9.4. Законы излучения Вина и Рэлея-Джинса. Формула смещения

Вина

Закон излучения Рэлея-Джинса

Исходя из классических представлений, Рэлей и Джинс предположили, что на каждую моду колебаний приходится энергия kBT. Так как число мод на единицу интервала частот равно D(ω), то плотность энергии на единичный интервал частот по Рэлею и Джинсу выражается как

Если подставить это выражение в формулу (9.10), получим бесконечное значение для энергии излучения. Эта расходимость получила название

ультрафиолетовой катастрофы. Формула (9.23) следует из формулы Планка (9.11) в предположении низких частот hω << kBT. Таким образом, распределение плотности излучения по Рэлею и Джинсу справедливо только в длинноволновой области излучения, поэтому использовать формулу (9.23) для вычисления суммарной энергии излучения нельзя, что

иустраняет парадокс ультрафиолетовой катастрофы.

Закон излучения Вина

Вобласти высоких частот hω >> kBT формула Планка (9.11) переходит

вформулу Вина

Закон смещения Вина

Найдем максимум функции распределения Планка (9.11). Для этого введем переменную x = hω /(kBT ). Тогда максимум ω будет определяться максимумом функции x3 /(exp(x) -1). Вычисления дают xm = 2,82, откуда

Эта формула носит название закона смещения Вина.

Формула (9.26) позволяет по известной длине волны, наиболее интенсивно излучаемой источником, определить его температуру.

102

ЗАДАЧИ Задача 9.1

Найти температуру печи, если известно, что из отверстия площадью S = 6,1 см2 излучается поток ислучения с энергией Ф = 8,28 кал/с. Считать, что печь излучает как абсолютно черное тело.

Решение. Используя формулу Ф = SRe = S σT 4 с учетом 1 кал = 4,18 Дж получаем Т = 10000 К.

Задача 9.2

Какое количество энергии E излучает Солнце за 1 час. Температуру поверхности Солнца принять равной 58000 К, радиус Ro = 6,95 108 м. Считать, что Солнце излучает как абсолютно черное тело.

Решение. По формуле E = SRet = 4π Ro2 σT 4 t находим E = 6,5 1022 кВт/ч.

Задача 9.3

Какое количество энергии излучается с площади S = 1 см2 затвердевающего свинца за 1 с , если коэффициент черноты свинца при

Задача 9.4

Вычислить солнечную постоянную для Земли.

Решение. Солнечная постоянная С – это энергия Солнца, достигающая Земли в расчете на единицу площади и единицу времени, или более кратко

– это интенсивность теплового излучения Солнца на орбите Земли. Используя результат решения задачи 1.4, для интенсивности теплового

излучения вблизи Земли имеем С = Re = Re0 (R0 / L)2 , где Re0 = σT 4 – энергетическая светимость Солнца на его поверхности. Используя

численные значения радиуса Солнца Ro = 6,95 108 м, температуры его поверхности Т =58000 К и расстояния от от Солнца до Земли L = 150 109 м, получаем следующее значение солнечной постоянной С =1,37 кВт/м2.

Задача 9.5

Считая, что атмосфера поглощает 10% лучистой энергии, доходящего до Земли излучения Солнца, вычислить мощность солнечного излучения на площади S =100 м2 . Высота Солнца над горизонтом равна 300 .

Решение. Энергия солнечного излучения, подающая под углом ϕ на плоскую поверхность S в единицу времени выражается как E = Ф sin ϕ, где Ф = 0,9 S C, С =1,37 кВт/м2 – солнечная постоянная ( см. предыдущую задачу ), ϕ - высота Солнца над горизонтом ( см. рис. 9.2 ).Подставляя заданные числовые значения в эту формулу, получаем E= 123,3 кВт.

103

ϕ

Рис. 9.2

Задача 9.6

На какую длину волны приходит максимальная плотность энергетической светимости абсолютно черного тела, имеющего температуру:

1) человеческого тела при 370 С, 2) атомного взрыва при 10 млн. град.

для второго случая λ m = 3 А0 ( рентгеновский диапазон ).

Задача 9.7

Какую мощность Р надо подводить к зачерненному металлическому шарику радиуса R = 1 см , чтобы поддерживаить постоянной его температуру, равную 470 С . Считать, что шарик теряет энергию вследствие излучения.

Решение. Так как вся подводимая мощность расходуется на излучение, то Р = SRe = 4πR2 σT 4 , где T = 2730 + 470 = 3200 – абсолютная температура шарика. Отсюда находим Р = 0,72 Вт.

Задача 9.8

Найти температуру идеального полусферического отражателя радиуса R= 20 м фотонной ракеты массы M = 100 т, движущейся с ускорением 1 g. Какой должен быть радиус отражателя, чтобы его температура была 3000о Решение. Сила светового давления на отражатель выражается как F = P S, где Р = 2 σТ4/c – сила светового давления, S = πR2. По второму закону Ньютона F = Mg, что позволяет найти температуру излучения, а

Т = 3000о , находим искомый радиус R = 341 м.

104

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

10.Основные постулаты квантовой механики

В этом разделе будем пользоваться, если это специально не оговорено, абсолютной (гауссовой) системой единиц, которая традиционно используется в современных руководствах по квантовой механике.

10.1.Краткий очерк развития атомистических представлений

Догадки о том, что материя дискретна, высказывали еще древние греки. Демокрит выдвинул предположение о том, что вещество состоит из мельчайших неделимых частиц, и назвал их атомами ( в переводе с греческого “атом” означает “неделимый” ).

Первые свидетельства об атомной структуре вещества были получены в 19 веке в трудах Дальтона, Гей-Люссака, Авогадро и др. Ими было показано, что для получения определенного количества составного вещества необходимо брать исходные продукты в определенных весовых отношениях. Например, для получения 9 г воды необходимо брать 1 г водорода и 8 г кислорода. Эти опытные данные с атомистической точки зрения объясняются тем, что атомы в ходе химической реакции соединяются в определенных пропорциях. Например, при получении воды одна молекула кислорода соединяется с двумя молекулами водорода.

Вторым важнейшим свидетельством дискретной структуры вещества являются законы электролиза Фарадея. Он доказал, что если через электрод пропустить заряд Q и на нем выделится вещество массы М, то отношение Q/M не зависит от того, какое исходное соединение было взято для электролиза. Например, медь можно получить выделением на катоде как из медного купороса, так и из хлористой меди. Фарадей предположил, что вещество в растворах солей состоит из заряженных атомов — ионов, обладающих массой m и зарядом е. Тогда из закона электролиза Фарадея следует Q / M = e / m = const .

Таким образом, из закона Фарадея можно получить отношение заряда иона к его массе.

Следствия из законов электролиза удивительным образом нашли подтверждение в опытах Томсона по отклонению траекторий движения заряженных микрочастиц электрическим полем. На основании этих данных он получил отношение заряда иона к его массе е/m, и его результаты полностью совпали с данными по электролизу.

Наконец, замечательные результаты молекулярно-кинетической теории газов окончательно убедили исследователей в атомистическом строении вещества. Необходимо отметить, что становление

105

атомистических представлений проходило в яростной борьбе, приводящей в некоторых случаях к трагическим исходам. Так создатель кинетической теории газов Л. Больцман, не выдержав нападок, застрелился.

В1911 году Э. Резерфордом была доказана ядерная структура атома. Опытами по рассеянию альфа-частиц на металле он доказал, в центре атома находится тяжелое, положительно заряженное ядро. Так как атом в целом нейтрален, то вокруг ядра должны быть распределены отрицательные заряды. Из устойчивости атома следует, что эти заряды должны двигаться по замкнутым траекториям ( находиться в состоянии равновесия отрицательные заряды не могут по известной теореме Ирншоу ). Открытие Резерфорда вызвало кризис в физике, связанный с тем, что двигающиеся по замкнутой орбите заряды, согласно законам классической электродинамики, должны излучать электромагнитную энергию за счет уменьшения своей кинетической энергии. Отсюда следует, что заряды должны все время приближаться к ядру атома и, в конце концов, упасть на него.

В1913 г. Н.Бор предложил новую систему постулатов, позволяющую преодолеть этот кризис и объяснить структуры атомных спектров. Согласно его представлениям, вокруг ядра по дискретным орбитам движутся электроны, не излучая электромагнитную энергию, причем, при переходе электрона с одной орбиты на другую, происходит излучение кванта света.

Для объяснения существования электронных орбит де Бройль в 1924 г. предложил связать с каждой частицей плоскую волну, энергия и импульс которой связаны с частотой и волновым вектором теми же соотношениями, что и для фотона

ψ= С exp[ - i( ω t - k r )]

(10.1)

Существование круговых орбит де Бройль объяснял тем, что на орбите должно укладываться целое число волн. Функция ψ получила название

волновой функции.

То, что микрочастице можно приписать некоторую волну, было доказано в 1927 г. в опытах Дэвиссона и Джермера по дифракции электронов на кристаллической решетке. Позже было доказано, что дифрагируют не только электроны, но и другие микрочастицы ( нейтроны, протоны и т.д. ) и даже атомы. Cледовательно, волну де Бройля можно приписать не только электронам, но и любой микрочастице и даже атомам, состоящим из множества микрочастиц.

Вновь в физике создалась критическая ситуация, вызванная неясным смыслом волновой функции. Правильное статистическое толкование

106

смысла волновой функции было найдено М. Борном, а уравнение, которое определяет волновую функцию, было открыто Э. Шредингером в 1927 г.

Согласно формуле (6.17), углы скольжения α , под которыми наблюдаются максимумы интенсивности отражений электронов от атомных плоскостей кристалла, определяются соотношением 2 d sin α = = λm , m = 1, 2,…, где λ - длина волны де Бройля, определяемая как

Здесь Ek = mv2/2 – кинетическая энергия электрона в до релятивистском приближении.

Упражнение. Вывести формулу (10.2), исходя из соотношений (10.1).

Соотношения (10.1), (10.2) сыграли выдающуюся роль в истории создания квантовой механики. Достаточно привести слова одного из создателей квантовой механики Э.Шредингера: “Некоторые исследователи ( Дэвиссон и Джермер, и Томсон – сын ) приступили к выполнению опыта, за который еще несколько лет назад их поместили бы в психиатрическую больницу для наблюдения за их душевным состоянием. Но они добились успеха! ”.

10.2. Постулаты квантовой механики.

Постулат 1.

Всякому состоянию микрочастицы соответствует комплекснозначная функция ( волновая функция ) ψ, определяемая как

где t —время, определяющее момент наблюдения микрочастицы, r — радиус-вектор местоположения микрочастицы. Волновая функция имеет следующий смысл: квадрат ее модуля есть плотность вероятности местоположения микрочастицы, так что вероятность dP ее нахождения в элементарном объеме dV, положение которого определяется концом радиуса вектора r, в момент времени t, выражается как

где интеграл берется по всему координатному пространству. Соотношение (10.5) называется условием нормировки волновой функции.

Отметим, что в этом постулате неявно введено предположение о том, что микрочастица является точечным объектом. Современные исследования доказали наличие сложной структуры у микрочастиц.

107

Отсюда следует, что сформулированный постулат является приближенным и он выполняется, если энергия взаимодействия микрочастицы с окружающими ее полями ( или другими микрочастицами ) значительно меньше энергии взаимодействия ее составных частей.

Постулат 2.

Этот постулат выражает принцип суперпозиции состояний, который формулируется следующим образом. Если микрочастица может находиться в нескольких состояниях с волновыми функциями ψ1, ψ2, ...., то она может находиться в комбинированном состоянии с волновой функцией ψ, являющейся линейной комбинацией исходных волновых

где cj —комплексные числа.

Важным примером суперпозиции состояний является представление произвольного состояния ψ(t,r) в виде суперпозиции волн де Бройля

где интеграл берется по всему импульсному пространству. Это представление есть не что иное, как разложение функции ψ(t,r) в интеграл Фурье. Согласно свойству интеграла Фурье имеет место равенство

Из этого соотношения следует, что если dP(r) = |ψ|2 dV определяет вероятность нахождения микрочастицы в объеме dV, то величину dP(p) = = |c(p)|2 dp3 следует интерпретировать как вероятность того, что микрочастица будет иметь импульс в интервале ( p, p + dp ), где бы она ни находилась в координатном пространстве.

Постулат 3.

Любой наблюдаемой вещественной величине L ( координате, импульсу, кинетической энергии и т.д.) можно сопоставить некоторый

оператор L (дифференциальное выражение, функцию ) так, что среднее

значение L определяется как

Поясним это положение квантовой механики конкретными примерами.

108

1.Оператор импульса

Пусть рx – проекция импульса на ось х. Среднее значение px этой составляющей импульса по определению запишется как

px = ∫ рx dP(p) = ∫px |c(p)|2 dp3

Здесь и в дальнейшем звездочка в верхнем индексе обозначает операцию комплексного сопряжения.

Совершенно аналогично получаем выражения для p y , pz :

Здесь и в дальнейшем ради простоты будем писать ψ вместо ψ(t,r), за исключением тех случаев, где важно подчеркнуть зависимость от переменных.

Сравнивая выражения (10.11), (10.12) с (10.10), можно видеть, что

2. Оператор кинетической энергии.

Кинетическая энергия микрочастицы T определяется как Т = р2 / 2m = ( px2 + py2 + pz2 ) / 2m,

где m – масса частицы. Среднее значение Т вычисляется по формуле

T = ∫ [p2 / (2m)] dP(p) =∫ [ p2 /(2m)] |c(p)|2 dp3

По аналогии с (10.11) этот интеграл можно преобразовать к виду ( см. Приложение 4 )

Отсюда следует, что оператор кинетической энергии имеет вид

109

3.Оператор потенциальной энергии

Из определения среднего значения U потенциальной энергии микрочастицы U(r)

U = ∫ ψ U(r) ψ dV

вытекает, что оператор потенциальной энергии U определяется как операция умножения на потенциальную энергию, поэтому

4.Оператор полной энергии H определяется как сумма оператора кинетической энергии и оператора потенциальной энергии

5. Оператор момента количества движения ( момента импульса )

M определяется как

Упражнения.

1. Доказать, что в сферической системе координат оператор момента

количества движения M z относительно полярной оси z выражается как

где ϑ − полярный, ϕ − азимутальный углы, причем в качестве полярной оси выбрана ось z декартовой системы координат.

110

Средние значения спина вдоль i – го направления ( i = x, y, z ) вычисляются согласно (10.10) вычисляются как

si = Ψr * s i Ψr

где Ψ* = (ψ1* , ψ2* ) - сопряженный вектор, а точка обозначает знак скалярного произведения.

sx s y - s y sx = i h s z

Для определения явного вида спиновых матриц используется экспериментальное соотношение (10.21), свидетельствующее о том, что собственные значения спиновых матриц равны ± h/ 2 . После замены

с учетом того, что квадрат матриц σ i равен единичной матрице, можно получить

которые называются матрицами Паули.

Постулат 4.

Распределение значений волновой функции в пространстве и ее эволюция во времени определяются уравнением Шредингера:

Обратим внимание на то, что правая часть этого уравнения определяется оператором энергии, поэтому гамильтониан в квантовой механике играет определяющую роль. Из уравнения (10.25) видно, что волновая функция определяется только энергией взаимодействия частицы с внешними полями. Отсюда следует, что понятие силы в квантовой механике не играет такой роли, как в классической механике.

112

Перечисленная система постулатов не является исчерпывающей, так как по мере усложнения характера взаимодействия между микрочастицами возникает необходимость введения все новых и новых принципов. Например, постулируется, что взаимодействие заряженной микрочастицы с электромагнитным полем описывается обобщенным оператором импульса и оператором кулоновской энергии:

где ϕ, A – электрический и векторный потенциалы электромагнитного поля.

При наличии внешнего магнитного поля Н вводится оператор энергии взаимодействия с внешним полем

где m - векторный оператор магнитного момента электрона

где s - векторный оператор спина, определяемый согласно (10.22)- (10.24). Для векторной волновой функции Ψ постулируется уравнение, аналогичное уравнению Шредингера, называемое уравнением Паули,

При этом компонента векторного потенциала и потенциала электрического поля должны удовлетворять неоднородным волновым уравнениям

113

Система уравнений (10.26), (10.27) описывает взаимодействие двух квантовых полей ( частиц ) : заряженных спиновых частиц ( например, электронов ) и фотонов. Левые части этих уравнений определяют свойства свободных полей ( то есть в отсутствие взаимодействия ), а правые части определяются свойствами взаимодействия. Данный пример иллюстрирует принцип современного описания микроструктуры материи, который кратко можно описать следующим образом:

1) Экспериментальным путем определяются свойства свободного квантового поля ( по существу – свойства одиночной, изолированной микрочастицы ) : наличие заряда, спина, определение массы покоя ( если существует) и квантовых чисел ( заряда, массы, спина, странности, изотопического спина и т.д. ).

2)По этим свойствам строятся релятивистки инвариантные уравнения свободного поля относительно волновой функции ( или системы волновых функций, если ее состояние описывается векторной волновой функцией ).

3)Определяют структуру членов, характеризующих взаимодействие полей ( по существу – это правые части уравнений свободного квантового поля, как в (10.26), (10.27)).

Врезультате этой процедуры получается замкнутая система нелинейных уравнений, описывающая взаимодействие микрочастиц ( локализованные состояния и рассеяние, взаимные превращения микрочастиц и т.д. ). В настоящее полная система уравнений, описывающая взаимодействие всех микрочастиц, по понятной причине не существует. Работы в этом направлении составляют суть единой теории поля. Естественно возникает вопрос: почему систему микрочастиц мы называем квантовым полем? Дело в том, что по современным представлениям считается, что любая микрочастица есть возмущение ( возбуждение ) некой среды, называемой физическим вакуумом. Свидетельством этого обстоятельства является многочисленные экспериментальные данные, наиболее ярким из которых является так называемая множественная генерация микрочастиц. Суть этого явления заключается в том, что при столкновении конечного числа частиц, например двух частиц, обладающих достаточно высокими энергиями, может появляться множество частиц совершенно разных типов. Изучение свойств физического вакуума является наиболее сложной и самой интригующей проблемой современной физики.

114

ЗАДАЧИ

Задача 10.1.

Найти длину волны де Бройля для электронов, прошедших разность потенциалов 1) ϕ = 1 В , 2) ϕ = 100 В.

Решение. Из закона сохранения энергии eϕ = mev2 /2 находим скорость

электрона v = (2eϕ /me)1/2 . Используя это выражение, находим длину де Бройля λ = h/p = h/(2eϕ me)1/2. Полагая h = 6,62 10-34 Дж с, е = 1,6 10-19 Кл, me = 9,1 10-31 кг для ϕ = 1 В получаем λ = 12,27 Ао, для ϕ = 100 В , λ = 1,227 Ао .

Задача 10.2.

Найти длину волны де Бройля для атома водорода, движущегося при температуре Т = 20о С с наиболее вероятной скоростью.

Решение. Наиболее вероятная скорость молекулы определяется как

v = (2kВ T/m)1/2 , где m = 1,67 10-27 кг – масса атома водорода ( протона ), kВ = 1,38 10-23 Дж/K – постоянная Больцмана, Т = 273 + 20 = 293о –

абсолютная температура. Для длины де Бройля λ = h / p = h / (2kВ mT)1/2 получим λ = 1,8 Ао .

Задача 10.3.

Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов 580 В, при отражении от поверхности кристалла никеля испытывает дифракционный максимум под углом α = 65о относительно атомной плоскости. Найти постоянную кристаллической решетки.

Решение. Длина волны в этом случае равна λ = 0,51 Ао ( см. задачу 10.1 ). Используя формулу Брегга-Вульфа 2d sin α = λ, находим d = 0,91 Ао .

115