- •А. И. ЖАКИН
- •ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ
- •СОДЕРЖАНИЕ
- •ОПТИКА
- •ВЕДЕНИЕ В ОПТИКУ.
- •ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ОПТИКИ.
- •КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
- •Энергия отдачи атома при излучении фотона.
- •ОПТИКА
- •1.2. Плоские монохроматические волны
- •Мощность лампочки N = 100 Вт, КПД = 3%. Найти интенсивность
- •2.2.1. ЗАКОНЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА
- •Решения этой системы уравнений имеют вид
- •Интенсивность в точке Р запишется как
- •Выражение (5.3) можно преобразовать к виду
- •Переходя к длинам волн, получим
- •Здесь при записи (11.3) было использовано соотношение
- •ЗАДАЧИ
- •Сравнивая (12.1) и (12.2), можно видеть
- •Первое уравнение имеет решение
- •Задача о квантовых гармонических колебаниях
- •Для гармонического осциллятора правило отбора при переходах
- •Отсюда находим выражение для коэффициента прохождения
- •Металл
- •Для тока холодной эмиссии на основании (13.10) будем иметь
- •Будем исследовать стационарные состояния, полагая
- •Уравнение (14.10) имеет решение
- •Здесь суммирование в тройных суммах производится в пределах
- •ЭФФЕКТ МЕССБАУЭРА
- •ЭЛЕМЕНТЫ ФУРЬЕ - АНАЛИЗА
- •Равенство Парсеваля в трехмерном случае записыва
- •ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
- •СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
- •После замены
- •Радон.
- •ВЫСОТА
- •Свойства некоторых жидкостей
- •Упругие свойства некоторых твёрдых тел
- •Свойства некоторых твёрдых тел
- •Диэлектрическая проницаемость диэлектриков
- •Таблица 10
ЭЛЕМЕНТЫ ФУРЬЕ - АНАЛИЗА |
|
|
||
1. Ряды Фурье |
|
|
|
|
Пусть дана непрерывная функция f (x) |
на интервале |
0 ≤ x |
≤L . |
|
Введем последовательность частичных сумм SN (x) , |
определенных по |
|||
формуле |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
SN(x) = Ao/2 + ∑ ( An cos 2πn x /L + Bn sin 2π n x /L ) |
(1) |
|||
|
n=1 |
|
|
|
L |
|
|
|
|
An = (2/L) ∫ |
f(x) cos 2πnx/L dx, |
n = 0, 1, 2, 3,.... |
|
|
0 |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
Bn = (2/L) ∫ |
f(x) sin 2πnx/L dx, |
n = 0, 1, 2, 3,.... |
|
|
0 |
|
|
|
|
Можно доказать, что имеет место предел:
|
L |
|f(x) —SN(x)|2 dx = 0 |
(2) |
lim |
∫ |
||
N →∞ |
0 |
|
|
|
|
|
|
В этом случае говорят, |
что последовательность частичных |
сумм |
|
(1) сходится в среднем квадратичном к функции f(x). Таким образом,
имеет место разложение
∞ |
|
∑ |
(3) |
f(x) = Ao /2 + ( An cos 2πnx/L + Bn sin 2πnx/L ), |
n=1
которое следует понимать в смысле среднеквадратичного равенства (2). Ряд (3) называется рядом Фурье для функции f(x). Функции { cos2πnx/L }, { sin2πnx/L } называются базисными. Представление функции f(x) в виде ряда (3) называется разложением по базисным функциям.
Ряд Фурье можно записать в комплексной форме:
n = ∞ |
|
f(x) = ∑ an exp( 2π in x/L) |
(4) |
n =−∞
где i - комплексная единица, а коэффициенты аn являются комплексными числами и определяются как
L |
|
аm = (1/L) ∫ f(x) exp(-2πi mx/L) dx , |
(5) |
0 |
|
m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,.....
Представление (5) можно получить путем умножения (4) на комплексно сопряженную базисную функцию exp( - 2π i m x /L ) и интегрирования
209
по переменной x, в пределах от х = 0 до х = L, c учетом так называемого
условия ортогональности базисных функций
L |
|
|
∫ |
exp( 2πinx/L) exp(-2πimx/L) dx = δmn L |
(6) |
0 |
|
|
где δnm - символ Кронекера, определяемый как |
|
|
δmn = 0 |
при m ≠, n δmn = 1 при m = n. |
|
Условие ортогональности (6) доказывается прямыми вычислениями.
Упражнение. Доказать условия ортогональности базисных функций (6).
Используя условия ортогональности (6), из разложения (4) нетрудно получить соотношение
L |
n = ∞ |
|
∫ |
(1/L) (xf) dx = ∑ |an|2 , |
(7) |
0 |
n =−∞ |
|
которое называется равенством Парсеваля. Упражнение. Доказать равенство Парсеваля.
2. Интеграл Фурье
Если в сумме (4) устремить L → и сумму заменить интегралом согласно замене 2πnx/L = k, Lan = g(k), то после предельного перехода получим представление функции f(x) в виде интеграла Фурье
f(x) = (2π)-1/2 |
∞ |
g(k) exp (ikx) dk |
(8) |
|
∫ |
||||
|
−∞ |
|
|
|
Функция g(k) называется преобразованием Фурье. |
|
|||
Используя формулу (5), получим следующее выражение для |
|
|||
преобразования Фурье: |
∞ |
|
|
|
g(k) = (2π)-1/2 |
f(k) exp (- ikx) dx |
(9) |
||
∫ |
||||
−∞
Равенство Парсеваля (7) запишется как
∞∞
∫ |
|f(x)|2 dx = ∫ |g(k)|2 dk |
(10) |
−∞ |
−∞ |
|
Формулы (8),(9) для трехмерного случая записываются в виде
∞ |
∞ |
∞ |
|
f(x,y,z) = (2π)—3/2 ∫ |
∫ |
∫ g(kx,ky,kz) exp( i k r ) dkxdkydkz |
(11) |
−∞ −∞ −∞
210