δω = 1/∆t (∆t- время «жизни»электрона на возбужденном уровне). Учитывая допплеровское расширение, получаем, что суммарная ширина спектральных линий будет выражаться как

δω = δωo + δωD

ЭФФЕКТ МЕССБАУЭРА

Эксперименты показывают, что при облучении атомов γ —квантами происходит их поглощение, причем частота поглощаемых фотонов определяется соотношением

где ∆ω, δωD определяются соотношениями (17.11). Можно видеть, что первая формула в (17.11) отличается от (17.12) только знаками. Это связано с тем, что часть энергии поглощаемых фотонов расходуется на поступательное движение атома (формула (17.10) для случая поглощения фотонов имеет вид hω = ∆Emn + Eотд ) . После поглощения γ - кванта происходит его переизлучение с частотой

ω = ωo - ∆ω + δωD cos α /2

Типичное распределение частот испускания и поглощения изображено на рис.17.2, из которого видно, что разность максимальных поглощаемых и испускаемых частот составляет 2∆ωD. В 1958 г. Мессбауэр провел эксперименты по поглощению γ - квантов в кристаллах при низких температурах на резонансной частоте ω = ωо и обнаружил, что частоты испускания и поглощения совпадают, то есть ∆ω = 0, δωD = 0. Это означает, что атом поглощает и испускает γ - кванты без эффекта отдачи энергии атому. Это явление было названо эффектом Мессбаура. С физической точки зрения, этот эффект объясняется тем, что в области низких температур реакция отдачи передается всему кристаллу, а не излучающему ( или поглощающему ) атому, поэтому величины ∆ω, δωD чрезвычайно малы.

Эффект Мессбауэра используется для нахождения времени жизни возбужденных состояний ядер ( через естественную ширину спектральных линий ), для определения спина ядер и т.д. С использованием эффекта Мессбауэра было подтверждено предсказанное общей теорией относительности гравитационное красное смещение частоты фотонов. Суть этого явления заключается в том, что при движении фотона против направления силы тяжести его частота уменьшится и станет равной

164

ω = ω0( 1 – g l/c2) = ω - ∆ω,

∆ω = ω0 gl/c2,

где g – ускорение свободного падения, l – длина пройденного фотоном пути. Несмотря на то, что величина ∆ω крайне мала ( сдвиг составляет всего 10-2 от его ширины ) , удалось измерить гравитационный сдвиг с точностью 0,99± 0,05 от предсказанного общей теорией относительности.

18. ЗОННАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

18.1. Понятие о энергетических зонах в кристалле.

Металлы, полупроводники, диэлектрики

Зонная теория твердых тел позволила с единой точки зрения истолковать существование металлов, полупроводников и диэлектриков.

165

Теория основывается на двух основных положениях: 1)адиабатическое приближение, в котором предполагается, что движение электронов происходит при неподвижных атомных ядрах; 2) приближение самосогласованного поля, в котором взаимодействие электрона с ядрами и другими электронами заменяется действием периодического электростатического поля U(x, y, z).

Суть зонной теории твердых тел заключается в том, что возможные значения энергии электрона в кристалле могут изменяться только в некоторых дискретных интервалах, называемых энергетическими зонами

(рис.18.1)

|__________|_________|__________|___________

0 Е1 Е2 Е3 Е

Рис.18.1. Разрешенные значения энергии ( энергетические зоны ) электрона в кристалле (на рисунке заштрихованы)

Существование энергетических зон можно доказать следующим образом. Стационарные состояния электрона в кристалле определяется следующим уравнением Шредингера

где U(x,y,z) —силовая функция, периодическая по всем пространственным переменным

U(x+a, y, z) = U(x, y+b, z) = U(x, y, z+c) = U(x, y, z),

где a, b, c – периоды по осям декартовой системы координат x, y, z.

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что решение уравнения (18.1) имеет вид

ψ = exp( ik r ) uk(x, y, z),

где k – произвольный вектор, который в квантовой механике интерпретируется как волновой вектор электрона, связанный с его импульсом соотношением де Бройля:

Функция uk(x,y,z) зависит от волнового вектора k и периодична по x, y, z с теми же периодами, что и потенциал U(x, y, z).

Математический анализ уравнения Шредингера (18.1) также показывает, что энергия электрона Е является кусочно-дискретной

166

функцией волнового числа k = k . В одномерном случае эта зависимость изображена на рис.18.2.

E3

Разрешенная зона

E2

Запрещенная зона

E1

Разрешенная зона

k

Рис.18.2. Зависимость энергии электрона от волнового числа Е = Е(k)

Тщательные исследования показывают, что разрешенные зоны в свою очередь состоят из дискретных значений энергии. Однако разность ∆E между этими значениями столь мала ( ∆E 10-23 эВ ), что даже при температурах порядка 1оК энергия тепловых возмущений значительно больше ∆E : kВT ~ 10-4 эВ >> ∆Е , а значит электроны в разрешенной зоне можно считать свободными.

Разрешенная зона, значения энергии в которой совпадают с энергией валентных электронов, называютcя валентной зоной. Следующий интервал разрешенных значений энергии называют свободной зоной. В зависимости от степени заполнения валентной зоны электронами и ширины запрещенной зоны между валентной и свободной зонами, можно выделить три случая (рис.18.3). В случае а) электроны заполняют валентную зону не полностью: электроны могут переходить на свободные уровни валентной зоны, что дает им возможность получать дополнительную энергию, например, за счет ускорения в электрическом поле. Таким образом, в этом случае кристалл будет металлом. В остальных случаях б), в) уровни валентных зон полностью заняты электронами. Для того, чтобы увеличить энергию электрона, ему необходимо сообщить количество энергии не меньше ширины запрещенной зоны ∆Е. Если ∆Е составляет доли эВ, то кристалл называют полупроводником, а если ∆Е составляет несколько эВ, то кристалл называют диэлектриком ( изолятором).

167

Валентная зона

dEdt = dEdk dkdt ,

из (18.4), получим

Наконец, дифференцируя соотношение (18.4) по времени и учитывая (18.5), получим уравнение движения электрона в кристалле в виде

Величина mэф называется эффективной массой электрона. Эффективная масса в общем случае не совпадает с массой покоя электрона и даже может быть отрицательной. Можно показать, что в случае металлов эффективная масса электрона совпадает с его массой покоя.

Упражнение. Доказать это утверждение, основываясь на результатах квантовой теории свободных электронов в металле ( см. следующий раздел ).

Обратим внимание на то, что формально уравнение (18.6) совпадает с уравнением Ньютона, описывающим классическое движение электрона в кристалле. Однако это уравнение является квантово-механическим, причем квантовые эффекты в нем отражены в зависимости эффективной массы от волнового числа электрона.

18.3. Квантовая теория свободных электронов в металле

Вычислим энергетические уровни электрона в валентной зоне металлов. По определению, металлы – это кристаллы с незаполненной валентной зоной. С математической точки зрения это означает, что в уравнении Шредингера (18.1) потенциал взаимодействия электронов с другими электронами и ионами кристаллической решетки можно считать постоянным U(x, y, z) = const.

Будем считать U = 0, что предполагает отсчет энергии от нижнего края валентной зоны*). Рассмотрим ради простоты кристалл, имеющий форму куба с длиной ребра L.Тогда задача об определении энергетических состояний электрона запишется как

Граничное условие (18.8) означает, что электрон не покидает пределы атома. Решение задачи (18.7), (18.8) имеет вид

где числа nj принимают целые положительные значения ( в силу нечетности синуса отрицательные значения nj не означают новых состояний электрона ). Выражение для энергии (18.10) показывает, что числа k1, k2, k3 - суть компоненты волнового вектора электрона, связанного с импульсом электрона р соотношением де Бройля (18.2). Причем значения полной энергии Еn совпадают с кинетической энергией электрона.

Из (18.10) видно, что Еn растет с увеличением номеров энергетического состояния. Пусть ЕF —максимально возможное значение энергии электрона ( существование максимальной энергии ЕF следует из ограниченности скорости движения электрона). Величину ЕF называют энергией Ферми. Тогда из (18.10) следует, что значения квантовых чисел n ограничены:

n ≤ nF = L(2mE)1/2/πh

Оказывается, что значение энергии Ферми EF можно выразить через объемную концентрацию свободных электронов в металле no.

______________________________

*) Обратим внимание на то, что в теории атома водорода отсчет энергии производится от энергии покоящегося свободного электрона. По этой причине энергия локализированных состояний электрона была отрицательной.

Действительно, число всех энергетических состояний электрона определяется из условия n < nF, где n = (n1 + n2 + n3)1/2, числа nj принимают

целые положительные значения. Отсюда следует, что число состояний электрона определяется числом точек с целочисленными координатами, находящимися в 1/8 части объема шара радиуса nF . Число этих точек совпадает с 1/8 частью объема шара радиуса nF. Так как в каждом энергетическом состоянии с квантовыми числами n1 , n2 , n3 могут находиться два электрона со значением спина s = ± 1/2, то число всех состояний электронов Ne будет выражаться как

170

Ne = 2 (1/8) (4π/3) nF3 = (π/3) nF3

Так как в металле все нижние энергетические уровни Е < EF заполнены, то число энергетических состояний электрона Ne совпадает с числом свободных электронов в металле: Ne = noV, где V = L3 - объем куба. Отсюда следует

nF = L (3no/π)1/3

С учетом этого выражения из (18.10) получаем следующее выражение для энергии Ферми:

Таким образом, энергия Ферми выражается только через концентрацию свободных электронов в металле. При выводе формулы (18.11) было существенным то, что все электронные состояния от нулевого значения вплоть до энергии Ферми являются заполненными. Это явление имеет место только при нулевой температуре Кельвина. Поэтому выражение (18.11) определяет энергию Ферми при Т = 0. Используя методы статистической физики, можно доказать, что с ростом температуры энергия Ферми также увеличивается и в приближении kВT << EF выражается как

В случае kBT << EF электронный газ называется вырожденным, и его поведение ( энергетические состояния, движение электронов в кристаллической решетке и др. ) определяется квантовыми законами. В случае kBT >> EF электронный газ называется невырожденным и закономерности его поведения в кристалле определяются классическими законaми.

Величину ТF = ЕF /kB называют температурой Ферми. В металлах обычно ТF 2 104 K , поэтому вплоть до температур плавления электронный газ в металлах является вырожденным. В полупроводниках температура Ферми мала ( из-за низкой концентрации свободных электронов ) , поэтому их статистическое поведение в кристалле определяется классическими законами.

171

называют скоростью Ферми. Из (18.10) получаем расстояние между энергетическими уровнями электронов в валентной зоне

∆E = h2 π2 /(2mL2) .

Отсюда следует, что при типичных размерах кристаллов L 1 см величина ∆Е будет чрезвычайно малой: ∆Е 10-23 эВ. Это обосновывает сформулированное выше утверждение о том, что электроны в валентной зоне металлов можно считать свободными.

Зависимостью энергии Ферми от температуры объясняются термоэлектрические явления: эффекты Зеебека, Пельтье и Томсона.

Эффект Зеебека.

Если два разнородных металла А, В имеют контакты в точках 1, 2, в которых поддерживаются разные температуры Т1, Т2, то в цепи возникнет ЭДС, величина которой выражается как

Е = [ EFA(T1) – EFB(T1) + EFB(T2) – EFA (T2)] / e

где EFA (T) и EFB (T) – энергии Ферми металлов А и В соответственно.

Эффект Пельтье.

При прохождении тока I через контакт двух разнородных металлов A, B в месте контакта выделяется или поглощается ( в зависимости от направления тока ) тепло Q, определяемое как

Q = αAB I t,

где αAB —коэффициент тепловыделения; t —время пропускания тока.

Эффект Томсона.

При пропускании тока через однородный металл, имеющий градиент температуры , в нем выделяется или поглощается тепло ( в зависимости от направления тока ), определяемое согласно

dQ = τ I (dT/dl) dl,

172

где τ - коэффицент Томсона, dT/dl —температурный градиент вдоль направления l; dl — длина проводника, в котором выделяется тепло dQ.

19.ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦАХ.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЯДРА

19.1. Элементарные частицы

Современные представления о физике элементарных частиц чрезвычайно сложны и насыщены огромным числом специальных сведений. Поэтому ограничимся очерком об основных свойствах

173

микромира и сформулируем важнейшие законы, характеризующие процессы в атомных ядрах и взаимодействия элементарных частиц.

Как известно, атом состоит из положительно заряженного ядра и вращающихся около него электронов. Размер ядра оценивается как

10-13 см, атома a 10-8 см, электрон можно считать точечной частицей. Частота вращения электрона по атомной орбите оценивается как ν 1016 1/с. Скорость движения электрона по орбите v aν 108 cм/с = = 103 км/с. Приведенные данные позволяют представить атом как объект,

противоречие можно объяснить тем, что электроны, вращаясь чрезвычайно быстро по орбитам, воспринимаются во многих взаимодействиях как размазанное по пространству облако .

В результате взаимодействия элементарных частиц было обнаружено множество различных типов микрочастиц, как правило, неустойчивых , время существования которых составляет от 15 мин ( нейтрон ), до 10-8 – 10-20 сек. Стабильных частиц всего пять: протон р, электрон е,

нейтрино электронное νe, нейтрино мюонное νm и фотон γ. Если учесть их античастицы, то стабильных частиц будет девять.

Одним из наиболее поразительных открытий физики элементарных частиц является явление множественной генерации элементарных частиц. Суть явления заключается в том, что при столкновении в вакууме любых двух микрочастиц высокой энергии может образоваться множество других ( вообще говоря, любых, удовлетворяющих специальным закона сохранения ) элементарных частиц - см. рис.19.1. Формально это явление можно объяснить на основе релятивистской формулы, определяющей массу сталкивающейся микрочастицы m с ее массой покоя mo:

m = mo ( 1 – v2/c2 )—1/2

Отсюда видно, что при приближении скорости частицы v к скорости света ее масса стремится к бесконечности, то есть как бы увеличивается “количество вещества”. Однако в действительности никакого увеличения количества вещества нет и возникает вопрос: как кинетическая энергия микрочастицы трансформируется в вещество, то есть каков механизм генерации вещества из вакуума. Поиск ответов на эти и другие вопросы привел к трактовке вакуума как некоторого состояния вещества со скрытой массой. Пустоту определяют как “физический вакуум”, наполненный скрытыми ( или виртуальными ) микрочастицами. Именно эти виртуальные микрочастицы “выбиваются” из физического вакуума при высоких энергиях взаимодействия реальных микрочастиц с физическим вакуумом.

174

Рис.19.1. Протон, ускоренный в синхротроне ЦЕРН до 24 Гэв, сталкивается в пузырьковой камере с другим протоном ( ядром атома водорода ) и порождает пучок вторичных частиц, в основном пионов.

19.2. Характеристики атомных ядер

Ядро состоит из протонов и нейтронов, называемых нуклонами. Массы элементарных частиц принято выражать в энергетических единицах, которые получаются путем умножения массы на квадрат скорости света. Численные значения масс электрона и нуклонов приведены ниже:

mе = 0,511 МэВ, mр = 1836 me = 938,26 МэВ , mn = 939,55 МэВ .

Протон и электрон имеют спины s = 1/2. Магнитный момент протона равен

µp = 2,79µя , µя = e h /(2mрc) = 5,05 10-24 эрг/Гс,

где µя —ядерный магнетон, который меньше магнетона Бора µB в 1836 раз. Таким образом, магнитный момент электрона значительно больше магнитного момента ядра и составляет µe = 31/2µB = 31/2 1836µя .

Нейтрон электрическим зарядом не обладает, но обладает магнитным моментом

µn = 1,91µя ,

причем у нейтрона направления момента импульса и магнитного момента противоположно направлены. Отношение µp/µn = 3/2 выполняется с большой точностью. Нейтрон нестабилен и примерно через 15 мин распадается на протон, электрон и электронное антинейтрино:

n→ p + e + ν e

Ядро характеризуется зарядовым числом Z, которое равно числу протонов в ядре. Число Z определяет порядковый номер химического элемента в периодической системе Менделеева, поэтому число Z также называют атомным номером ядра. Число протонов и нейтронов в ядре называют массовым числом , и обозначают буквой А. Тогда число нейтронов в ядре N определится разностью N = A — Z.

175

Ядра с одинаковыми Z, но разными А (разным числом нейтронов) называют изотопами. Например, обычный водород имеет Z = 1, N = 0; тяжелый водород (дейтерий): Z = 1, N = 1; изотоп водорода с Z = 1,

N = 2 называется тритием. Известно около 1500 ядер, различающихся числами Z, A. Примерно 300 ядер устойчивы, остальные радиоактивны.

В природе существуют элементы от Z = 1 до Z = 92, исключая технеций ( Те, Z = 43 ) и прометий ( Pm, Z = 61 ). Остальные элементы атомными номерами от Z = 93 до Z = 107 получены искусственным путем, исключая плутоний ( Pu, Z = 94 ). Эти элементы называются

трансурановыми.

Размеры ядер ( радиус r ) довольно точно определяются формулой

Из этой формулы следует, что объем ядра пропорционален числу нуклонов, а плотность вещества в ядре примерно одинакова.

Спин ядра. Так как спин нуклона равен 1/2, то спин ядра будет целым числом или нулем при четном А и полуцелым при нечетном А. Спины ядер не превышают нескольких единиц. Это является следствием того, что спины нуклонов в ядре располагаются в основном антипараллельно. У всех ядер с четным числом протонов и четным числом нейтронов спин равен нулю.

19.3. Энергия связи ядра

Масса ядра всегда меньше суммы масс входящих в него нуклонов. Разность суммарной массы протонов и нейтронов в ядре и массы ядра называется энергией связи ядра:

Eсв = [Z mp + ( A – Z ) mn – mя ] c2

Величина Есв /с2 = ∆ называется дефектом массы ядра. Величина Есв /А называется удельной энергией связи ( энергией связи в расчете на один нуклон ). Опыт показывает, что сильнее всего связаны нуклоны в ядрах с А = 50 - 60 ( от хрома Cr до цинка Zn ), у которых удельная энергия связи около 8,7 МэВ/нуклон. С ростом А удельная энергия связи уменьшается и у самого тяжелого природного элемента урана составляет 7,5 МэВ/нуклон.

Вычисления энергии связи показывают, что при делении ядер либо при слиянии легких ядер выделяется огромное количество энергии. Например, при делении ядра с А = 240 на два ядра с А = 120 выделяется энергия 240 МэВ. Слияние двух ядер тяжелого водорода дейтрия в ядро гелия приводит к выделению энергии в виде излучения γ кванта равной 24 МэВ. Химическая энергия значительно меньше ядерной. Например, в реакции горения углерода С + О2 = СО2 в расчете на один элементарный акт взаимодействия выделяется 5 эВ.

176

19.4. Радиоактивность

Радиоактивностью называют самопроизвольное превращение одних атомных ядер в другие за счет испускания элементарных частиц. Выделяют следующие типы радиоактивностей: 1) α - распад, 2) β - распад, 3) γ - излучение, 4) спонтанное деление ядер, 5) протонная радиоактивность.

1) α - распад представляет собой поток ядер гелия 2Нe4 ( состоящих из 2-х протонов и 2-х нейтронов ) из радиоактивных ядер. Распад происходит по следующей схеме

ZXA → Z-2YA-4 + 2He4,

где X обозначает химический символ распадающегося ядра, А – массовое число, Z – зарядовое число , Y – химический символ образующегося ядра. Ядро Y обычно обладает γ - радиоактивностью. Скорость вылета ядер гелия имеет порядок 109 см/с, кинетическая энергия - порядка несколько МэВ. В воздухе одна α - частица образует на своем пути примерно 105 пар ионов, затрачивая на образование одной пары около 35 эВ. В нормальных условиях длина пробега α - частицы составляет несколько сантиметров, в твердом теле – около 10-3 см ( α - частицы задерживаются обычным листом бумаги ). Примером α - распада является превращение изотопа урана-238 в торий-234

92U238 → 90Th234 + 2He4 ;

2) -βраспад представляет собой испускание ядром электронов e - или позитронов е+ по схемам

ZXA → Z+1YA + e - + ν e , ZXA → Z -1YA + e+ + νe

либо поглощение электрона из К- оболочки ( К- захват) по схеме

ZXA + e - → Z-1YA + νe

Образовавшийся атом Z-1YA находится в возбужденном состоянии и после перехода в основное состояние излучает γ-фотон. Примерами β-распада являются реакции

90Th234 → 91Pa234 + e - + ν e , 7N13 → 6C13 + e+ + νe

β-распад может сопровождаться испусканием гамма лучей.

3) γ-лучи представляют собой поток фотонов высокой энергии (малой длины волн от 10-3 А0 до 1 А0 ).

177

Закон радиоактивного распада определяется формулой

N(t) = No exp( - λt),

где No число распадающихся ядер в начальный момент времени ( t = 0 ); N(t) – по прохождению времени t, λ - постоянная распада.

Упражнение. Вычислить число распавшихся ядер по прохождению времени t.

Время Т, за которое распадается половина первоначального количества ядер (определяемое из условия N(T) = No /2 ), называется периодом полураспада и выражается как Т = ln 2/λ = 0,693/λ .

Величина периода полураспада изменяется в пределах от 3 10-7 сек до

5 1015 лет.

Активностью радиоактивного распада называется число распадов в единицу времени. В системе СИ единицей активности является число распадов в секунду. Применяются также единицы активности, называемые кюри ( Кu ): 1 Ku = 3,7 1010 расп./с .

19.5. Ядерные реакции

Взаимодействие ядер с элементарными частицами ( или другими ядрами ) с образованием новых ядер называется ядерной реакцией.

Наиболее распространенным видом ядерной реакции является взаимодействие легкой частицы с ядром X, при котором образуется новое ядро Y и другая легкая частица:

X + a → Y + b

В экспериментах обычно поток элементарных частиц облучает мишень, представляющую собой пластинку толщиной d. Если на частицу падает поток jo, то поток j(d) на выходе из пластинки будет определяться соотношением

j(d) = jo exp ( - σ n d ) ,

где n – объемная концентрация облучаемых ядер ( частиц X ), σ параметр- ,

называемый эффективным сечением взаимодействия. В экспериментах задаются n, d ; измеряются j(d), jo . При этом σ выражается как

σ = [ln (jo / j(d))]/nd

Параметр σ измеряется в барнах: 1 барн = 10-24 см. Особое значение имеют реакции с участием нейтронов, для которых эффективные сечения взаимодействия сильно зависят от начальной энергии нейтронов Е. Например, поглощение нейтронов ядром U238 имеет резкий максимум до

178

2,3 барн при Е = 7 эВ. Такое поглощение нейтронов называется резонансным, и оно возникает тогда, когда энергия нейтронов Е равна энергии, необходимой для возбуждения ядра.

Величина µ = σ n называется коэффициентом поглощения.

Зависимость коэффициента поглощения от энергии γ-квантов для наиболее часто применяемых на практике материалов представлена на рис. 19.1.

µ, см−1

0, 6

1

0, 4

2

0, 2

Рис.19.1. Зависимость коэффициента поглощения γ-квантов от энергии фотонов для различных веществ: 1 – свинец, 2 – чугун, 3 – бетон, 4 – вода.

Характеристики радиации и ее влияние на живые организмы изложены в Приложениях 6, 7.

Рассмотрим некоторые важнейшие виды ядерных реакций.

1. В атмосфере Земли нейтроны, образующиеся в космических лучах, взаимодействуют с ядрами азота с образованием нестабильного радиоуглерода и протона:

7N14 + n → 6C14 + p

Радиоуглерод за счет β-распада вновь превращается в азот:

6С14 → 7N14 + e- + ν e .

179

Период полураспада радиоуглерода составляет 5730 лет. Исследования показали, что концентрация радиоактивного углерода в атмосфере No постоянна, несмотря на постоянный его распад ( приблизительно 14 распадов в минуту на один грамм радиоуглерода ). Объясняется это тем, что в единицу времени число распавшихся ядер 6С14 равно числу образовавшихся атомов радиоуглерода за счет ядерной реакции. Пока организм живет, убыль в нем атомов радиоуглерода из-за процесса распада восполняется благодаря процессу обмена веществ. В момент смерти концентрация атомов 6С14 начинает убывать по закону радиоактивного распада. Так как No постоянно во всех организмах и известно, а концентрацию N(t) можно измерить, то можно найти время, прошедшее после смерти организма. Радиоуглеродный метод является довольно

плутоний-239(Pu), уран-233, торий-232 (Th).

В природных урановых залежах содержится только 0,7% урана-235, а 99,3% —урана-238, ядра которого делятся только быстрыми нейтронами ( энергия быстрых нейтронов составляет 104 —108 эВ ). Замечательной особенностью этой реакции является образование в результате урана-235. Таким образом, продукты реакций реакторов на быстрых нейтронах являются топливом для реакторов на тепловых нейтронах.

Термоядерными реакциями называются реакции слияния легких ядер в одно ядро. Эти реакции происходят при очень высоких температурах порядка 107 К. Особенно интенсивно протекают реакции слияния ядер дейтрия и трития с образованием ядер гелия и нейтрона. Эта реакция сопровождается выделением энергии 17,6 МэВ в виде γ-кванта , что составляет около 3,5 МэВ на нуклон ( при делении урана-235 выделяется значительно меньше энергии: 0,85 МэВ на нуклон ). Термоядерные реакции являются основным источником энергии в звездных сферах.

ЗАДАЧИ

Задача 19.1

Чугунная плита уменьшает интенсивность пучка γ-излучения в 10 раз при энергии γ-квантов εγ = 2,8 Мэв. Во сколько раз уменьшит интенсивность этого пучка свинцовая плита той же толщины?

180

Решение. Используя формулу j = jo exp (- µ d ), получаем для чугунной плиты jo / j = exp (µч d ) = 10 , где µч = 0,25 см-1 коэффициент поглощения γ-квантов чугуном при энергии εγ = 2,8 Мэв – см. рис.19.1.

Отсюда находим d = ln10/µ ч , Для свинцовой плиты получаем

jo / j = exp (µ св d ) = exp (µ св ln10/µ ч ) = 10µcd / µч = 63 раз

Значение коэффициента поглощения свинца определялось по рис. 19.1 согласно µ св = 0,45 см-1 .

Задача 19.2

Определить число α и β распадов в реакции

Z X A →Z1 Y A1 + n 2 He4 + m e−

Решение. Так как масса электронов на баланс массовых чисел, то имеет место A – 4 n = A1 . Из закона сохранения заряда имеем Z – 2n + m = Z1. Решение этой линейной системы дает для числа α-распадов n = ( A – A1)/4, числа β-распадов m= Z1 - Z + 2n.

181

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

Векторным полем называется векторная функция

182

Примерами скалярных и векторных полей являются распределение плотности масс в твердом теле ρ = ρ(r), распределение электростатического потенциала в пространстве Φ = Φ(r), распределение напряженностей электрического и магнитного поля E = E(r), H = H(r).

Основными дифференциальными операциями над скалярными и векторными функциями являются вычисление градиента скалярной функции ротора векторной функции rotA(r) и дивергенции векторной функции divA(r).

Перейдем к определению этих дифференциальных операций.

1. Определение градиента скалярной функции.

Вычислим производную от скалярной функции (2) вдоль прямой, направление которой задается единичным вектором l.

Производной функции f(r) в точке М вдоль прямой АВ называется предел

∆r = l∆s. Разложим функцию f(r+∆r) в ряд Тейлора, считая ее непрерывно дифференцируемой:

f(r+∆r) = f(r) +∂ f /∂ x ∆x + ∂ f /∂ y ∆y + ∂ f /∂ z ∆z + O(∆s2),

где через О(∆s2) обозначены члены порядка малости ∆x2, ∆y2, ∆z2. Учитывая равенства ∆x = lx∆s. ∆y = ly∆s, ∆z = lz∆s, где lx, ly, lz -компоненты орта l, направленного вдоль прямой АВ, получим

Если ввести вектор

183

где i, j, k —орты, направленные вдоль осей x, y, z декартовой системы координат ( см. рис.1), то выражение (4) можно записать как

Вектор f определенный выражением (5), называется градиентом

скалярной функции.

Геометрический смысл вектора f можно видеть из следующего соотношения, являющегося следствием определения скалярного произведения:

где ϕ - угол между векторами l и f. Если изменить направление вектора l, то в формуле (7) будет меняться только угол ϕ. Максимальное значение производной ∂ f /∂ s при изменении l будет при ϕ = 0, то есть когда l и f направлены в одну и ту же сторону. В этом случае ∂ f / ∂ s = f .

функция f(r) возрастает всего быстрее.

2. Определение ротора векторной функции

Пусть дано некоторое векторное поле F = F(r). Ротором вектора F(r) называется вектор A, обозначаемый как rotF, компоненты которого вычисляются по правилу

Приведем без доказательства теорему: для того, чтобы некоторое векторное поле F(r) было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы

184

В том случае, когда F(r) —это силовое векторное поле, функцию U(r)

называют потенциалом силового поля или силовой функцией.

Примерами потенциальных векторных полей являются электростатическое E = - Ф, статическое магнитное поле H = -ψ гравитационные поля сил притяжения Земли и Солнца и др.

2. Поток векторного поля через поверхность

Пусть дано векторное поле (1) и дана некоторая гладкая поверхность S. Выберем на ней малый участок dS в окрестности точки М (рис.2).

Рис. 2. К определению потока вектора через поверхность

Проведем касательную плоскость в точке М и построим единичный перпендикулярoый к этой плоскости вектор n . Вектор n называется нормальным вектором к площадке dS ( говорят, что элемент dS ориентирован нормалью n ).

Потоком вектора A(r) через площадку dS называется величина

dN = A n dS,

где A n —скалярное произведение векторов A и n в точке М.

Потоком вектора А через поверхность S называется поверхностный интеграл

3. Дивергенция вектора. Формула Гаусса-Остроградского

Если поверхность S замкнута, то поверхностный интеграл (11) можно преобразовать в объемный по формуле Гаусса-Остроградского:

185

S V

где V - объем, который охватывает замкнутая поверхность S, а скалярная величина div A называется дивергенцией вектора A и определяется как

Подчеркнем, что в формуле (12) орт нормали n к поверхности S направлен в наружную сторону от объема V ( в этом случае говорят, что n - это внешняя нормаль к поверхности S ). Простое доказательство формулы (12) можно найти в монографии [6].

2. Пример использования формулы Гаусса-Остроградского

где w - объемная плотность электромагнитной энергии, S - вектор плотности потока энергии поля.

Получим уравнение баланса электромагнитной энергии для конечного объема V. Для этого проинтегрируем уравнение (14) по объему V:

∂ /∂ t ∫ w dV = —∫ div S dV S V

Применяя к интергалу в правой части формулу Гаусса-Остроградского, будем иметь

где n —внешняя нормаль к поверхности S, охватывающей объем V. Умножая последнее равенство на промежуток времени dt, получим

Здесь (-n) —внутреняя нормаль к поверхности S. Формула (15) имеет слудующий смысл: приращение энергии электромагнитного поля dUэ за время dt в объеме V равно притоку энергии dUs за время dt через поверхность S. То есть энергия электромагнитного поля может поступать в объем V ( или убывать из объема V ) только через поверхность S, охватывающую этот объем.

186

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ОПТИЧЕСКИЕ УСТРОЙСТВА

1. Глаз как оптическая система

187

Глаз состоит из следующих преломляющих сред (рис.1): водянистой влаги ВВ, хрусталика и стекловидного тела СТ.

Зрачок

Зрительный нерв

Кровеносные сосуды

Хрусталик

Первоначальная фокусировка роговицей

Палочка Колбочка Склера

Дополнительная фокусировка хрусталиком

Глаз служит для формирования уменьшенного изображения предмета на внутренней поверхности глазного яблока, называемого желтым пятном. Здесь расположены светочувствительные рецепторы, которые передают электрические импульсы по глазному нерву в кору головного мозга. Наводка глаза на предметы, называемая аккомодацией, достигается путем изменения кривизны хрусталика глазными мышцами и изменения диаметра зрачка, который в оптических устройствах называют

апертурной диафрагмой.

2. Роль апертурных диафрагм

Апертурной диафрагмой называется отверстие в непрозрачном экране, расположенном перед оптической системой, например, хрусталиком глаза или линзой (рис.2,а).

Рис.2. Влияние диафрагмы на резкость изображения

Из рис.2,а видно, что если точки А,В не находятся в плоскости ЕЕ, то их изображения на плоскости РР формируется в виде пятен ( а не точек ). Из рис.2,б видно, что чем больше размер диафрагмы, тем больше размер пятна. Роль апертурной диафрагмы можно уяснить на примере следующей задачи: определить размер отверстия, при котором на экране будет проецироваться форма источника света ( рис.3)

Рис.3. Прохождение лучей через диафрагму от предмета АВ:

D,d —размеры предмета АВ и диафрагмы, L, l —расстояния от предмета до диафрагмы и от диафрагмы до экрана.

Решение. Ради простоты рассматриваем случай параксиальных лучей. Тогда ϕ = D/L, B'A'= lϕ, O'A' = d/2.Условие того, что край изображения будет четким, запишется как А'В' >> d/2, откуда получим следующее ограничение на диаметр диафрагмы: d << 2 lϕ = 2 l D/L. При d > 2lD/L на экране будет изображаться форма диафрагмы.

3. Увеличение лупы

Лупа —это оптический инструмент, состоящий из одной или нескольких линз с небольшим фокусным расстоянием ( от 1 до 10 см ).

189

Мнимое увеличенное изображение предмета получается на расстоянии наилучшего зрения D = 25 см от нормального глаза ( рис.4,а).

Рис.4. Увеличение лупы

Коэффициентом увеличения лупы N называется отношение линейного размера изображения предмета в глазе при наличии лупы к величине размера изображения в отсутствие лупы. Из рис.4,б видно, что коэффициент увеличения выражается как N = tg ϕ'/ tgϕ, где ϕ, ϕ' —углы зрения, под которыми виден предмет без лупы и с ней. Из рис.4,а следует tg ϕ = y/D, tg ϕ'= y'/(a'+f).Из подобия треугольников получаем y'= y ( a'+ f)/f. Тогда

N= y'D / [ y(a'+f)] = D(a'+f)/[f(a'+f)] = D/f

4.Микроскоп

Для получения большого увеличения мелких предметов используют микроскоп, схема которого изображена на рис.5. Он состоит из двух короткофокусных линз, первая из которых называется объективом (Об), вторая —окуляром (Ок).

Рис.5. Схематическое устройство микроскопа

Можно доказать [3], что две линзы эквивалентны одной с фокусным расстоянием

где ∆ - расстояние между F1F2 (рис.5); f1, f2 —фокусные расстояния объектива и окуляра. Используя формулу для коэффициента увеличения

190

линзы N = D/f, получаем следующее выражение для коэффициента увеличения микроскопа:

5. Зрительная труба ( телескоп )

Для рассмотрения удаленных предметов используются зрительные трубы (в астрономии - телескопы ). Зрительные трубы отличаются от микроскопов тем, что у них совмещены задний фокус объектива с передним фокусом окуляра ( то есть ∆ = 0 ). В этом случае формулы (1),

(2) не имеют места. Для вычисления коэффициента увеличения зрительной трубы обратимся к рис.6.

Рис.6. Ход лучей в телескопе

Из рисунка видно, что tg ϕ' = AF2 /f2, tg ϕ = AF2 / f1, f1 / f2 = D1 / D2, где D1,D2 —диаметры объектива и окуляра. Используя эти соотношения,

получаем коэффициент увеличения зрительной трубы в виде

N = tg ϕ'/ tg ϕ = D1 /D2

Телескоп обладает замечательным свойством уменьшать диаметр пучка параллельных лучей ( рис.7).

Рис.7. Уменьшение диаметра пучка света зрительной трубой

6. Спектрографы

Спектрографы служат для изучения спектрального состава света. Схематическое устройство призменного спектрографа показано на рис.8,а.

191

Экран

ф

кр

ф

кр

ϕ1 ϕкр ϕф

Рис.8. Схематическое устройство призменного спектрографа: а) схема призматического спектрографа,

б) схема расщепления белого луча на монохроматические составляющие

В основе расщепления луча белого света на цветные составляющие при прохождении через призму является дисперсия света, то есть зависимость показателя преломления от длины волны света n = n(λ). Поэтому красный и фиолетовый лучи будут преломляться на границе стекло-воздух под разными углами. В силу того, что длина волны красного света λк больше фиолетового λф , имеет место n(λк) < n(λф), поэтому красный луч будет преломляться меньше, чем фиолетовый.

Упражнение. Основываясь на законе Снеллиуса, объяснить ход лучей, изображенных на рис.8,б.

7. Поляризационная призма Николя

Это устройство служит для поляризации естественного света и устроено следующим образом. Две одинаковые половинки призмы, вырезанные из исландского шпата так, как указано на рис.9, склеены канадским бальзамом, показатель преломления которого

n = 1,55 удовлетворяет условию no < n < ne. Здесь nо, nе - показатели преломления обыкновенного и необыкновенного лучей. Как видно из рисунка, обыкновенный луч отклоняется призмой, а из призмы выходит только поляризованный необыкновенный луч.

Рис.9. Устройство поляризационной призмы Николя

8. Полутеневой анализатор

Как известно, при прохождении плоскополяризованного света через оптически активную среду плоскость колебаний луча поворачивается на некоторый угол. Этот угол можно определить с помощью поляризационной призмы ( анализатора ), которая в отсутствие оптически активной среды устанавливается так, чтобы ее плоскость поляризации была перпендикулярна плоскости колебаний монохроматического света. После прохождения луча через оптически активную среду на выходе из анализатора интенсивность света будет определяться согласно закону Малюса по формуле I = Io cos2(π/2-ϕ) - см. рис.10.

ϕ

Рис.10. Измерение угла поворота плоскости колебаний с помощью анализатора

Поворачивая анализатор так, чтобы интенсивность света на выходе была равна нулю, можно найти искомый угол ϕ.

Описанная выше процедура определения угла ϕ дает большую погрешность, поэтому применяют специально модифицированную призму Николя, называемую полутеневым анализатором. Модификация заключается в том, что призму разрезают на две равные части вдоль

193

Плоскость

главной плоскости, а затем каждую половину сошлифовывают по клинообразному слою с углом около 2о30' и вновь склеивают ( рис.11).

Рис.11. Модификация призмы Николя

В результате этой процедуры призма Николя будет состоять из 2-х половинок с плоскостями поляризации, повернутыми друг относительно друга на угол 2α ( рис.12).

Рис.12.Прохождение плоскополяризованного света через полутеневой анализатор

Принцип работы полутеневого анализатора следующий. Если плоскость колебаний РР светового луча перпендикулярна плоскости ОО, разделяющей двугранный угол между плоскостями поляризации А1А2 на две равные части, то обе половинки анализатора будут освещены одинаково с интенсивностями I = Iocos2( π/2 - α ) = Iosin2α. Если плоскость колебаний повернется на угол ϕ, то согласно закону Малюса одна половина будет освещена с интенсивностью I = Io cos2( π/2+α - ϕ ) =

= Iosin2(α - ϕ), а другая с интенсивностью I =Iosin2(α + ϕ) .Таким образом, обе половинки будут освещены неодинаково. Одинаковой освещенности можно добиться, повернув плоскость ОО на угол ϕ так, чтобы она была ортогональна плоскости А1А2. Этот способ определения угла ϕ дает

194

значительно меньшую погрешность, чем при использовании обычной призмы Николя.

9. Рефрактометр

Рефракцией называется зависимость коэффициента преломления от плотности вещества. Это явление используется в приборах, называемых рефрактометрами. Рефрактометры служат для определения плотности вещества или концентрации растворенного компонента в чистом растворителе.

Основным элементом рефрактометра являются две прямоугольные призмы, между которыми находится исследуемая жидкость ( рис.13).

Исследуемая

жидкость

А ϕ

Рис.13. Схема формирования границы между освещенной областью и тенью в рефрактометре

Одна из граней призмы является светорассеивающей ( матовой ), а другая тщательно отполированной. Призмы сделаны из стекла с показателем преломления большим, чем показатели преломления исследуемых жидкостей. Свет, проходя через матовую поверхность первой призмы, равномерно освещает жидкость, На границе полированной грани второй призмы из-за явления полного внутреннего отражения возникает конус лучей, угол которого определяется из условия sin ϕ = nж/nст. По этой причине на экране появляются освещенная и неосвещенная области. Положение границы между этими областями зависеть от угла ϕ, а тем самым от показателя преломления жидкости. Рефрактометры данного типа позволяют измерить показатели преломления в пределах n = 1,33 —1,78

c относительной точностью 10-5. 10.Принципы голографии

1. Общие положения [8-10].Голография – это запись на фотопленку информации о предмете на основе интерференционного поля. Слово голография происходит от двух греческих слов: holos – полный, grapho – записывать. Таким образом, с помощью голографии можно получать

экспериментально осуществил английский физик венгерского происхождения Денис Габор в 1948 г. Фотопленка с записью на ней

интерференционного поля называется голограммой.

Проще всего понять принцип голографии можно на примере голограммы точки. Точка рассеивает падающий на нее параллельный световой пучок и создает сферическую волну, которая интерферирует с нерассеянной частью падающего пучка; эта интерференционная картина представляет собой систему концентрических колец, которая получила название зонной решетки Френеля. Фотография зонной решетки на прозрачной пластинке (например, стеклянной) и есть голограмма точки. Если эту голограмму осветить параллельным световым пучком, то вследствие дифракции на решетке он соберется в точку, то есть даст изображение (рис.10.1). Радиус m-го кольца (m = 0, 1, 2, …, mmax), обозначаемого rm, при условии rm<< l, где l – расстояние от предмета до фотографической пластинки, определяется формулой

Голограмму любого сложного предмета можно представить как суперпозицию (волновое наложение) зонных решеток от всех точек предмета. Для получения таких голограмм необходимы интенсивные когерентные световые пучки, например, лазерные, и тонкослойные фотографические эмульсии, толщина которых должна быть значительно меньше минимального расстояния между кольцами зонной решетки.

1

l

Рис.10.1. Голограмма точки: а) запись голограммы, б) вид голограммы, в) чтение голограммы. 1 – опорный пучок, 2 – матовая прозрачная пластинка, 3 – предмет (небольшое тело), 4 – фотопластинка.

2. Методы записи информации на голограммы. Если воспроизводство изображения с голограмм производится единым образом (см. ниже), то запись информации на голограмму можно производить различными методами.

2.1. Метод Габора. В методе Габора (см. рис.10.2, а) предмет представляет собой изображение на прозрачной пластинке 1, на который

196

перпендикулярно падает плоскополяризованный пучок света 2. Проходя через пластинку, свет дифрагирует на изображении предмета, создавая за пластиной интерференционное поле 3, которое фиксируется фотопластинкой 4. Для воспроизведения изображения предмета с помощью голограммы (рис.10.2, б) необходимо направить этот же пучок света на голограмму (прозрачную пластину с изображением предмета убрать!).

Дифрагируя на голограмме, свет создает интерференционное поле, которое дает два изображения предмета: мнимое 5 и действительное 6, поэтому при наблюдении изображения предмета имеет место его кажущееся раздвоение.

а)

б)

Рис.10.2. а) Запись голограммы: 1 – прозрачная пластинка с изображением предмета, 2 – плоскопараллельный пучок поляризованного монохроматического света. 3 – интерференционное поле, 4 – голограмма б) воспроизведение изображения: 5 – мнимое, 6 – действительное

изображение предмета.

Недостатком метода Габора является то обстоятельство, что лучи, формирующие действительное 6 и мнимое 5 изображения предмета при воспроизведении распространяются по одному направлению, то есть два изображения и накладываются друг на друга.

197

2.2. Метод Лейта и Упатниекса. Для устранения этого недостатка в 1962 году американские физики И. Лейт и Ю. Упатниекс предложили видоизменить схему записи голограммы так (рис.10.3), чтобы опорный 1 и предметные 2 пучки света падали под разными углами на голограмму.

а) 4

З

3

2

1

З

б)

3

Рис.10.3. а) Запись голограммы: 1 – опорный пучок, 2 – предметный пучок, 3 – голограмма, 4 – полупрозрачная разделительная пластинка, 31, 32 – отражающие зеркала.

б) воспроизведение изображения: 5 – мнимое, 6 – действительное изображения.

2.3. Цветные голограммы. Метод Денисюка. В рассмотренных выше методах записи и воспроизведения изображения использовался монохроматический свет, поэтому получающиеся изображения предметов одноцветны. Если освещать предмет несколькими лазерами с различными

198

длинами волн и записывать голограммы на одну и ту же пластинку, то полученная голограмма (она называется цветной голограммой) будет воспроизводить цветное изображения.

Объемные изображения можно получать, используя толстослойные голограммы. Этот метод предложил в 1959 г. Советский физик Ю.Н. Денисюк. Подробно с его методом можно познакомиться в работе [11].

Схема записи голограммы такая же, как и на рис.10.3 с тем отличием, что вместо пучка лазерного света используется интенсивный источник немонохроматического света типа ртутной лампы, Солнца, лампы накаливания, и количество отражающих зеркал (31, 32) может быть больше 2-х. В этом случае и фотографической эмульсии предъявляются чрезвычайно высокие требования: размер зерен должен быть таким, чтобы они укладывались не менее нескольких тысяч на миллиметр, а установка должна быть устроена так, чтобы полностью исключить воздействие микровибраций.

В методе Денисюка толщина эмульсии должна составлять не менее 5 мкм . В этом случае в ней фиксируется объемное интерференционное поле, в котором записывается не менее 5-8 пучностей стоячей световой волны.

2.4. Другие методы записи голограмм.

1. Голограммы можно записывать не только от предметного пучка света, но и в случае, когда эмульсия нанесена на зеркальную поверхность (рис.10.4). В этом случае интерференция падающей 1 и отраженной 2 волны образует стоячее поле, которое фиксируется эмульсией голограммы. 2. Если опорный пучок является сферической волной (а предметный как обычно – рассеянный свет), то этот метод записи голограммы называется

методом Фурье.

1 2

Мелкозернистая эмульсия

Зеркало

Рис.10.4. Запись голограммы в эмульсии, расположенной на зеркале: падающий 1 и отраженный 2 лучи образуют стоячую волну, которая фиксируется эмульсией.

3. Голограмму можно получить аналитически в виде массива цифр с помощью математического расчета интерференционного поля. Этот массив чисел называется цифровой голограммой и хранится в памяти ЭВМ. Если затем распечатать цифровую голограмму на фотопленку и

199

осветить светом, то в отраженном свете можно получить объемное изображение предмета.

3. Применение голографии.

Ниже мы перечислим наиболее важные применения голографии, которые в настоящее время получили широкое применение.

1.Цифровая голографическая запись в радиоволновом диапазоне позволяет реконструировать изображения предметов, не видимых в оптическом диапазоне. Именно таким способом были составлены голографические карты поверхности Венеры с помощью радиолокационного спутника.

2.Голографическая запись с помощью акустических волн позволяет воспроизводить изображения предметов в размерах, значительно меньше 1 мкм, то есть этот метод позволяет давать изображения предметов, которые не видны в оптический микроскоп. Воспроизведение изображения с акустических голограмм производится программно с помощью ЭВМ. Таким методом производится контроль качества производства интегральных схем.

3.Голографический метод позволяет воспроизвести с неподвижного экрана изображение движущегося объекта. Экспериментальная система голографического кино длительностью около 0,5 минуты была продемонстрирована в октябре 1976 году в Москве на Международном конгрессе по кинематографии [12].

Задача.

Вывести формулу для радиуса колец зонной решетки (1).

Указание. Воспользоваться тем обстоятельством, что фазы волны на волновой поверхности, проходящие через рассеивающую точку О (рис. 5), одинаковы.

О1 Р

rm

О l А

Рис. 5. Фазы волны в точках О, О1 одинаковы, поэтому оптическая разность хода лучей ОР и О1Р равна ∆ = ОР – ОА = ОР – l. Далее использовать условие l >> rm.

11. Характеристики световодов.

Светопроводящий кабель ( световод ) представляет собой тонкое цилиндрическое тело, сделанное из стекла с примесью эрбия. Световоды

200

делают в виде одножильных ( рис.11.1,а) и многожильных ( рис.11.1,б) кабелей.

Сердечник

( стекло ) d = 8-10 мкм

Рис.11.1. Структура светопроводящих кабелей.

Для связи используют три инфракрасных диапазона: 0,85 мкм, 1,3 мкм и 1,55 мкм., при которых поглощение наименее интенсивно. Потери последних являются минимальными и составляют 5% на 1 км. На рис.11.2 представлен график зависимости интенсивности поглощения света в децибелах (Дб) в зависимости от длины волны излучения.

2

Дб

1

и конечное ( на выходе ) значение интенсивности излучения. Например, уменьшение интенсивности в два раза I / I0 = 0,5 соответствует Д = 3 Дб. Соединение световодов осуществляется через оптический разъем (теряется 10-20 % мощности), сжатием муфтой ( потери до 10% ) и сваркой ( минимальные потери). Генераторами излучения служат фотодиоды и

полупроводниковые лазеры. Передача данных по оптоволокну составляет до 1 Гбит/сек. С помощью соответствующего легирования стекол можно добиться передачи сигнала практически без потерь на расстояние до 100 км. Отметим,что все три указанных выше диапазана имеют полосу пропускания от 25000до 30000 ГГц.

12. Лазеры

Генераторы электромагнитного излучения, в которых излучателями являются молекулярные или атомные системы, называются мазерами ( в

201

радиоволновом диапазоне) и лазерами ( в диапазоне длин волн, начиная с инфракрасной области и ниже ). Само слово “лазер” есть аббревиатура от английского названия “Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation” - первого оптического генератора, который был создан американским физиком Мейманом в 1960 г.

12.1. Принцип квантового излучения

Лазеры являются квантовыми генераторами, в основу работы которых положен принцип квантового излучения, суть которого заключается в следующем. Известно, что каждый атом квантовой системы, состоящей из N атомов, может находиться только в дискретных квантовых состояниях с полной энергией E1, E2,… En, En+1,…. Например, в водородоподобном атоме значения En определяются формулой (14.25), в квантовом осцилляторе – формулой (12.16). Пусть состояния с энергиями E1, E2,… En заняты, а с энергиями En+1, En+2,…- свободны. Например, в многоэлектронном атоме энергетические состояния E1, E2,… En занимают электроны атома, последнее значение En имеет валентный электрон (или электроны), находящейся на внешней электронной оболочке атома, а

состояния En+1, En+2,… - свободны, так как на этих оболочках нет электронов. Состояния атома, к котором все энергетические уровни E1,

E2,… En заняты электронами, называется основным. Если электроны атома переходят в какое-либо из энергетических состояний En+1, En+2,…, то он называется возбужденным. Процесс передачи энергии атому от внешних источников называется накачкой квантовой системы. Способы возбуждения (накачки) квантовой системы рассмотрим ниже. Обратный процесс перехода из возбужденного состояние в основное называется инверсией. Совокупность атомов в возбужденном состоянии составляет инверсионную населенность. Чем больше атомов находится в возбужденном состоянии, тем больше инверсионная населенность.

Возбужденное состояние атома является неустойчивым и через некоторый промежуток времени ( порядка 10-8 сек. – см. п.11.2 ) он переходит в основное состояние, излучая фотон с энергией εni , которая определяется разностью энергий возбужденного Ei и основного En состояний

Переходы из возбужденного состояния в основное бывают двух типов:

спонтанные (самопроизвольные) и вынужденные или индуцируемые.

Если атомы излучают спонтанно, то результирующее излучение не имеет пространственной когерентности (световой вектор E не упорядочен и направление излучения случайно ). При индуцированном излучении атом излучает под действием внешнего (вынуждающего) фотона. Основное свойство индуцированного излучения является то, что излучаемый фотон имеет то же направление и ту же поляризацию ( направление вектора E ), что и вынуждающий фотон.

202

12.2.Принципы лазерного излучения

Воснову работы лазера положены принцип лазерного излучения, которые бали разработаны нобелевскими лауреатами Н.Г.Басовым, А.М.Прохоровым (СССР) и Ч.Т. Таунсоном (США).

Принципы лазерного излучения включают следующие положения.

1.За счет внешнего воздействия (накачки) часть атомов квантовой системы N* переходит в возбужденное состояние.

2.Излучение возбужденных атомов является вынужденным и развивается лавинообразно следующим образом. Вначале спонтанно излучается каким-либо атомом затравочный фотон, который инициирует излучение другого возбужденного атома. В результате образуются два фотона, имеющие одинаковые поляризацию и направление движения. Далее эти два фотоны инициируют излучение следующих двух фотонов, что и приводит к лавинообразному нарастанию числа излучаемых фотонов, имеющих одинаковые направление движения и поляризации.

3.Для лавинообразного развития излучения время существования

возбужденных атомов t* должно быть больше времени лавинообразного развития излучения ∆t: t* ≥ ∆t.

4. Так как первоначальные (затравочные) фотоны излучаются в разных (случайных) направлениях, то мощное направленное излучение получают с помощью удлиненной цилиндрической формы излучающего тела, на торцах которого имеются зеркальные покрытия, одно из которых полупрозрачное, а другое полностью отражает фотоны (Рис.12.1).

Накачка (излучение от импульсной лампы)

Рис.12.1. Принципы лазерного излучения: З1 –полностью отражающее зеркало (толстый слой металлического покрытия), З2 – полупрозрачное зеркало ( тонкий слой)

В этом случае фотоны, многократно отражаясь от зеркал, значительно повышают вероятность индуцированного излучения вдоль оси цилиндрического тела, что и формирует мощное излучение через полупрозрачное зеркало на торце тела.

Таким образом, для реализации лазерного излучения должны выполняться два основных условия.

203

1.Число возбужденных атомов N* должно быть по возможности значительным ( см. ниже расчетные формулы ).

2.Время возбужденного состояния t* должно быть больше времени лавинообразного развития излучения ∆t: t* ≥ ∆t.

Чтобы оценить число возбужденных атомов N* , предположим, что фотоны и атомы внутри излучающей среды находятся в условиях, близких к термодинамическому равновесию. Обозначим через E = En последнее занятое энергетическое состояние атома, E* = En+1 - первое возбужденное состояние. Тогда число атомов, находящихся в возбужденном состоянии E * запишется как

где N – полное число атомов в квантовой системе, w* - вероятность нахождения атома в возбужденном состоянии с энергией E * . Величина Z называетсмя статистической суммой и определяется условием нормировки (Σwn) = 1, где сумма берется по всем номерам квантовых состояний n, wn = Z exp( - E n / kBT) – вероятность нахождения системы в состоянии с энергией E n . Выражение для вероятности w* удобно переписать в ином виде, разделив и умножив левую часть в (12.2) на exp( - E / kBT) , E = En, что дает

Здесь ε * = E* - E - энергия излучаемых фотонов, Z* = [Σexp(εm/ kBT)]-1, εm= E - Em – энергетический спектр излучения с уровня Em на E ( при Em >

E ) и с уровня E на Em ( при Em < E ).

Предэкспоненциальный множитель Z* в (12.3) можно оценить как

Z* ≤ exp(-ε 1 / kBT). Энергии ε 1 и ε * имеют порядки несколько электронвольт, например, для световых квантов ε * = hν ~ 6.24 10-34 1015 Дж = 4 эв. Поэтому при комнатных температурах ( kBT ~ 1/40 эв ) имеем

Z* ~ exp( - ε * / kBT) ≤ exp(-160), то есть лазерное излучение невозможно ( число возбужденных состояний N* равно нулю ). Для получения конечных значений N* необходимы высокие температуры. Например, при температуре фотонов накачки T=6000о К имеем w* ~ e -16 ~ 10-5 и для N* в расчете на 1 см2 конденсированной среды имеем

N* = N w* ~ 1023 10-5 = 1017 ( см-3)

Второе условие реализации лазерного излучения t* ≥ ∆t. Реализуется специальными методами. Перечислим наиболее широко применяемые.

1. Формирования долгоживущих метастабильных состояний.

Метастабильными состояниями называются совокупность возбужденных состояний, к которые переходит квантовая система при лазерном излучении.

Большое время жизни t* в метастабильном состоянии обуславливается такой перестройкой всей квантовой системы, при которой вероятность

204

перехода из возбужденного состояние в основное значительно меньше, чем при переходе из основного состояния в возбужденное. Например, в рубиновом лазере накачка осуществляется переходом ионов хрома Cr3+ в новое положение в кристаллической решетке, которая при этом

возбужденного состояния и составляет ~ 10-3 сек. 2. Режим модулирования добротности.

Этот режим основан на том, что импульс излучения с помощью специальных устройств формируют в 104-105 раз короче времени накачки системы, имеющей порядок миллисекунд. Например, в рабочей среде помещают быстродействующий оптический затвор, работающий на основе эффекта Керра ( см.п.6.4 ). Затвор не дает возможности фотонам отражаться от зеркал и, следовательно, развиваться индуцированному излучению. За то время, пока затвор закрыт, происходит накачка рабочей среды, а при его открытии происходит мощный импульс излучения.

3.Режим синхронизации мод.

Вэтом режиме происходит многомодовое возбуждение ( то есть переходы на множество метастабильных уровней ). Результирующее излучение имеет разброс по длинам волн, которые имеют одну и ту же поляризацию. Следовательно, они интерферируют. Выбираются такие режимы, при которых на выходе из лазера имеет место усиление интенсивности

излучения. Такие лазеры имеют очень малые t* и ∆t и, соответственно, очень короткие импульсы излучения ( порядка пикосекунд ).

4. Многокаскадность возбуждения.

Этот режим используется в электроразрядных газовых лазерах. Например, в газовой смеси СО2:N2:He ( СО2-лазер ) вначале возбуждаются колебательные уровни молекул N2 за счет столкновения с электронами, имеющих энергию порядка 2 эв, затем возбужденная молекула N2 передает энергию молекулы СО2 при их столкновении, которые излучают фотоны с длиной волны в инфракрасном диапазоне ( λ = 10 мкм ). Время существования возбужденного состояния молекулы СО2 составляет порядка 20 миллисекунд, что значительно больше время импульса излучения, поэтому такие лазеры фактически излучают непрерывно. Отметим, что добавление гелия в газовую смесь обусловлено необходимостью повышения пробойного напряжения рабочей среды.

12.3. Характеристики лазерного излучения

Лазерное излучение является: 1) Монохроматическим.

Монохроматичность не является идеальной и длины волн изменяются на незначительную величину в пределах λ-∆λ ≤ λ ≤ λ +∆λ, где ∆λ/λ ~ 0,1%.

205

2) Узконаправленным.

Направленность лазерного излучения характеризуется углом расходимости ∆ϕ лазерного луча ( см. Рис. 12.2).

∆ϕ

∆ϕ

Рис.12.2

Расходимость лазерного луча всегда имеет место. Минимальный угол расходимости определяется дифракцией излучения на выходе из отверстия диаметра d и составляет величину ∆ϕmin ~ λ/d .

3) Высокоэнергетичным.

Плотность энергии на единицу объема и интенсивность излучения могут изменяться непрерывно от весьма низких значений до чрезвычайно высоких, превышающих даже интенсивность энергетического потока при ядерном взрыве (см. таблицу).

12.4. Типы лазеров.

По характеру излучения лазеры делятся на импульсные и

непрерывные.

206

Импульсные лазеры в виде последовательности вспышек излучения за время ∆t, которое обычно значительно меньше времени накачки t* . Примерами импульсных лазеров являются твердотельные лазеры на рубиновом кристалле с примесью хрома, лазеры на неодиевом стекле и др.

В непрерывных лазерах излучение происходит без вспышек, так как рабочая среда в таких лазерах не имеет упорядоченной структуры. К таким типам относятся газовые лазеры.

По типу рабочей среды лазеры бывают твердотельные и газовые. Рабочей средой твердотельных лазеров являются кристаллы с добавками в несколько процентов какой-либо примеси.

В рубиновом (твердотельном) лазере кристаллом является рубин (Al2O3) c примесью ионов хрома (Сr3+), которые замещают некоторые ионы алюминия в кристаллической решетке. Накачка осуществляется импульсной лампой, а возбужденные состояния представляют собой новые положения ионов хрома в кристаллической решетке. Обратный переход совершается в два этапа. На первом ионы хрома отдают часть энергии кристаллической решетке (возбуждают фононы – см. п.17.2 ), переходя в долгоживущее (∆t ~ 10-3 сек) метастабильное состояние. На втором этапе ионы хрома переходят в основное, излучая фотоны с длиной волны 0,6943 мкм. КПД такого лазера незначителен и составляет доли процента, поэтому энергия накачки почти полностью переходит в тепловую, так что кристалл интенсивно охлаждают с помощью жидкого воздуха. Лазер излучает импульсы света с частотой порядка нескольких импульсов в минуту.

В лазере на неодимовом стекле примесью являются ионы неодима (Nd3+) в алюмо-иттриевом гранате. Принцип действия такого лазера аналогичен рубиновому. Излучение происходит в инфракрасном диапазоне с длиной волны 1,06 мкм. Мощность излучения таких лазеров в многокаскадных установках ( до 216 параллельных каналов излучений) может достигать рекордных значений ( до 1013 Вт ) при длительности импульса ~ 1 нс. Такие лазеры используют в экспериментальных установках по термоядерному синтезу [13]. КПД таких лазеров также невелик и составляет 0,2% от мощности накачки.

Газовые лазеры относят к непрерывным. В качестве примеров назовем гелий-неоновый (He:Ne) лазер, лазер на углекислом газе (СО2 – лазер), который представляет собой смесь трех газов: углекислого газа СО2, азота N2 и гелия He ( обозначение смеси СО2: N2: He). Принцип действия таких лазеров был описан выше ( см. п. многокаскадность возбуждения). КПД газовых лазеров самый высокий и составляет 10-20%.

По методу накачки лазеры называют с импульсной накачкой ( лампойвспышкой), электроразрядные (накачка осуществляется за счет передачи кинетической энергии возбуждаемым молекулам при их столкновении с электронами или ионами проводимости при электрическом разряде в газовой среде), химические ( накачка осуществляется за счет ударного

207

столкновения молекул при высокой температуре в реакции горения),

полупроводниковые, газодинамические, рентгеновские и т.д.

12.5.Применение лазеров

Когерентность и возможность управления интенсивностью лазерного излучения дали уникальную возможность применения лазеров в науке, технике, медицине, средствах связи, электронике, энергетики и т.д. Применение лазеров в той или иной стране по существу определяет ее технологический и промышленный уровень. Перечислим наиболее характерные примеры использования лазеров.

1.Медицина. Лазеры используют в хирургии (лазерные скальпели), микрохирургии глаза, для облучения биологически активных точек и т.д.

2.Техника. Используются для резки и испарения металлов, вырезки микроотверстий, шлифовке, термической обработке и т.д.

3.Связь. Используются в оптоволоконной высокоскоростной связи, передаче межпланетных сигналов ( например, лазерная локация луны) и т.д.

4.Электроника. Используются для записи и чтения информации (на компакт CD или DVD диски), в лазерных принтерах и т.д.

5. Научные исследования. Применяются для лазерного охлаждения газов и удержания молекул в заданном объеме (локализация молекул), в спектральных исследованиях, лазерном термоядерном синтезе и т.д.

6. Военная область. Боевые лазеры используют для защиты от ракетного нападения, в системах лазерного прицеливания и т.д.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

208