации светового вектора параллельно поверхности здела (перпендикулярноплоскости чертежа)

2.2.1. ЗАКОНЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА

Используя электродинамическое условие E + E1 = E2 , 0получаем равенство фаз падающей, отраженной и прошедшей волн, которое можно записать в

21

2.2.2. Явление полного внутреннего отражения

Еслиn1 > n2 , то выполняется ϕ2 > ϕ1 – см. рис.2.5,а, и из формулы (2.5)

Рис. 2.5. К явлению полного внутреннего отражения:

а) случай φ1 < φпр; из условия sin φ1/ sin φ2 = n2/ n1<1 следует φ2 > φ1; б) при φ2 = π/2 угол φ1 называется предельным φ1 = φпр;

в) при φ1 > φпр имеется только отражение света, а преломлённого луча

свет полностью отражается от поверхности раздела и преломленной волны не существует. Это явление называется полным внутренним отражением света. Особо подчеркнем, что оно наблюдается только в случае падения света на поверхность раздела из оптически более плотной среды на оптически менее плотную среду. Это явление находит применение в оптоволоконной технике ( световодах – см. рис.2.6 и Приложение 2).

Рис.2.6. Схематическое изображение волновода.

22

всегда отражается. Отметим, что перпендикулярная составляющая вектора

будет E1|| = 0, то есть будет отражаться только компонента света с ориентацией светового вектора перпендикулярно плоскости падения (параллельно поверхности раздела). Угол ϕ1 , определяемый согласно

(2.10), называется углом Брюстера и обозначается как ϕБр. В качестве примера укажем, что угол Брюстера на границе воздух - стекло, определяемый из условия tgϕБр =1.5 , равен ϕБр = 560 (см.задачу 2.4).

ЗАДАЧИ.

Задача 2.1.

Найти коэффициент отражения света при нормальном падении на границу раздела воздух-стекло и воздух-вода.

Решение. Используя формулу (2.5) для коэффициента отражения R и учитывая, что для воздуха n1 = 1 воды n2 = 1,33, стекла n2 = 1,5 , получаем значение коэффициента отражения от воды R = 0,02 и от стекла R = 0.04.

Задача 2.2.

В каком направлении пловец, нырнувший в воду, видит заходящее Солнце ?

Решение. При заходящем Солнце лучи света параллельны поверхности воды ( см. рис. 2.8.). Следовательно, подающий луч имеет угол падения, равный

ϕ1 = 900 . Из закона Снелла (2.5) имеем sinϕ2 =1 / 1,33 = 0,75 следует

ϕ2 = 48045, .

24

ϕ1

n1

n2

ϕ2

Рис. 2.8

Задача 2.3.

Определить кажущуюся глубину h водоема глубины Н.

Решение. Глубина h определяется расстоянием от поверхности точки пересечения двух лучей вертикального 1 и наклонного 2 (см. рис.2.9)

Рис.2.9

Углы падения и преломления луча 2 в точке выхода из воды связаны как n1sinϕ1 = n2sinϕ2 . Так как наблюдение производится в вертикальном

Задача 2.4.

Под каким углом ϕ1 должен подать белый луч света из воздуха на

поверхность стекла с показателем преломления n2 = 1,5, чтобы отраженный луч был полностью поляризован ( рис.2.10).

ϕ1

n2

n1

Рис.2.10

Решение. Используя формулу (2.10), получаем tgϕ1 = n2 / n1 =1,5, откуда ϕ1 = 56010, .

Задача 2.5.

Найти коэффициент отражения луча света при произвольной ориентации светового вектора.

Решение. Согласно формуле (1.19), интенсивности падающего I0 и отраженного I1 лучей выражаются как

Используя формулы (2.5), (2.7), для коэффициента отражения получим

где углы ϕ1 , ϕ2 связаны законом Снеллиуса (2.5). Из формулы (2.11)

поляризованным, из (2.11) получаем коэффициент отражения поляризованного луча в виде

26

Задача 2.6.

Вычислить средний коэффициент отражения неполяризованного луча, падающего под углом Брюстера.

Решение . Введем угол ориентации α светового вектора относительно направления, перпендикулярного лучу и находящегося в плоскости падения луча. Тогда соотношения E0 = E0sinα, E0|| = E0cosα

определяют случайный разброс векторов E0 , E0|| . Считая распределение вероятностей случайных векторов равномерным, для вероятности

Задача 2.7.

Вычислить средний коэффициент отражения поляризованного луча при падении неполяризованного луча в воздухе на поверхность стекла с показателем преломления n = 1,5.

Решение. Используя формулу (2.14), получим <R> = 0,07. Обратим внимание на то, что интенсивность отраженного поляризованного луча в 1,7 раза больше интенсивности отраженного луча при нормальном падении (см. задачу 2.1).

Задача 2.8.

Вычислить интенсивность отраженного и прошедшего света при падении белого пучка под углом ϕ1 к нормали поверхности раздела.

Решение. Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям в задаче 2.6, получим для интенсивности отраженного света

27

поляризацией перпендикулярной ( параллельной ) плоскости падения.

Задача 2.9.

Найти степень поляризации преломленного луча при падении белого света под углом Брюстера.

степени поляризации получим P = I1/(I0–I1), где согласно (2.15):

прошедшего луча получаем следующее выражение

Доказать, что при равномерном освещении гладкой поверхности из оптически более плотной среды ( см. рис.2.11 ) лучи входят в оптически менее плотную среду конусом.

Рис. 2.11. К явлению полного внутреннего отражения:

Если свет равномерно освещает точку из оптически более плотной среды 2 в менее плотную ( n2> n1), то в среду 1 свет входит конусом. При объяснении этого явления используется принцип обратимости хода лучей.

28

Геометрическая оптика основана на четырех законах.

1.Закон прямолинейного распространения света в однородной среде.

Этот закон является следствием уравнения (3.5).

2.Закон независимости световых лучей. Этот закон является следствием единственности решения уравнения (3.5) при начальных условиях :

Эти соотношения определяют положения начала луча ( первое условие ) и его наклона (которое условие ). Меняя их, получаем независимые решения, то есть лучи никаким образом не влияют друг на друга.

3.Закон отражения света: угол падения равен углу отражения.

4.Закон преломления - закон Снеллиуса (2.4).

В основу геометрической оптики может быть положен принцип Ферма, который гласит, что при распространении света между двумя фиксированными точками луч распространяется по такому пути, для прохождения которого ему понадобится минимальное время.

3.2.ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

поверхностей может быть плоской ). Линза обладает замечательным свойством, заключающимся в том, что гомоцентрический пучок лучей ( выходящих из одной точки ) после прохождения через линзу вновь

собирается в пучок, то есть также является гомоцентрическим. Точки Р, Р' , через которые проходят пучки, называются сопряженными. Принято говорить, что множество точек Р находится в пространстве предметов, а точек Р′ - в пространстве изображений ( см. рис.3.1). Плоскости S, S′ , проходящие соответственно через Р, Р’ и ортогонально оптической оси ОО’, называются сопряженными. Если плоскость S устремить на бесконечность, то плоскость S′ займет некоторое предельное положение, при котором она будет проходить через точку F′ , лежащую на оптической оси. Точка F′ называется задним фокусом. Обратно, если устремить на бесконечность плоскость S′, то в пределе поверхность S будет проходить

30

Из рис.3.2 видно, что отрезок длиной y, лежащий в плоскости S, будет иметь изображением в плоскости S′ отрезок длины y′ . В том случае, когда предмет находится между линзой и фокусом, то изображение является увеличенным и получается продолжением лучей в обратную сторону от их направления распространения; такое изображение называют мнимым (рис.3.2,а). Если предмет находится между фокусом и точкой двойного фокусного расстояния, то изображение получается увеличенным и действительным ( рис.3.2,б ). Наконец, если предмет находится за точкой двойного фокусного расстояния, то изображение всегда уменьшенное. Если направленные отрезки y’, y параллельны, то изображение называют прямым и обратным в противном случае. Отношение

со знаком ( «плюс», если отрезки параллельны, и «минус», если антипараллельны). Оказывается, что существуют такая плоскость H и

главных точек, и отрицательными в противном случае. Например, для

где n - показатель преломления среды предметов, n'- показатель среды

изображений. Величина Ф называется оптической силой линзы. Если n = n′, то f = - f′′

Формула линзы.

Из схемы хода лучей через линзу вытекает ( см. рис.3.1):

Отсюда получаем соотношение, называемое формулой Ньютона :

32

Замечания.

1.Полученные закономерности преломления лучей линзой справедливы для тонких линз и для лучей, мало отклоняющихся от оптической оси. Такие лучи в оптике называют параксиальными .

2.Для тонких линз точки Н, Н' практически сливаются в одну точку, расположенную в центре линзы.

Теория оптических систем достаточно подробно изложена в монографии [3]. Там же можно найти многочисленные примеры применения оптических устройств. Устройство некоторых важнейших оптических систем дано в Приложении 2.

ЗАДАЧИ Задача 3.1

Доказать, что с точностью до квадрата угла падения параксиальные лучи отражаются от сферичекого вогнутого зеркала в одной и той же точке F, расположенной на расстоянии R/2 от поверхности зеркала (рис.3.3).

Рис.3.3

Решение. Пусть луч, параллельный оптической оси О1О, пересекает ее в точке F. Из рис.3.3,а видно, что AF = FO, FB = AB tgα. Для параксиальных лучей α << 1, поэтому

33

34

Задача 3.3.

Где будет находиться и какой величины будет изображение Солнца в сферическом рефлекторе, радиус кривизны которого равен R = 16 м ?

Решение. Ход лучей изображен на рис.3.4, где y = 695 тыс. км - радиус Солнца, a1 = 149,5 млн.км - расстояние от Земли до Солнца. Из формулы сферического зеркала получаем a2 ~ R/2, то есть изображение находится вблизи фокуса, а из соотношения y'/y = f / FA = f /a1 , получаем y '= f (y/a1) = 3,7 см. Поэтому размер изображения равен 2y' = 7,4 см.

Задача 3.4.

Телескоп имеет объектив с фокусным расстоянием f1 = 150 см и окуляр с фокусным расстоянием f2 = 10 см. Под каким углом видна полная Луна в этот телескоп, если невооруженным глазом она видна под углом 31' ?

Решение. Используя формулу (3) Приложения 2, получим

tgϕ′ = ( f1 / f2 )tgϕ. При малых углах (в радианной мере !) это соотношение можно представить как ϕ′ = ϕ( f1 / f2 ), что дает ϕ′ = 70 45′.

35

4. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТОВЫХ ВОЛН

4.1. Понятие интерференции световых волн

Понятие интерференции световых волн рассмотрим на примере следующей задачи.

Пусть даны две среды с показателями преломления n1, n2, разделенные линией ОР (плоская задача: характеристики света не меняются в направлении, перпендикулярном некоторой плоскости, совпадающей с плоскостью рис.4.1). Из точки О испускаются два луча соответственно в первую и во вторую среды так, что после отражения от зеркал они вновь сходятся в точке Р. Считаем, что лучи соответствуют плоским монохроматическим волнам ( амплитудные векторы параллельны и направлены, например, перпендикулярно плоскости рисунка ). Будем также пренебрегать поглощением света.

Зеркало Экран

1

n1

n2

2

Зеркало

Рис.4.1. Интерференция двух световых волн

Согласно формуле (1.7) напряженность электрического поля в первом и во втором лучах описывается соотношениями

Ei = Ai cosψi , ψi = ω t +αi , αi = −ki si +α0 , i =1,2

где si - длина i-го луча, отсчитываемая от источника до точки слияния P . Результирующее поле определится как E = E1 + E2. Используя тригонометрические формулы, получаем соотношение

Упражнение. Доказать формулу (4.1).

36

когерентными. Существует два типа когерентности: временная и пространственная. Временная когерентность обусловливается случайными пульсациями частоты колебаний с характерным временем tког. Если время наблюдения распределения интенсивности света значительно меньше времени когерентности t << tког , то можно считать частоту света постоянной и тогда δψ = const, то есть волны когерентны.

Пространственная когерентность обусловлена флуктуациями

( случайными изменениями ) направления волнового вектора, то есть направления распространения волны. Подробнее условия временной и пространственной когерентности рассмотрим ниже.

Итак, будем считать δψ = const, то есть две волны, приходящие в точку Р, когерентны. Найдем разность фаз δψ для лучей 1,2 (рис.4.1). Для этого проведем следующие рассуждения. На длине ds первого луча фаза

изменится на величину ωds / v1 = k0 n1 ds = ( 2π / λ0 )n1 ds , где k0, λ0 - волновое число и длина волны света в вакууме, соответственно. Тогда приращение фазы ∆ψ1 между точками ОР первого луча запишется как

где L1 - длина первого луча.

Величина L1 называется оптической длиной пути луча. Совершенно аналогично получаем следующее выражение для приращения фазы второго луча:

Так как фазы обоих лучей в точке О одинаковы и равны α0 ( лучи испускаются одним и тем же источником ! ), то фазы лучей в точке Р запишутся как

ψ1 =ω t +α0 + ∆ψ1 , ψ2 =ω t +α0 + ∆ψ2

Отсюда находим разность фаз:

37

Величина ∆ называется оптической разностью хода двух лучей. Итак для вычисления ∆ необходимо уметь вычислять оптические длины лучей L1, L2, для определения которых удобно сформулировать правило: оптические длины двух когерентных лучей вычисляются от точек на лучах, где волны имеют одинаковые фазы, до точки их слияния. Начальные точки обычно берутся на волновой поверхности где фаза волны постоянна.

Рассмотрим теперь вопрос об интенсивности света в точке Р. Согласно (1.19) интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды I ~ A2 , что, с учетом (4.1), запишется как

Это выражение превращается в равенство при умножении правой части на

интенсивность света в точке Р будет минимальной.

интенсивность света в точке Р будет максимальной.

Таким образом, при наложении ( суммировании ) двух когерентных световых волн происходит перераспределение светового потока в пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других - минимумы интенсивности света. Явление перераспределения интенсивности света при наложении двух когерентных волн называется

интерференцией волн.

4.2.Интерференция когерентных световых волн от двух близко

расположенных цилиндрических источников

Рассмотрим две цилиндрические когерентные световые волны, исходящие из источников S1, S2 , имеющих вид параллельных тонких светящихся нитей либо узких щелей ( рис.4.2 ). Область пространства, где волны перекрываются, называется полем интерференции.

38

l

Рис.4.2. Интерференция от двух цилиндрических источников

Вычислим интенсивность света в некоторой точке Р экрана. При этом мы будем пренебрегать изменением интенсивности света вдоль лучей, что справедливо при выполнении условия |x| << l . Принципиальным вопросом является вычисление не величины интенсивности, а распределение максимумов и минимумов интенсивности света на экране. Для этого необходимо вычислить разность фаз для двух волн, приходящих в точку Р, считая, что в источниках S1, S2 они имели одинаковые фазы. Из рис.4.2 имеем

достаточно близко. Тогда из последних соотношений можно приближенно получить

s1 = l + 0,5(x - d/2)2/l , s2 = l +0,5 (x + d/2)2/l (4.8)

При записи этих выражений отброшены члены порядка (d/l)4. Из последних равенств следует: s2 – s1 = xd/l. Так как показатель преломления среды постоянный, то оптическая разность хода двух лучей согласно (4.2),(4.4) выражается как

∆ = n (s2 − s1 ) = n x d / l

Подстановка этого выражения в (4.7) дает координаты точек xm, где будут наблюдаться максимумы интенсивности света:

39

а подстановка этого же выражения для ∆ в (4.6) дает координаты точек, где будут наблюдаться минимумы интенсивности света:

преломления n, a λ 0 - длина волны света в вакууме.

Расстояние между двумя соседними максимумами интенсивности света называется расстоянием между интерференционными полосами, а

расстояние между соседними минимумами интенсивности света -

шириной интерференционной полосы. Из формул (4.9),(4.10) следует,

что расстояние между полосами и ширина полосы в данном случае совпадают и равны

Так как длины волн весьма малы (λ ~ 0,5 мкм), то для визуального наблюдения интерференционных полос необходимо, чтобы выполнялось условие l/d >> 1, то есть источники были бы расположены достаточно близко друг к другу.

Если интенсивность света обоих источников одинакова и равна Io, то можно получить, что распределение интенсивности света на экране определяется как

I = 2I0 (1 + cosδψ) = 4I0cos2 (δψ / 2),

δψ = (2π/ λ0 )∆ = 2πd x /(λl).

Упражнение. Доказать эту формулу.

График распределения интенсивности света на экране представлен на рис.4.2. Формула (4.11) имеет важное прикладное значение: по измеренному значению b и по известным значениям l, d можно найти длину волны света λ.

4.2.1.Парадоксы интерференции

Врассмотренной выше задаче мы рассмотрели интерференционное поле на экране вблизи линии симметрии, то есть при выполнении условий

xm << l, d << l. В общем случае условия существования интерференционных максимумов и минимумов в произвольной точке пространства согласно (4.7), (4.8) запишутся как

40

max I: ∆ = s2 – s1 = λ m ,

(4.12)

min I: ∆ = s2 – s1 = λ ( m + ½ )

Интенсивность излучения в произвольной точке пространства согласно (4.5) , будет определяться соотношением

Из рисунка 4.12 видно, что s2 – s1 < d, поэтому, если выбрать расстояние между источниками меньше λ/2: d < λ/2, то уравнения (4.12) в этом случае не будут иметь решения ( относительно ∆ = s2 – s1 ) ни при каком m ≥ 1. В частности, при d << λ/2 из (4.13) следует, что во всей области пространства будет наблюдаться интерференционный максимум,

интенсивность которого определяется как I =( I1 + I 2 )2 > I1 + I2 . В

случае же некогерентных источников интенсивность излучения в произвольной точке пространства запишется как I = I1 + I2. Обратим внимание на то, что в обоих случаях каждый из источников излучает одну и ту же интенсивность соответственно I1 , I2. Однако, в случае когерентных источников суммарная интенсивность излучения больше, чем в случае некогерентных. В этом суть парадокса интерференции. Парадоксальность эффекта усиления излучения заключается в кажущемся впечатлении о нарушении закона сохранения энергии: при одной и той же мощности излучения передающих устройств в зависимости от когерентности излучателей и геометрии их расположения суммарную мощность излучения в среде можно усиливать или ослаблять. Как отмечается в [3], парадокс разрешается тем, что в случае когерентности источников, когда имеет место усиление излучения, возрастает и мощность, подаваемая на излучатели, и таким образом соблюдается закон сохранения энергии. Тем не менее, на наш взгляд, парадоксальность явления интерференции сохраняется и заключается в том, что состояние излучения в пространстве влияют на процессы, проходящие внутри источника излучения.

В заключение отметим, что описанное явление усиления когерентного излучения при выполнении условия d < λ/2 наблюдается в опытах и имеет важное применение в антенных устройствах.

4.3. Временная и пространственная когерентность световых волн

4.3.1. Временная когерентность

Всякая реальная световая волна является суперпозицией колебаний всевозможных частот в некотором достаточно узком интервале частот

41

ω < ω(t) < ω + ∆ ω. Поэтому в реальной волне частота и фаза являются функциями времени, так что напряженность электрического поля в световой волне выражается как

E = Em cos[ω(t)t + α1(t)].

Если записать ω(t) = ωo+ [ω(t)- ωo], то напряженность электрического поля можно представить как

E = Em cos [ ωot + α (t)], α (t)=α1(t)+ ω(t)t - ωot.

Отсюда видно, что зависимость частоты от времени всегда можно перенести в зависимость фазы от времени. Определим время временной когерентности tког условием

α(t+tког) = α (t) + π

ибудем считать, что на промежутке времени ( t, t + tког ) фаза меняется монотонным образом. Введем время наблюдения световой волны to. Если выполняется условие

то на промежутке времени 0 < t < to можно считать фазу волны постоянной. Если условие (4.14) выполняется для обеих волн, то разность их фаз будет постоянной, а значит, эти волны когерентны по отношению к флуктуациям частоты волны.

Введем расстояние, на которое смещается волна за время tког : lког = ctког. Из определения tког следует, что lког - это расстояние, на котором

случайная фаза изменится на π. Тогда для получения интерференционной картины путем деления световой волны на две ( рис.4.1 ) необходимо, чтобы оптическая разность хода удовлетворяла условию ∆ << lког

Отметим, что при интерференции двух плоских волн путем деления луча на две волны величина ∆ растет с увеличением номера полосы m. По этой причине при достаточно больших m будет ∆ ~ lког, что приводит к постепенному уменьшению четкости полос и их исчезновению по мере удаления от центра экрана.

4.3.2.Пространственная когерентность

Временная когерентность связана с флуктуациями частоты колебаний световой волны, что эквивалентно ( в силу дисперсионного соотношения ω = ck ) флуктуациям модуля волнового вектора k. Пространственная когерентность обусловлена флуктуациями направления волнового вектора k , которые характеризуются некоторым углом ϕ ( рис.4.3).

42

Благодаря флуктуациям направления луча, выходящего из щели в точке О1 и приходящего в точку М , он будет засвечивать участок шириной 2x с интенсивностью, указанной на рис.4.4. Совершенно аналогичная картина будет наблюдаться и для луча, выходящего из точки О2. Ширина области флуктуации луча ∆x оценивается как ∆x = lϕ (угол ϕ считается малым). Если ∆x будет меньше ширины интерференционных полос b [ см. формулу (4.11)]: ∆x < b, то интерференционная картина не будет "размываться" (области интенсивностей света на рис.4.4 не будут накладываться друг на друга ). Таким образом, интерференционная

Эта формула определяет условие пространственной когерентности двух волн.

Расстояние

43

называется длиной пространственной когерентности. Условие (4.15)

можно записать как

угловой размер излучающего источника. Например, угловой размер Солнца составляет 0,01 рад., значит, для Солнца угловая флуктуация направления волнового вектора составляет ϕ = 0,01. Длина волны световых волн, излучаемых Солнцем составляет ~ 0,5 мкм, значит для солнечных лучей ρ ког = ( 0,5 / 0,01) мкм = 0,05 мм. Столь малые значения длины пространственной когерентности затрудняют наблюдение интерференции солнечных лучей. Пространственную когерентность можно увеличить, предварительно пропустив луч через небольшое отверстие в не прозрачном экране (рис.4.5). В этом случае можно считать, что на обе щели падает плоская волна. Узкие щели ( их ширина порядка длиныдлины волны света ) за счет явлениядифракции

Экран

Рис.4.5. Опыт Юнга по наблюдению интерференции солнечных лучей, 1802г .

света являются источниками вторичных волн. Причем вторичное излучение щелей эквивалентно излучению линейных источников света. Поэтому на экране наблюдаются точно такие же интерференционные полосы, что и при интерференции от двух источников света ( рис. 4.2).

44

4.4. Способы наблюдения интерференции света

4.4.1. Зеркала Френеля

S2 r

O φ

S1

N b

Рис.4.7. Интерференция от зеркал Френеля

Схема опыта изображена на рис.4.7. Зеркала МО и ОN повернуты на малый угол ϕ и облучаются светом из щелевого источника S. Результат облучения эквивалентен свечению двух мнимых источников S1, S2 . В результате на экране Э возникает интерференционная картина, в которой ширина полос выражается как b = λ (r+b)/(2rϕ ).

4.4.2. Бипризма Френеля

Бипризма Френеля представляет собой цилиндрическое стеклянное тело, сечение которого является равнобедренным треугольником с малым углом в основании ϑ << 1 (рис.4.8,а).

Рис.4.8

45

Если бипризму осветить слегка расходящимся пучком лучей ( угол расходимости ϑ << 1 ) , то лучи, выходящие из грани 1, будут иметь начало в мнимом источнике S1, а лучи, выходящие из грани 2 - в мнимом источнике S2. Таким образом, в области наложения лучей будет образовываться интерференционная картина точно такая же, как при интерференции от двух линейных источников света. Из рис.4.8,а видно, что d = 2 β a, где β - угол поворота луча в вершине бипризмы (рис.4.8,б).

Используя закон преломления Снеллиуса и малость угла падения α1, получаем α2 = α1/n, где n -показатель преломления стекла (рис.4.8,б). Угол падения α2 на наклонную грань 1 со стороны стекла равен ϕ2 = ϑ - α2 = ϑ - α1/n , а угол преломления при выходе этого луча равен ϕ1 = nϕ2 = nϑ - α1 . Далее, угол β выражается как β = ϕ1 -ϑ = (n-1)ϑ -α1 и в вершине угла, гле α1 = 0, имеем β = (n-1)ϑ ..Таким образом, получено d = 2a (n - 1)ϑ . Пусть b - расстояние от вершины бипризмы до экрана, xm - координата m-ой полосы, отсчитывая от линии симметрии. На основании формулы (4.9) имеем

x m = ±λ0 ml / d = ± λ0 m (а +b) , m = 0,1,..., m max .

2a (n −1)ϑ

Отсюда находим ширину дифракционных максимумов

| xm − xm | = λ0 (a−+ bϑ) 2a(n 1)

4.4.3. Кольца Ньютона

Оптическая система состоит из толстой стеклянной пластинки, которая соприкасается с плосковыпуклой линзой достаточно большого радиуса кривизны R, при этом плоская поверхность линзы параллельна поверхности пластины (рис.4.9).

R

1

rm 2

Рис. 4.9

46

Если плоскопараллельный пучок света направить перпендикулярно пластинке, то в отраженном свете наблюдается интерференционная картина в виде темных и светлых колец, называемыми кольцами Ньютона. Для вычисления радиуса светлых колец rm будем считать rm<< R. Падающий луч расщепляется на два луча точно также, как при интерференции на клине ( см. задачу 4.3 ): луч 1 отражается от сферической поверхности, а луч 2 - от поверхности пластинки, при этом за счет малости угла клина считаем оба луча параллельными. Оптическая

разность хода этих двух лучей равна ∆ = 2h, где h = R – b - толщина зазора, b = ( R2 - r2 )1/2 ≈ R - r2/2R. С учетом того, что луч 2 теряет

rm = Rλ0 (m +1/ 2), m = 0,1,2,...,mmax

Радиусы темных колец получаются из условия ∆= λ om , что дает

rm = Rλ0m, m = 0,1,2,...,mmax

Из этих формул следует, что в центре интерференционной картины всегда будет темное пятно.

4.4.4. Интерференция при отражении от тонких пластинок

При падении световой волны на тонкую прозрачную пленку ( пластинку ) происходит отражение света от обеих поверхностей пластинки (рис.4.10). Ход лучей от точечного источника ( например, от солнечного света ) указан на рис.4.10,а. Из рисунка видно, что лучи 1,2 будут расходящимися. Однако при достаточной удаленности источника S угол a между лучами будет мал, поэтому на достаточно близком расстоянии от пленки лучи 1,2 можно считать параллельными, что и изображено на рис.4.10,б.

Рис. 4.10 Интерференция света при отражении от тонкой пластинки.

47

Именно это обстоятельство объясняет то, что интерференционные картины от тонких пленок в солнечном свете видны только на близком расстоянии.

Световые волны 1, 2 при определенных углах падения ϕ 1 могут ин-

терферировать. Найдем условия интерференции. Разность хода лучей ∆, до того, как они належатся в точке С, равна ∆ = n2s2 - n1s1, s2 = 2 AD, s1 =

n2 sinϕ 2 = n1 sinϕ 1 , получим ∆= 2d(n22 - n12 sinϕ 1)/(n2cosϕ 2). Наконец,

учитывая равенство n2 cosϕ 2 = (n22 - n22sin2ϕ 2)1/2 = (n22 - n12 sin2ϕ 1)1/2 ,

получим окончательно

изменение фазы волны при отражении. Если n2 > n1, то при отражении первого луча фаза изменится на π, а фаза второго луча не изменится ( напомним, что фаза изменяется только при отражении луча от оптически более плотной среды – см. с.18 ). В этом случае

При n2 < n1 первый луч не меняет фазу, а второй меняет фазу на π, поэтому формула (4.18) верна и для этого случая.

Условия образования интерференционных максимумов и минимумов имеют вид

Эти уравнения определяет углы падения ϕ 1, при которых будут наблюдаться максимумы и минимумы интенсивности света в интерференционной картине.

Можно показать, что условия когерентности для солнечного света при интерференции от тонких пленок накладывают ограничения на толщины пленок в виде неравенства d < 0,05 мкм [1]. Отметим также, что из-за отсутствия потери полуволны условия максима и минимума интенсивности в прошедшем свете будут противоположны соответствующим условиям (4.19), (4.20) для отраженного света.

48

4.5. Просветление оптики

При создании оптических систем с большим числом отражающих поверхностей даже малый коэффициент отражения на каждой из них ( R = 4 % для перехода стекло - воздух при нормальном падении ) начинает существенно влиять на общее количество света, проходящего через систему. Сведение к минимуму коэффициента отражения на поверхностях раздела называется просветлением оптики. Пусть на поверхность стеклянной линзы нанесен тонкий слой диэлектрика с показателем преломления меньшим, чем показатель преломления стекла,

данном случае нет потери полуволны у обоих интерферирующих лучей, формирующихся за счет отражения от границы воздух-диэлектрик и диэлектрик-стекло). Если положить m = 0, то есть выбрать толщину диэлектрической пленки минимальной, при которой будет наблюдаться минимум в отраженном свете d = λ0/4n, то оба отраженных луча будут находиться в противофазе и в этом случае отражение от внешней стороны линзы свести к минимуму.

4.6. Многолучевая интерференция

Если в точку Р сходятся не один, а множество когерентных лучей, то их наложение называют многолучевой интерференцией.

Многолучевую интерференцию рассмотрим примере интерферометра Фабри-Перо, схематическое устройство которого изображено на рис.4.11.

P

N

Рис. 4.11

Этот прибор состоит из двух стеклянных или кварцевых пластинок A, B, со строго параллельными внутренними поверхностями, на которые наносятся отражающие прозрачные напыления ( обычно металлические ). Входящий луч, многократно отражаясь, расщепляется на лучи 1, 2,.., N,

49

которые линзой сводятся в точку Р. Напряженность электрического поля в каждом луче выражается как ( используем комплексную форму записи )

где δ - разность фаз двух соседних лучей, ρ - коэффициент отражения от внутренней поверхности, N - число лучей, на которые расщепляется исходный падающий луч. Результирующее поле выражается как ( о методике вычисления см. подраздел 5.6. Дифракционная решетка)

Если N >> 1, то ρN << 1 и для квадрата амплитуды колебаний получаем

| E |=| A |2 = (1− ρ)2 + 4Aρ0 sin2 (δ / 2)

отсюда находим интенсивность света в точке Р

I = (1− ρ)2 + 4Iρ1 sin2 (δ / 2)

где I1 - интенсивность первого луча.

Если ϕ - угол падения первого луча на зеркальную поверхность первой либо второй пластинки, d - расстояние между ними, то оптическая разность хода двух соседних лучей выражается как δ = (2π / λ)(2d / cosϕ) . При δ /2 = π m , ( m - целое ) будут наблюдаться интерференционные максимумы, интенсивность которых определяется как Imax = I1/(1- ρ )2.

Если коэффициент отражения ρ близок к единице, то светлые полосы можно сделать значительно ярче, по сравнению с яркостью полос при двухлучевой интерференции. Обратим внимание, что яркость света в областях интерференционных минимумов будет ненулевая и выражается

как

Imin = I1/(1+ ρ )2 .

50

ЗАДАЧИ

Задача 4.1.

В опыте Юнга на пути одного из интерферирующих лучей помещалась перпендикулярно тонкая стеклянная пластинка с показателем преломления n = 1,5. В результате центральная светлая полоса сместилась на 5-ую светлую полосу, которая формируется в отсутствие пластинки. Длина волны света λ0 = 6 10-7 м. Найти толщину пленки h.

Решение. Схема опыта изображена на рис.4.2, который необходимо - дополнить изображением пластинки, расположенной перпендикулярно одному из лучей, скажем луча 1. В предположении малости наклонов лучей, длины лучей будут определяться соотношениями (4.8). Оптическая длина первого луча равна L1 = s1 - h + nh, L2 = s2, поэтому для оптической разности хода получаем ∆= xd/l - (n-1)h. Из условия максимума интенсивности света (4.7) для центрального максимума (m = 0) находим: x = xo = (n-1)hλ0 (l/d). C другой стороны, xo - это координата 5-ой полосы при отсутствии пластинки x5 = xo = 5 λ0 l/d, откуда l/d = x0 /5λ0. Таким образом, имеем x0 = (n-1)h λ oxo/λ0, что дает h = 5λ0/(n-1) = 6 10-7 м.

Задача 4.2.

На мыльную пленку ( n = 1,33 ) падает белый свет под углом ϕ1 = 45o. При какой наименьшей толщине пленки отраженные лучи будут окрашены в желтый свет (λ0 = 0,6 мкм ) ?

Решение. Согласно формуле (4.19) максимум интенсивности отраженного света будет наблюдаться при выполнении условия

2d (n2 – sin2ϕ1)1/2 = λ0 (m + 1/2). Минимальная толщина пленки будет при m = 0, откуда d = λ0 / [4(n2 - sin2ϕ1)1/2] = 0,12 мкм.

Задача 4.3.

Мыльная пленка ( n = 1,33 ), расположена вертикально, образует клин вследствие стекания жидкости (рис.4.12). Наблюдая интерференционные

51

Oα

x

A h B

2 1

Рис.4.12. а) схема расчета, б) фотография интерференционной картины

Решение. Вследствие малости угла α << 1, луч 1, отраженный от верхней поверхности пленки, можно считать горизонтальным. Пусть h - толщина пленки в сечении x ( рис.4.9). Тогда оптические длины лучей 1, 2 запишутся как L1 = 0, L2 = 2nh. Учитывая, что луч 1 теряет половину волны, получаем условие максимума интенсивности отраженной волны в виде 2nh = λ0(m+1/2), m = 0,1,2,... Из ∆ OAB имеем h = x tgα , поэтому координаты светлых полос определяются как

x = xm = λ0 (m +1/ 2) 2n tgα

Отсюда находим расстояние между пятью полосами

b5 = xm+5 - xm = 5λo/(2ntgα). Из этого соотношения находим tgα = 5λo/(2nb5) = 5 10-5, то есть α = 5 10-5.

Задача 4.4.

В опыте с интерферометром Майкельсона для смещения интервенционной картины на 500 полос потребовалось переместить зеркало на расстояние l = 0,161 мм. Найти длину волны света.

52

S1

1

h

S2 S1

Зеркало 2

Источник света

Рис. 4.13 Схема интерферометра Майкельсона

Решение. Схема интерферометра Майкельсона изображена на рис.4,10. Пучок света от источника падает на разделительную пластику P1, покрытую тонким слоем серебра или алюминия. Луч 1, прошедший через пластинку Р1, отражается от зеркала S1 и, попадая опять на пластинку Р1, частично отражается по направлению AO к приемнику. Луч 2, который формируется за счет отражения от внутренней зеркальной стороны пластинки Р1 , падает на зеркало S2 и , отражаясь от него, походит вновь через пластинку Р1 и сливается c лучом 1. Лучи 1, 2 когерентны, поэтому в приемнике они будут интерферировать. Так как луч 2 пересекает пластинку Р1 три раза, а луч 1 - один раз, то на его пути устанавливается точно такая же пластинка Р2, чтобы скомпенсировать добавочную оптическую разность хода.

Наблюдаемая интервенционная картина будет соответствовать интерференции в воздушном слое, образованном зеркалом S2 и мнимым изображением S1' зеркала S1 в пластинке Р1. Обычно зеркала устанавливаются таким образом, чтобы эквивалентный воздушный слой имел вид клина. В этом случае наблюдаются интервенционные полосы равной толщины, располагающиеся параллельно ребру воздушного клина.

Действуя также как и в задаче 4.3, получаем условие интерференционных максимумов до перемещения зеркала в виде 2h = λ0 m и после пе-

ремещения: 2(h + l)= λ0 (m + 500). Отсюда получаем λ0 = 2l /500 = 0,6044

мкм.

53

Задача 4.5.

На поверхность стеклянного объектива (n1 = 1,5) нанесена тонкая пленка, показатель преломления которой n2 = 1,2. ("просветляющая" пленка). При какой наименьшей толщине этой пленки произойдет максимальное ослабление отраженного света в средней части видимого спектра

( λ = 0,555 мкм ).

Решение. По формуле d = λ/4n ( см. подраздел 4.5. Просветление оптики) находим d = 0,115 мкм.

54

5.ДИФРАКЦИЯ СВЕТА

5.1.Понятие дифракции света. Принцип Гюйгенса - Френеля

Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики. Под резкими неоднородностями обычно подразумеваются края экранов, отверстия или препятствия, размеры которых сравнимы с длиной волны света.

Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия. Оба явления заключаются в перераспределении светового потока в результате суперпозиции волн. По историческим причинам перераспределение интенсивности, возникающее в результате суперпозиции волн от нескольких источников, принято называть интерференцией. Перераспределение интенсивности, возникающее вследствие суперпозиции когерентных волн, возбуждаемых одним источником, принято называть дифракцией.

Различают два вида дифракции. Дифракция параллельных лучей называется дифракцией Фраунгофера, в остальных случаях - дифракцией Френеля.

Изучение дифракции света основано на принципе Гюйгенса - Френеля, математическое обоснование которого было дано Кирхгофом. Согласно принципу Гюйгенса - Френеля каждые элементы волновой поверхности S ( рис.5.1) являются источниками вторичных когерентных волн, так что от каждого участка dS в точку Р, расположенную на экране, приходит волна

площади dS на плоскость, перпендикулярную к направлению луча, соединяющего dS и Р; A0 - амплитуда колебаний на S, a - постоянный коэффициент пропорциональности.