ЗАДАЧИ

Задача 11.1.

Вычислить волновые функции и соответствующие им энергии микрочастицы массы m на отрезке 0 ≤ x ≤ l, если на концах отрезка на частицу действуют бесконечные силы отталкивания ( задача о квантовых состояниях микрочастицы в потенциальной яме ).

Решение. Данная задача моделирует, например, состояние квазисвободного электрона в тонкой пленке металла. Бесконечность сил отталкивания на границах отрезка означает, что потенциальная энергия частицы внутри отрезка равна нулю, а вне отрезка – бесконечности. В этом случае микрочастица не в состоянии преодолеть потенциальный барьер, то есть волновая ее функция на концах отрезка обращается в ноль. Таким образом, задача об определении волновых функций и соответствующих им значений энергий согласно (11.6), (10.25) имеет вид

Вводя обозначение k2 = 2mE / h2 , получаем уравнение ψ // + k2ψ = 0, общее решение которого имеет вид ψ = С1 sin kx + С2 cos kx. Используя граничные условия, получаем С2 = 0, sin k l = 0. Отсюда получаем следующее соотношение, определяющее значения энергий микрочастицы: k l = kn l = π n, n = 1, 2, 3, … Отсюда находим следующие выражения для волновых функций и соответствующим им значениям энергии

ψn = Сn sin kn x, En = pn2 /(2m), pn= h kn , kn = π n / l, n = 1, 2, 3, …

Из этих представлений видно, что En – кинетическая энергия частицы, pn- ее импульс.

Задача 11.2.

В условиях предыдущей задачи найти скорость микрочастицы, находящейся в n – ом квантовом состоянии и константу Сn. Решение. Скорость микрочастицы, согласно pn = m vn, выражается как

Сn = (2/l)1/2, то есть Сn не зависят от номера квантового состояния.

121

12. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИВ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ.

СВЯЗЬ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ. КВАНТОВАНИЕ.ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

12.1. Уравнение неразрывности в квантовой механике

Предположим, что производится N опытов по наблюдению микрочастицы в элементе объема dV. Так как вероятность нахождения одной частицы в объеме dV равна dP = ψ 2dV, то в силу статистической независимости наблюдений число попаданий микрочастицы в N опытах в объем dV будет равно dN = NdP = N ψ 2 dV. Отсюда видно, что величина N ψ 2 = dN/dV есть плотность числа частиц, наблюдаемых в N опытах. По этой причине величину w = ψ 2 в квантовой механике называют

средней плотностью числа частиц.

В силу закона сохранения вещества, плотность числа частиц должна удовлетворять так называемому уравнению неразрывности, которое имеет следующий вид

где j —вектор средней плотности потока числа частиц.

Покажем, что из уравнения Шредингера (10.20) следует уравнение неразрывности (12.1) и получим явный вид вектора j.

Разделив обе части уравнения (10.20) на i h и умножив затем на функцию ψ , получим

ψ ∂ψ/∂ t = (i h/2m) ψ ∆ψ —(i/ h) U ψ ψ

Применяя операцию комплексного сопряжения к этому соотношению,

будем иметь

ψ ∂ψ /∂ t = - (i h/2m) ψ ∆ψ +(i/ h) U ψ ψ

Складывая последние два равенства, получим

Сравнивая (12.1) и (12.2), можно видеть

122

Умножая w, j на массу микрочастицы m, получим массовую плотность ρ и плотность потока массы J вещества

Умножая w, j на заряд микрочастицы e, получим плотность электрического заряда q и плотность электрического тока je в виде

Используя выражение для гамильтониана (11.13), можно показать, что в электромагнитном поле плотность потока числа частиц выражается как

12.2. Связь квантовой механики с классической механикой

Можно показать, что если длина волны микрочастицы λ значительно меньше характерного размера а задачи ( размера отверстия, диаметра пятна на экране дисплея, толщины провода или межатомного расстояния)

то уравнение Шредингера переходит в уравнение Гамильтона-Якоби, которое эквивалентно уравнению Ньютона. Таким образом, (12.7) — это условие перехода от квантово-механического описания движения микрочастицы к классическому.

12.3.Стационарные состояния в квантовой механике

В отсутствие переменных внешних полей гамильтониан квантовой

системы H не зависит от времени явным образом. В этом случае уравнение Шредингера имеет решение вида

ψ(t,r) = ψ(r) f(t).

Подставляя это выражение в уравнение Шредингера (10.20) и обозначая постоянную разделения переменных через Е, получим

123