Функции Нn(s) называются полиномами Чебышева-Эрмита

(см. Приложение 5 ). Используя (12.13),(12.15), получаем выражение для возможных значений энергии

Выпишем несколько первых собственных функций:

ψ1(s) = (2xo)-1/2 π-1/4 exp[-x2/(2xo2)]2x/xo ( n = 1 )

Нетрудно видеть, что все ψn → 0 при x → 0.

Гармонический осциллятор может служить моделью линейных колебаний двухатомной молекулы и колебаний атома в узле кристаллической решетки. Величина ωo —это частота колебаний, xo характеризует амплитуду колебаний. Наименьшее возможное значение энергии принимает величину Еo= hωo/2, которую называют нулевой энергией. Существование нулевой энергии говорит о неуничтожимости движения. То есть даже при нулевых абсолютных температурах имеют место колебания с нулевой энергией. Существование нулевой энергии подтверждается экспериментами по рассеянию света кристаллами при низких температурах.

В квантовой механике доказывается, что для гармонического осциллятора переходы из состояния с энергией Еn возможны только в состояния с энергиями Еn+1 или Еn-1. В этом случае квант излучаемого или поглощаемого света может изменяться только порциями, равными hωo . Условия, накладываемые на изменения квантовых чисел при переходе системы из одного состояния в другое, называются правилом отбора.

Для гармонического осциллятора правило отбора при переходах Еn → Еn+ ∆m записывается как

13. ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ

БАРЬЕРЫ

126

Если на границе двух областей пространства потенциальная энергия микрочастицы U быстро изменяется и принимает максимальное значение, то говорят, что эти области разделены потенциальным барьером.

Примеры потенциальных барьеров 1. На границе металл-вакуум усредненную энергию взаимодействия

валентного (квазисвободного) электрона можно представить в виде «ступеньки» (рис.13.1).

U(x)

Металл Вакуум

x

Рис.13.1. Усредненная энергия взаимодействия квазисвободного электрона на границе раздела металл-вакуум

2. Энергия взаимодействия α-частицы с нуклонами внутри атомного ядра радиуса ro на границе ядра имеет вид потенциального барьера

( рис.13.2).

γ0

Рис.13.2. Усредненная энергия взаимодействия α частицы с нуклонами в атомном ядре

Исследуем условия, при которых микрочастица может перейти из одной части пространства в другую при наличии потенциального барьера.

13.1. Исследование модельной задачи

127

Рассмотрим вначале прохождение барьера в классическом одномерном случае, считая, что частица движется согласно 2-му закону Hьютона:

Пусть потенциальный барьер имеет вид, изображенный на рис.13.3, а частица движется слева направо вдоль оси x.

Um

E

Рис.13.3. Потенциальный барьер в одномерном случае

Из уравнения (13.1) следует, что в левой области x < x1, где сила f = 0, частица будет двигаться равномерно: v = vo > 0. При движении внутри потенциального барьера в области x1 < x < xm , где f < 0, имеет место dv/dt < 0, то есть движение будет замедленным. Покажем, что если кинетическая энергия частицы Е = mvo2/2 > Um= max U(x), то частица проходит через потенциальный барьер, а при Е < Um она останавливается в точке x1* , определяемой уравнением

а затем движется в обратном направлении ( говорят, что в этом случае частица отражается от потенциального барьера). Исходим из закона сохранения полной механической энергии mv2/2 + U(x) = E = mvo2/2, откуда выражаем скорость

При падении частицы на потенциальный барьер имеет место v > 0, внутри барьера в области x1 < x < x1* скорость v уменьшается и, если E < Um, то частица остановится в точке x1*. Так как f(x) < 0, то после остановки частицы в точке x1* она будет двигаться в обратном направлении со скоростью, определяемой по формуле (13.3), в которой необходимо брать знак «минус». И только в случае Е > Um выражение под знаком радикала в (13.3) не обращается в ноль и v > 0 во всей области барьера. Это означает, что частица проходит потенциальный барьер.

128

Точка x1* при падении частицы слева направо называется левой точкой поворота. При падении частицы справа налево соответствующая точка поворота будет x2* ( рис.13.3).

Поразительным следствием квантовой механики является то, что даже при условии Е < Um частица может преодолевать потенциальный барьер. Докажем это на примере модельной задачи, когда потенциальный барьер имеет прямоугольный вид ( рис.13.4)

0 L

Рис.13.4. Прямоугольный потенциальный барьер

Будем рассматривать стационарные состояния микрочастицы. Тогда волновая функция падающей на барьер микрочастицы запишется как

где Е = p2/2m —энергия; р - импульс падающей микрочастицы. Хотя мы говорим, что (13.4) есть волновая функция частицы, в действительности это выражение является волновой функцией падающего потока микрочастиц. Действительно, согласно (12.3) плотность потока микрочастиц выражается как

Следовательно, величина А 2 = n является объемной плотностью числа частиц падающего потока.

Из физических соображений следует, что падающая волна (13.4) будет отражаться, то есть в области I появится отраженная волна

определению.

В области барьера 0 ≤ x ≤ L для определения волновой функции необходимо решить уравнение Шредингера:

129

i h ∂ψ /∂ t = - ( h2/2m) ∂ 2ψ /∂ x2 + Umψ.

Стационарное решение этого уравнения имеет вид

где С1, С2 —неизвестные постоянные, подлежащие определению. Итак, в области I волновая функция определяется выражением

ψ1 = ψпад + ψотр,

в области II —выражением ( 13.6) и в барьерной области —выражением (13.7). Для нахождения неизвестных постоянных А1, А2, С1, С2 необходимо использовать условия непрерывности волновых функций и их производных на границах барьера, то есть в точках x = 0, x = L :

Эта соотношения определяют линейную алгебраическую систему 4-го порядка относительно указанных выше 4-х неизвестных постоянных.

Упражнение. Решить эту систему и показать, что коэффициент А2 выражается как:

Введем основные определения. Исходя из того, что A 2 - это плотность числа падающих частиц, получаем, что А1 2 -это плотность числа отраженных от барьера частиц, А2 2 —плотность числа частиц, прошедших через барьер. Отношение

R = A1 2/ A 2

называется коэффициентом отражения, а отношение

130