11. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА КВАНТОВЫХ СИСТЕМ

11.1. Соотношение неопределенностей

Соотношение неопределенностей играет важную роль в понимании поведения квантовых систем и является следствием статистического характера квантово-механических процессов. Суть явления заключается в следующем.

Предположим, что каким-либо образом происходит одновременное измерение координаты x и импульса р вдоль координаты х. В результате ряда измерений получены средние значения х, р с некоторыми погрешностями ∆х, ∆р. Оказывается, что эти погрешности удовлетворяют условию

Это неравенство называется соотношением неопределенностей.

Оно указывает на то, что невозможно одновременно знать точное положение и импульс микрочастицы. Чем точнее измеряется координата микрочастицы, тем менее точно измеряется значение ее импульса и наоборот. Соотношение неопределенностей указывает на невозможность введения траектории, так как по траектории можно точно определить как положение, так и скорость микрочастицы. Отсюда следует вывод, что классическая траектория является некоторым приближенным описанием ее движения. Следует подчеркнуть, что неопределенность значений координат и импульса микрочастиц не является результатом неточности измерений, а является внутренним свойством микрочастицы, то есть флуктуации имеют мести и в отсутствии процесса измерения. Именно этим обстоятельством объясняются такие парадоксальные эффекты, как туннелирование через потенциальные барьеры и уширение спектральных линий ( см. далее ).

Доказательство принципа неопределенностей

Не снижая общности доказательства, можно рассматривать

одномерное движение и считать, что x = 0, p = 0. Введем среднеквадратичные отклонения

p = p p = - h2 ∂ 2/∂ x2

и формула (10.10).

116

Интегрируя по частям интеграл (11.3), будем иметь

∆p2 = - h2∫ ψ (x) d2ψ(x)/dx2 dx = - h2∫ dψ(x)/dx 2 dx

Введем вспомогательный интеграл

I(s) = ∫ s x ψ(x) + ∂ψ(x)/∂ x 2 dx,

где s —вещественный параметр. Раскрывая квадрат модуля под знаком интеграла, получим

Упражнение. Используя формулу интегрирования по частям и условие нормировки (10.5), доказать соотношение (11.4).

Условие положительности квадратного трехчлена (11.4), выражающееся в условии отрицательности его дискриминанта 1 - 4 А С ≤ 0 , приводит к соотношению неопределенностей в виде

∆x2∆p2 ≥ h2/4

Рассмотрим примеры приложения принципа неопределенностей.

1. Предположим, что микрочастицы проходят через щель ширины ∆x в нормальном направлении ( рис.11.1), не взаимодействуя между собой. Согласно (11.1), импульс микрочастицы будет изменяться в пределах

p - ∆p < p < p + ∆p, где ∆р ( h/2)/∆х. В результате точки попадания частиц на экране будут распределяться в пределах угла ϕ = ∆p/p= h/2p∆x .

Экран

ϕ ∆p p

Рис.11.1. Прохождение потока микрочастиц через щель

Замечание. Распределение плотности вероятностей попадания частиц на экран указано на рис.11.1 пунктирной линией.

117

2. Предположим, что микрочастица находится между двумя абсолютно твердыми стенками, расстояние между которыми равно d. Если считать, что частица не имела начального импульса, то за счет квантовых флуктуаций ее импульс будет изменяться в пределах р ≤ h/d. Отсюда видно, что с уменьшением расстояния d величина импульса микрочастицы может стать сколь угодно большой.

Замечание. Современная трактовка принципа неопределенностей приписывает значения неопределенностей не ошибкам измерений, а истинным значениям координат и импульсов.

11.2. Соотношение неопределенностей для энергии

Предположим, что некоторая микрочастица находится в неустойчивом состоянии в течение времени ∆t и имеет среднюю энергию E0, а затем переходит в другое устойчивое состояние. Тогда значение ее энергии E флуктуирует и изменяется в пределах Е0 —∆Е/2 ≤ E ≤ E0 + ∆E/2, причем ∆Е удовлетворяет так называемому соотношению непределенностей для энергии в виде

Это соотношение используется для0 объяснения так называемой естественной ширины спектральных линий следующим образом. Известно, что при переходе электрона с возбужденного энергетического уровня Еm на нижний свободный энергетический уровень Еn излучается фотон с частотой ω = (Еm- Еn)/ h. Пусть время «жизни»электрона на

118

Множество квантово-механических операторов обладает следующими свойствами:

1) Свойством линейности:

2)Свойством самосопряженности:

∫ψ L ψ dV = ∫ ψ L ψ dV

Это равенство является следствием формулы (10.10) и вещественности множества наблюдаемых величин L.

Можно доказать, что если наблюдаемые величины A, B соответствующие

операторам A, B одновременно наблюдаемы ( измеряемы ), то операторы

A, B коммутируют. Например, операторы координаты и импульса вдоль некоторого направления (например, оси х ) не коммутируют. Следствием этого является принцип неопределенностей (11.1).

Может случиться, что уравнение (11.6) имеет счетное число собственных

n

то систему функций ψ1, ψ2, ψ3,...,ψn,... называют полной.

Можно доказать, что система собственных функций оператора Гамильтона является полной. Можно также доказать, что полную систему собственных функций (11.7) всегда можно ортонормировать:

119

Выясним физический смысл коэффициентов сn в разложении (11.8), считая

{ψn} полной системой собственных функций оператора L . Подставляя (11.8) в (10.10) и используя условие ортонормированности собственных функций (11.9), получим

С другой стороны, если wn —вероятность наблюдения величины Ln ,

то среднее значение L определяется как

n

Сравнивая (11.10) с (11.11), приходим к равенству

cn 2 = wn

Таким образом, сn 2 —это вероятность наблюдения величины Ln , если микрочастица находится в комбинированном состоянии, определяемом волновой функцией

ψ = ∑ cnψn

n

11.4.Структура оператора Гамильтона при наличии

внешнего электромагнитного поля

В силу важной роли оператора Гамильтона (оператора полной энергии ) рассмотрим его структуру при наличии не только внешнего силового поля U = U(r) , но и внешнего электромагнитного поля с электрическим

V = V(t,r) и векторным A = A(t,r) потенциалами. В этом случае гамильтониан определяется как

где p - оператор импульса , m - масса микрочастицы, е - ее заряд.

Упражнение. Доказать, что выражение (11.12) можно привести к виду

120