ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ

1. Вывод формулы для преобразования Фурье

Пусть дана функция ψ(x). Считая, что ее преобразование Фурье с(p) существует, представим ее в виде интеграла Фурье

−∞

Умножая это выражение на (2πh)1/2exp(-ipx/ h) и интегрируя по x, получим

∞∞

−∞

где k’ = p’/ h. Выражение, стоящее в квадратных скобках в подынтегральном выражении есть дельта-функция, поэтому равенство (2) можно записать в виде (штрих в верхнем индексе опущен)

−∞

Проведенные выкладки доказывают формулу (9) в приложении 3.

Упражнение. Пользуясь изложенной методикой, вывести формулу (12) в приложении 3, считая, что задан интеграл (11).

2. Доказательство формулы

где n —целое положительное число; (-i h∂/∂x)n = (-i)n hn ∂ n/∂ xn; звездочка в верхнем индексе обозначает операцию комплексного сопряжения.

Подставляя в левую часть формулы (4) выражение для c(p) из (3) и учитывая формулу

pn exp(-ipx/ h) = (i h∂/∂ x)n exp(-ipx/ h),

получим

212

Интегрируя второй интеграл n раз по частям, и учитывая то, что функция ψ(x) равна нулю на бесконечности, получим

∞ ∞

∫ ψ(x) (i h∂/∂x)nexp(-ipx/ h )dx = ∫ exp(-ipx/ h)ψ(x) ( - i h∂/∂x)nψ(x)dx

−∞ −∞

Тогда выражение (5) запишется как

где k = p/ h . Выражение в скобках является дельта-функцией, поэтому из последнего равенства следует исходное утверждение (1).

Если исходная функция зависит от трех переменных x,y,z, то аналогом формул (1), (2) будут выражения

(x)dxdydz

(6)

Аналогичные формулы имеют место для pyn, pzn.

Рассмотрим пример применения полученных формул. Кинетическая энергия микрочастицы выражается как

T (p) = (px2 + py2 + pz2)/2m

213

Среднее значение кинетической энергии запишется как

Разбивая интеграл на три слагаемых, и используя в каждом интеграле формулу (6) для случая n = 2, получим

Последнее выражение является определением оператора кинетической энергии.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

214

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

1.Классические ортогональные полиномы [7]

Вприложениях математической физики часто встречается краевая задача вида

где λ - собственное число, подлежащее определению.

Для некоторого класса функциональных зависимостей σ(x), τ(x) задача

(1) имеет дискретный набор собственных значений λn и соответствующих им собственных функций pn(x), n = 1, 2, 3,... , причем λn ± λm при n ≠ m .

Введем понятие ортогональности собственных функций. Подставляя в уравнение (1) вначале λn , pn(x), а затем λm, pm(x), получим два равенства. Введем произвольную функцию r(x), называемую весовой функцией, и умножим первое равенство на r(x)pm(x), второе на r(x)pn(x) и проинтегрируем полученные соотношения по x в пределах от х=а до х=b. Беря разность выражений, полученных после интегрирования, получим

a

Говорят, что функции pn(x), pm(x) ортогональны с весом r(x), если выполняется условие (4).

В приложениях большую роль играют уравнения, в которых функции σ(x), τ(x), r(x) имеют специальный вид, представленный следующей таблицей :

215

Оказывается, что в этом случае собственные функции pn(x) являются полиномами, причем Рn(s,q)(x) называются полиномами Якоби,

Lns(x) - полиномами Лагерра, Нn(x) - полиномами Чебышева-Эрмита.

Система полиномов {pn(x)}, удовлетворяющих условиям (3),(4),

называются классическими ортогональными полиномами. Таким образом, полиномы Якоби, Лагерра, Чебышева – Эрмита являются классическими ортогональными полиномами.

Основные свойства классических ортогональных полиномов.

2.Общая формула для определения классических ортогональных полиномов имеет следующий вид

216

где аn —коэффициент в полиноме pn(x) при старшей степени хn. Формула (6) называется обобщенной формулой Родрига.

4. Дифференциальное уравнение для полиномов Якоби имеет вид

где n = 1, 2, 3,... —целые числа. Решения этого уравнения, называемые полиномами Якоби, выражаются как

При s = q = 0 полиномы Якоби называются полиномами Лежандра и выражаются как

5.Дифференциальное уравнения и формулы, определяющие полиномы Лаггера, имеют следующий вид

xy′′ + (1 + s —x) y′ + n y = 0 ,

2.Приложение теории классических ортогональных полиномов к решению задач квантовой механики

217

2.1. Проведем исследование уравнения Шредингера, описывающего стационарные состояния водородоподобного атома:

(- h 2/2m)∆ψ + U(r) ψ = Eψ, U(r) = - Ze2/r, (12)

Подставляя (12) в (13), получаем два уравнения

Здесь λ - константа разделения.

Уравнение (15) также решаем методом разделения переменных, представляя

Подставляя (16) в (15), получим следующие уравнения

где m —константа разделения. Используя условие периодичности, получаем решение уравнения (17) в виде