После замены

для функции V(x) получим уравнение вида

Если продифференцировать это уравнение по x, то относительно функции w = V′(x) получим следующее уравнение

(1-x2) w’’' —2(|m|+2)x w′+ [λ —(|m|+1) —(|m|+1)2]w = 0

Отсюда видно, что все решения уравнения (22) можно получить дифференцированием решений уравнения (22), в котором m = 0, а именно

(1 - x2) Vo′′ - 2 x Vo′ + λ Vo = 0 .

Это уравнение совпадает с уравнением (6) при s = q = 0, λ = l(l+1), l = 0, 1, 2, 3,... , и его решения являются полиномами Лежандра

Тогда частные решения уравнения (22) будут выражаться как

V(x) = Plm = d m Pl (x) dx m

Таким образом, функции T(x), определенные согласно (21), запишутся как

T(x) = (1− x2 )m / 2 d mm Pl (x) dx

Имея ввиду (16),(19), получаем следующее окончательное выражение для функции Y(ϑ ,ϕ) :

где Alm —нормировочные константы.

Функции Ylm(ϑ ,ϕ) называются сферическими функциями порядка l, функции Plm(x) называются присоединенными функциями Лежандра.

219

Обратимся теперь к исследованию уравнения (14). Можно показать, что заменой переменных R(r) = u(r)/r относительно функции u(r) можно получить уравнение, решение которого выражается через полиномы Лаггера (10) ( см. [4], С. 202 - 206 ). Приведем окончательное выражение

3. Исследование уравнения для квантового осциллятора

Задача о нахождении квантовых уровней осциллятора приводится к отысканию собственных значений µ и соответствующих им собственных функций ψ следующего

После замены переменных

ψ = exp(-s2/2) v(s)

для функции v(s) получим следующее уравнение:

Это уравнение совпадает с уравнением Чебышева-Эрмита (11), если положить

Поэтому решение уравнения (27) выражается через полиномы ЧебышеваЭрмита.

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

220

ОСНОВЫ РАДИАЦИОННОЙ БЕЗОПАСНОСТИ

Основные положения и словарь терминов.

Ионизирующее излучение – любое излучение, взаимодействие которого со средой приводит к образованию электрических зарядов разных знаков. УФ излучение, хотя и образует заряды за счет фотоэффекта, не относится к ионизирующему излучению.

Часто ради сокращения используют термин излучение.

γ-излучение –электромагнитное (фотонное излучение) с энергией более 1 МэВ (длиной волны λ ≤ 10-5 Ао).

Характеристическое излучение- излучение фотонов с дискретным спектром, испускаемое при изменении энергетического состояния атома.

Тормозное излучение - фотонное излучение с непрерывным спектром, испускаемое заряженным частицами, двигающихся ускоренно.

Рентгеновское излучение - совокупность тормозного и характеристического излучений с диапазоном энергий фотонов 1кэВ - 1МэВ.

Корпускулярное излучение – излучение, состоящее из частиц с ненулевой массой покоя (α, β-частиц, протонов, нейтронов и др. ).

Активность А радиоактивного вещества – число спонтанных ядерных превращений за единицу времени :

А=|dN/dt|=λN0 ,

где λ - постоянная распада, N0 – число распадающихся частиц в начальный момент времени. Единицей измерения активности – беккерель (Бк), 1Бк равен одному распаду за одну секунду.

Кюри – специальная единица активности, Ки. 1Ки равен 3,7·1010 ядерных распадов за секунду, такое количество распадов дает 6,46 · 10-6 грамм радона, находящегося в равновесии с одним граммом радия.

Пусть <∆Е> - средняя энергия частиц , имеющих энергию меньше некоторого значения ∆ и которая теряется частицами в среде на длине ∆l. Тогда

221

линейной передачей энергии (ЛПЭ) называется удельная потеря энергии L∆ на единице длины:

L∆=<∆E>∆/∆l

Единица измерения [L∆] = 1кэВ/мм = 0,16 нДж/м

Поглощенная доза Д – это средняя энергия <∆E>, преданная излучению веществу массой ∆m:

Д = <∆E>/∆m

Единицы измерения [ Д ] = Дж/кг.

Часто вместо термина поглощённая доза используется термин доза облучения Д. При расчёте величины Д принимается следующий состав мягкое биологической ткани: 76.2% О, 11.1% С, 10.1% Н, 2.6% N (оп массе). Единицы измерения дозы облучения – рад: 1рад = 100эрг/г = 10-2 Дж/кг. Величина 1Дж/кг называется грей (гр, Gy) 1гр = 100рад.

Мощность поглощённой дозы Р:

Р = dД/dt

Единицы измерения [ P ] = рад/с.

Если дозу облучения Д умножить на коэффициент радиационного риска К, то подучим дозу излучения, способную повреждать ткани человека. Произведение К·Д изменяется в тех же единицах, что и Д, то есть Дж/кг. Величина 1Дж/кг называется зивертом (зв, Sv). Значения коэффициента радиационного риска К для различных тканей и органов человека. Для рентгеновского γ и β излучений представлены ниже.

Кроме энергетической шкалы изменений существуют единицы измерения, в которых фигурируют числа и заряды частиц. Кроме того, для жёсткого электромагнитного излучения (рентгеновского и γ-излучений) существует специальная единица измерения дозы облучения, называемая рентгеном.

Флюэксом (ф) называется поток частиц равный 1частице/м2 = 1Ф.

222

Удельная доза X δ = 1Д/Ф.

Экспонеционная доза – удельный полный заряд ионов одного знака, возникающих в воздухе при полном торможении всех вторичных электронов, которые были образованы фотонами в воздухе, X = ∆Q/∆m, где ∆Q – полный заряд ионов одного знака, возникающих в элементы воздуха массой ∆m.

Рентген (р) 1р = 0.258мКл/кг. Дозе 1р отвечает образование 2,08·109 пар ионов в 1см3 воздуха.

Ценность рентгена как единицы физической дозы определяется двумя факторами:

практически пропорциональна физической дозе, измеренной в рентгенах. Множитель пропорциональности количества поглощенной энергии численно равен отношению плотностей ткани и воздуха, то есть приблизительно 770,

2)Методика измерения в рентгенах хорошо разработана и удобна для практических целей.

Биологическое действие излучения зависит не только от общего количества созданных ионов, но и от плотности ионизации, то есть числа ионных пар на единицу длины пути частицы. Поэтому вводится понятие

биологического эквивалента рентгена (БЭР), под которым понимается количества энергии любого излучения, поглощённого в живой ткани, эквивалентного действию одного рентгена γ или рентгеновских лучей. Единицей эквивалентной дозы является бэр: 1бэр = 0,01З зв .

Относительной биологической эффективностью (ОБЭ) излучения называется отношение дозы излучения в бэрах Дб к дозе излучения в радианах Др: Q = Дб/Др. (см таблицу).

Нормы радиационной безопасности НРБ-76

Более подробно о нормах смотрите [1] .

Приведенные нормы дозы относятся к случаю регулярной, каждодневной работы в контакте с излучением. Ни в коем случае недопустимо единовременное облучение с дозой более 25 рентген (годичная доза). При установлении этой цифры исходят из следующих данных [3] .

Допустимая доза 0,05 рентген в день более чем в 100 раз превышает естественный фон радиации (от космического излучения, радиоактивных загрязнений атмосферы и т. д. )

Напомним, что приведенные данные относятся к рентгеновскому и γ-излучениям. Относительно других типов излучения (α, β, нейтронного и др.) то следует отметить следующее. Облучение порядка 100 Гр вызывает смерть в

224