вырывать квазисвободные электроны из металла. Это явление называется холодной эмиссией электронов из металла.

Усредненная потенциальная энергия квазисвободного электрона на границе металл-вакуум при наличии внешнего электрического поля графически представлена на рис.13.6. Энергия квазисвободного электрона равна так называемой энергии Ферми и обозначается как εF, которая по сути является его кинетической энергией. Энергия Um − это энергия связи квазисвободного электрона с кристаллической решеткой. Разность

χ = Um- εF называется работой выхода квазисвободного электрона из металла

L

Рис.13.6. Усредненная потенциальная энергия квазисвободного электрона на границе металл-вакуум при наличии внешнего электрического поля

где vF = (2εF /m)1/2− скорость электронов, имеющих энергию Ферми;

133

no - концентрация валентных ( квазисвободных ) электронов в металле. Зависимость (13.12) с учетом реальной структуры поверхности металла ( учет шероховатости ) получила подтверждение в экспериментах.

Отметим, что на реальных шероховатых поверхностях ток холодной эмиссии наблюдается при напряженностях порядка 100 КВ/см, что приблизительно в 10 раз меньше, чем предсказывается теорией. Этот эффект обусловливается локальным усилением электрического поля на микроостриях.

14. АТОМ ВОДОРОДА

134

Задача об атоме водорода в квантовой механике замечательна тем, что она является единственной задачей в точной постановке, имеющей аналитическое решение. Результаты исследования этой задачи полностью переносятся на так называемые водородоподобные атомные системы, состоящие из электрона и ядра (ион гелия, двукратно ионизированный ион лития и др.).

14.1. Энергетические состояния водородоподобного атома

Если квантовая система состоит из нескольких микрочастиц, то гамильтониан системы определяется суммой операторов кинетической энергии каждой микрочастицы и оператора энергии взаимодействия микрочастиц. Водородоподобный атом состоит из ядра и электрона, то есть из двух микрочастиц, поэтому гамильтониан в этом случае будет выражаться как

H = T1 + T2 + U(r),

где T1 - оператор кинетической энергии ядра; T2 - электрона; U(r) —

потенциальная энергия электростатического взаимодействия электрона с ядром; r —расстояние между электроном и ядром.

Если r1 —радиус-вектор ядра, r2 —электрона, то

где e1 = Ze, m1 ( e2 = - e, m2 ) — заряд и масса ядра (электрона), где Z — зарядовое число ядра ( для атома водорода Z = 1 ).

Волновая функция системы ”электрон + ядро” выражается как

ψ = ψ (t, r1, r2),

причем

dP = ψ 2 dV1 dV2

выражает вероятность того, что ядро находится в элементе объема

dV1 = dx1dy1dz1, а электрон - в элементе dV2 = dx2dy2dz2 в момент времени t, причем их положения определяются радиусами-векторами r1,r2 соответственно.

Уравнение Шредингера в данном случае имеет вид

[ -( h2/2m1) 1∆- ( h2/2m2) ∆2 + e1e2 / | r1 - r2 |]ψ(r1,r2) = E ψ(r1,r2) (14.4)

где Е - неизвестный параметр ( число ), значение которого определяет энергию атома водорода ( сумму энергий кинетического движения ядра и электрона, а также энергии их взаимодействия ). Обратим внимание на то, что как кинетическая энергия микрочастиц, так и потенциальная энергия их взаимодействия могут меняться, однако их сумма, равная полной энергии Е, остается постоянной во времени. Здесь имеется полное соответствие с классическим случаем, однако в классическом движении Е может меняться непрерывно, а в квантовом Е принимает дискретные значения - см. ниже .

Введем замену переменных в уравнении (14.4):

где R – радиус-вектор центра масс системы, r - вектор, соединяющий центр ядра и электрон.

Тогда с учетом формул

∆1 = [m1/(m1+m2)] 2 ∆R + ∆r — 2 [m1/(m1+m2)] R r,

∆2 = [m2/(m1+m2)] 2 ∆R + ∆r + 2 [m2/(m1+m2)] R r ,

где ∆R, ∆r —операторы Лапласа по переменным R, r ; R , r - операторы набла по этим же переменным, из (14.4) получаем

где M = m1 + m2 - полная масса атома, параметр

называется приведенной массой системы.

Смысл преобразования (14.4) заключается в том, чтобы разделить движение на движение атома как целое, описываемое радиусом-вектором центра масс R, и на относительное движение, описываемое вектором r. Согласно сказанному, волновую функцию системы следует искать в виде произведения волновой функции Ψ(R), описывающей вероятность

136