∞

<E(ωk,T)> = Σ En(ωk)Wn

n=0

по всем частотам, а так как частоты ωk определяются набором целых чисел n1, n2, n3, то

Здесь множитель 3 учитывает то обстоятельство, что атом совершает колебания в 3-х направлениях, а поэтому средняя энергия утраивается ( напомним, что энергия квантового осциллятора (17.3) соответствует одномерному движению).Числа nj изменяются в пределах 1 ≤ nj ≤ nmax, где nmax совпадает с числом атомов на грани куба nmax = N1. Действительно, минимальная длина стоячей волны равна λmin = 2d, но λmin = 2π / kmax,,

kmax= π nmax/L, поэтому 2d = 2L/nmax, откуда nnax= L/d = N1.

Формулы (17.3), (17.4) в квантовой механике интерпретируются следующим образом. Вводят квантовую частицу упругого возмущения, называемую фононом. При нулевой температуре энергия фонона равна hω/2. Тепловые возмущения приводят к появлению фононов с энергией hω. Тогда формула (17.3) интерпретируется как энергия фонона при нулевой температуре и n фононов, возбужденных тепловыми

Здесь суммирование в тройных суммах производится в пределах

1 ≤ nj ≤ nmax, j = 1, 2, 3. Величина <n(ω,T)> —это среднее число фононов заданной частоты ωk , находящихся в термодинамическом равновесии при температуре Т.

При больших значениях N сумма (17.5) вычисляется совершенно так же, как и сумма (9.9) с той разницей, что числа nj изменяются в конечных пределах. Вычисления дают

где no —объемная плотность числа атомов в кристалле, <E(T)> —средняя энергия колебаний атома, ТD - характеристическая температура Дебая.

Из (17.6) находим следующее выражение для теплоемкости кристалла:

160

При Т >> TD отсюда находим

C = 3 kB N

Это соотношение выражает закон Дюлонга и Пти, который гласит, что в области высоких температур ( Т >> TD ) молярная теплоемкость кристалла не зависит от температуры и одинакова для всех веществ. Необходимо отметить, что этот закон выполняется лишь для кристаллов и жидкостей с простой внутренней структурой, близкой к кубическому кристаллу.В области низких T << TD из (17.7) следует закон Т 3 Дебая: С T 3. Этот результат согласуется с экспериментальными данными по измерению теплоемкости твердых тел при низких температурах.

Из приведенных данных следует, что характеристическая температура Дебая ТD определяет такую область температур, при которых существенными являются квантовые свойства колебаний атомов.

Как показывают эксперименты, фонон, являющийся упругим квантовомеханическим возбуждением, ведет себя как квантовая частица. При этом энергия Е и импульс p фонона связаны с частотой и волновым вектором соотношениями де Бройля:

Отличие фонона от элементарных частиц заключается в том, что микрочастицы существуют в вакууме, а фонон - в среде, состоящей из атомов или молекул. По этой причине фонон называют квазичастицей, а

его импульс - квазиимпульсом.

17.2. Фотон-фононное взаимодействие

Если на кристалл падает световая волна, то она генерирует в кристалле фононные колебания. Схема фотон-фононного взаимодействия изображена на рис. 17.1.

k' фотон k

161

K

Рис.17.1.Схема неупругого рассеяния фотона с волновым вектором

k на фононе: в результате образуется фонон с волновым вектором K и рассеяный фотон с волновым вектором k'

Вычислим частоту возбуждаемых фононов. Из законов сохранения энергии и импульса имеем

где Ω - частота фонона. К этим соотношениям необходимо добавить дисперсионные соотношения

где n – показатель преломления среды, vs – скорость звука в кристалле. Если скорость фотона значительно больше скорости звука: v >> vs , то ω >> Ω. Поэтому ω ω', k k'. Если известен угол ϕ между k, k', то частота генерируемых фононов запишется как

Ω = (2vsω n /c) sin(ϕ /2)

17.3.Энергия отдачи атома при излучении фотона. Эффект Мессбауэра

Если электрон в атоме переходит с возбужденного уровня Еm на нижний уровень Еn (m > n), то согласно формуле (14.26) должен излучаться фотон с частотой

162

Однако действительная частота фотона ω будет меньше частоты ωo, так как часть энергии фотона пойдет на передачу атому импульса за счет реакции отдачи. Вычислим энергию отдачи ∆Еотд и частоту ωo. Пусть po - импульс атома до излучения, p —после излучения. В силу закона сохранения импульса имеем

po = p + hk,

В силу малости отношения Еотд / hω 10-11, можно в выражении (17.9) считать ω ωo и положить

Eотд = h2ωo2 / (2mac2) -(vо/c) hωо cosα

а формулу (17.10) записать как

∆ω = h2ωo2 /(2mac2), δωD = 2(vo/c) ωo .

Это выражение показывает, что 1) частота излучаемого фотона ω меньше частоты ωo, определяемой согласно (17.1), на величину ∆ω за счет эффекта реакции атома; 2) частота ω изменяется в пределах δωD (в силу того, что углы вылета α произвольны, третий член в (17.11) изменяется в пределах от - δωD/2 до δωD/2). Таким образом, формула (17.11) предсказывает, что при движении атомов ( а это движение обычно обусловлено хаотическим тепловым движением ) спектральные линии имеют ширину δωD = 2(vo/c)ωo. Расширение спектральных линий за счет теплового движения атомов называется доплеровским расширением. При обсуждении принципа неопределенностей для энергии (11.5) было получено выражение для естественной ширины спектральной линии

163