random books / Чирцов А.С - Конспект лекций по вводному курсу квантовой механики, электродинамики и оптики ч.1(2016)

итерационной процедуры обеспечивало совпадение с nl(i) численных значений в начальных точках i = 0, 1, 2.

Варьирование определяемых в ходе решения задачи энергий связи каждого из

реализованного алгоритма, целевым критерием для отбора Wnl было выбрано условие максимального удаления от начала координат (ядра) точки начала расходимости решения уравнения (6), конструируемого для каждого из электронов на текущей итерации построения самосогласованного решения. Набор таких максимумов является приближением к множеству собственным значениям энергии Wnl, а волновые функции, рассчитанные при этих значениях с помощью итерационной процедуры (7), – к собственным волновым функциям данной системы уравнений. Представляется уместным остановиться подробнее на процедуре поиска оптимальных наборов для массивов K* (или W) и R.

Так организованный процесс счета позволяет находить волновые функции как для атомов в основных состояниях так и для возбужденных состояний и ионов. Проведенное тестирование соответствующей программы показало, что для достижения устойчивого решения для атомов с 1 < Z < 10 требуется 2-8 итераций, что соответствует времени счёта 0.5 - 5 минут на персональном компьютере. Возрастание порядкового номера атома приводит к монотонному увеличению и числа итерации и времени вычислений. Это обусловило создание библиотеки волновых функций, автоматически пополняемой в ходе моделирования электронных состояний атомов.

Использование генетических алгоритмов для нахождения собственных значений энергии

использованием разностных методов, например, по (7). В этом случае каждая радиальная составляющая будет находиться в виде массива значений {Rp(ri)}. Варьирование значения Wp = Wp(j) можно определить пару «собственное значение - собственная функция» ( Wp(j) ; {Rp(ri)}(j) ) в том случае, если они удовлетворяют определенным критериям оптимизации. В рассматриваемой задаче таким критерием служило значение, при котором достигался локальный максимум для координаты точки начала расходимости решения (rmax)p функции {Rp(ri)}(j), зависящей от выбора Wp(j). В общем случае нахождение таких значений требует заметных затрат вычислительного времени и ресурсов компьютера, особенно в случае атомов с большим числом электронов.

Для сокращения времени вычислений было принято решение использовать генетический алгоритм при нахождении собственных значений энергии [35]. К настоящем времени уже накоплен определенный положительный опыт использования генетических алгоритмов при решении уравнения Шредингера. Однако, до сих пор преимущественно рассматривались легкие атомы с небольшим числом электронов. Описанная же схема ориентирована на поиск оптимального решения для атомов с практически произвольным числом электронов.

В общем случае решением для выбранной конфигурации атома будет являться вектор значений энергий электронов в каждой из оболочек p. Специфика данной задачи не позволяют сформулировать её как задачу нахождения единичного оптимального значения: любой вектор значений энергий W, содержащий собственные значения энергии будет отвечать критериям локальной оптимальности. При исследовании разности таких векторов W1- W2 окажется, что они близки в компонентах, отвечающих внутренним

60

уровням энергии и существенно различаются в компонентах, отвечающих внешним слоям. Для выбора отвечающего рассматриваемой электронной конфигурации искомого вектора энергий электронов на оболочках необходимо иметь весь набор этих векторов. В результате при решении поставленной задачи использовалось сочетание разностной схемы для нахождения {Rp(ri)}(j) и генетического алгоритма для нахождения набора энергий.

Для идентификации собственных значений строилась функция rmax(knl), такая что при r < rmax решение Rnl является ограниченным, а при r > rmax неограниченно и монотонно возрастающим по модулю. Типичный график зависимости rmax(k) , где

представляет собой набор сравнительно узких максимумов

Рис 2. Пример зависимости rmax(knl)

Критерием того, что данное Wnl собственное - является факт того, что rmin(knl) претерпевает локальный максимум.Таким образом, целевой функцией, определяющей

экстремум, будет минимум второй производной (максимум еe абсолютного значения). Для наших целей её можно заменить на:

(8)

Минимумы этой функции будут выделять области, где располагаются искомые экстремумы. В общем случае области экстремумов функции вида (8) могут не совпадать с

областями экстремумов . Однако в случае функции изображённой на рис. 2. после идентификации экстремума i, данная область не может содержать точек, относящихся к другим экстремумам.

Представление набора в виде бинарного кода Грея даст хромосому, участвующую в генетическом отборе. При поиске участка, содержащего экстремум создавалась популяция численности N=100. Отбор проводился попарным сравнением целевых функций у двух случайно отобранных особей. Так как интервалу, содержащему экстремум соответствовали Ci<0 более подходящими оказались хромосомы с наименьшим значением. В среднем, после 50-100 скрещиваний, хромосома, с наименьшей целевой функцией соответствовала интервалу, содержащему собственное значение параметра k. Для нахождения собственных значений выделялась область в которой Cj < -2 ·106 .

Дальнейшее осуществление отбора в соответствии с наилучшей функцией Ci приводит к гарантированному схождению последовательности к собственному значению

61

k, однако, более быстрым в этой ситуации оказывается алгоритм деления отрезка на 10. В том случае, если после 50 скрещиваний не находился участок соответствующий установленному критерию зона отмечалась как не содержащая собственного значения.

После того, как было найдено n+l собственных значений –на значение knli принималось в качестве искомого собственного значения. Такая процедура позволяет найти собственные значения энергии с точностью 15%, что определяется выбранной моделью, исключающей поляризацию атомного остатка. Частичная подстановка в пространство поиска экспериментально измеренных значений Wnlij позволяет существенно повысить точность модели.

Результаты и их обсуждение

Тестирование описанной процедуры осуществлялось в ходе расчетов энергий основных и возбужденных состояний многоэлектронных атомов. Во всех тестах получено хорошее согласие результатов расчетов с опубликованными данными измерений или более строгой численной модели.

Описанный алгоритм был реализован на языке Basic. Тестовые вычисления проводились на компьютере с процессором Intel(R) Core(TM) I5-2537M CPU 1.40GHz, память 4 Gb. Время вычисления варьировалось от нескольких секунд для атомов H и He, до двух часов для U. Количество циклов последовательных приближений, после которых каждая из волновых функций менялась менее чем на 0.001 также варьировалось от двух циклов для H до 50 для Cu. При увеличении заряда ионов и сокращения числа электронов, для которых оптимизировались волновые функции – время расчёта сокращалось. Практика вычислений показала независимость получаемых волновых функций от начальных значений. Форма волновой функции полностью определяется уравнением для потенциала U(r) и значениями n и l, которые перестраивают начальную волновую функцию под ту, которая должна соответствовать уравнению Шредингера с выбранными параметрами U(r), n,l,E.

Примеры графиков зависимости радиальной составляющей от r и их сравнение с радиальной функцией при тех же n,l для атома водорода представлены на рисунках 3 и 4.

Рис 3. Радиальная часть волновой функции электронов 2pоболочки F I

62

В качестве проверки реализованного итерационного подхода был выполнен тестовый расчет энергий ионизации основных состояний многоэлектронных атомов, имеющих группы эквивалентных электронов. При расчете не использовалось никаких априорных или экспериментальных данных об электронных оболочках атомов. Результаты расчетов энергии ионизации атомов из основных состояний вместе с соответствующими экспериментальными значениями приведены в Таблице -1.

Для проверки точности расчета формы радиальной составляющей волновой функции проводилось сравнение результаты для атома водорода с результатами, полученными из хорошо известному рекуррентному соотношению (5). Расхождение по

использованием разработанных методов при сравнении с экспериментальными значениями привел к стандартным для такого вида расчетов завышениям, не превышающим 20%. При переходе к использованию полуэмпирических волновых функций, отвечающих экспериментальным значениям энергий оптического электрона, расхождение результатов уменьшалась в полторадва раза.

Также были выполнены тестовые расчеты энергий возбужденных состояний атома гелия. Найденные значения W всегда оказывались лежащими между энергиями соответствующих синглетных и триплетных возбужденных состояний атома, что

качественно правильную динамику изменения волновых функций по мере увеличения энергии оптического (возбужденного) электрона. Как и ожидалось, волновая функция оптического электрона по мере роста энергии состояния приближается к ридберговски-подобной . Одновременно с этим процессом волновые функции атомного остатка постепенно «прижимаются» к ядру, что обусловлено уменьшением эффектов его экранирования электронами атомного остатка.

63

64

1s12s02p03s0

3p13d1

Рис. 4 Радиальные части волновых функций оптического электрона в атоме НеI в основном и первых возбужденных состояниях (синие графики) и аналитически рассчитанные волновые функции для электрона в соответствующем состоянии атома водорода

Заключение

Предложенный вариант построения радиальных частей одноэлектронных волновых функций многоэлектронных атомов основан на сходной по идеологии с методом ХартриФока итерационной процедуре. Метод симметрично включает процедуры поэтапного уточнения результатов для всех электронов атома (как оптических, так и составляющих атомный остаток). Разрабатываемый вариант дополнительно допускает также симметричный учет в ходе итераций эмпирических данных об энергиях связи любого из входящих в систему электронов или их группы. При разработке метода соотношение между его ресурсоемкостью и точностью выбирается, исходя из практических потребностей подготовки входных данных для численного моделирования газовых разрядов, качество результатов которого определяется компромиссом между точностью решения задач о вероятностях включаемых в плазмохимическую модель процессов и количеством этих процессов, учитываемых при моделировании кинетики плазмы с помощью гидродинамических уравнений.

На его базе разработанных алгоритмов создан рабочий макет программного кода, расчеты по которому не требуют значительных вычислительных ресурсов, а при необходимости выполнения систематического моделирования большого числа элементарных процессов, учитываемых в плазмохимических моделях, допускают простое

оболочках. Результаты, полученные без использования какой-либо дополнительной эмпирической информации о энергиях групп электронов облака, согласуются с экспериментальными в пределах точности, приемлемой для входных данных для численного моделирования кинетики неравновесных плазм. Построенные таким образом волновые функции используются в качестве входных данных для разрабатываемых программных модулей расчетов сечений и констант скоростей элементарных процессов с участием электронов и атомов в рамках «обобщенного метода Борна» [24]. Последний, наряду со стандартными расчетами оптически разрешенных столкновительных переходов в первом порядке теории возмущений, включает учет существенно более ресурсоемких процедур: нормировку сечений, учет обменных процессов и вычисления вкладов от переходов через промежуточные («виртуальные») состояния, учитываемых во втором и более высоких приближениях. Точность

65

решения большого числа задач по построению волновых функций и делает практически безальтернативной идею использования упрощаемых без существенной потери точности вариантов их нахождения. Наконец, развиваемый полуэмпирический подход допускает свое развитие в область построения волновых функций оптических электронов простых молекул, информация о скоростях электронного возбуждения и ионизации которых крайне необходима для моделирования плазм газовых разрядов в воздушных и иных важных для приложений газовых смесях.

Литература

1Langmuir I. Oscillations in ionized gases / I. Langmuir // Proceedings of the National Academy

4Кудрявцев А.А., Смирнов А.С., Цендин Л.Д. Физика тлеющего разряда [Текст]: учебное руководство: для вузов / А.А. Кудрявцев , А.С. Смирнов ., Л.Д. Цендин . – М.: Лань, Физматлит, 2010. – 500 с.

5Bogdanov, E.A. Modeling a short dc discharge with thermionic cathode and auxiliary anode [Текст] / E.A. Bogdanov, V.I. Demidov, I.D. Kaganovich, M.E. Koepke, A.A. Kudryavtsev // Physics of Plasmas. – 2013. – Vol. 20. – № 10. – p. 101605.

6Koepke, M. E. Signature of gyro-phase drift [Текст] / M. E. Koepke, J. J. Walker, V. I.

Zimmerman, W. M. Farell, V. I. Demidov // Journal of Plasma Physics – 2013. – Vol. 79. – № 6. – p. 1099–1105.

7Astafiev, A. M. Study of the discharge with an electrolytic electrode (Gatchina’s discharge) [Текст] / A. M. Astafiev, S. A. Gutsev, A. A. Kudryavtsev // Vestnik St. Petersburg University. Ser. 4. Phys. Chem. – 2013. – No 4. – p. 139–142.

8Bogdanov, E. A. Main scenarios of spatial distribution of charged and neutral components in SF6 plasma. [Текст] / E. A. Bogdanov, A. A. Kudryavtsev and Z. S. Ochikova // IEEE Trans.

Plasma Sci.. – 2013. – Vol. 41. – No 12. – p. 3254–3267.

9Чернышева М.В., Чирцов А.С., Швагер Д.А., Сравнительный анализ плазмохимических моделей для компьютерного моделирования тлеющих разрядов в воздушных смесях. // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики - 2016. -

Т. 16. - № б. - С. 903-916

10Kaganovich, I. D. Nonlocal collisionless and collisional electron transport in low-temperature plasma (invited paper) [Текст] / I. D. Kaganovich, V. I. Demidov, S. F. Adams and Y. Raitses // Plasma Phys. Control. Fusion. – 2009. – No 51. – p. 124003.

11Tsendin, L. D. Electron kinetics in non-uniform glow discharge plasmas. [Текст] / L. D. Tsendin // Plasma Sources Sci. Technol.. – 1995. – No 4. p. 200.

12De Joseph Jr., C. A. Non-local effects in a bounded low-temperature plasmas with fast electrons (Invited paper) [Текст] / C. A. Jr. De Joseph, V. I. Demidov, A. A. Kudryavtsev // Phys. Plasmas. – 2007. – No 14. – p. 057101.

13Walker, J.J. Analytical model for gyro-phase drift arising from abrupt inhomogeneity [Текст] / J.J. Walker, M.E. Koepke, W.M. Farrell, M.I. Zimmerman, M.I. Zimmerman, V.I. Demidov // Journal of Plasma Physics. – 2014. – Vol. 80. – № 3. – p. 395–404.

14Morgan (Kinema Research & Software) database // Plasma Data Exchange Project [сайт] (2016) [Электронный ресурс]. URL: www.lxcat.net/Morgan, retrieved on April 22, 2016.

15Tuhvatulin A. I., Sysolyatina E. V., Scheblyakov D. V. Non-thermal plasma causes P53depended apoptosis in human colon carcinoma cells.// Acta Naturae (англоязычная версия) № 3 (14) / том 4 / 2012

66

16Стройкова И.К., Максимов А.И. Обеззараживание растворов тлеющим и диафрагменным разрядами атмосферного давления. // Электронная обработка материалов. 2002, 38(6), 43–

49.

17 В.Фромм. Плазменная обработка контактных линз. // Вестник оптометрии – 2010. - № 3. - С. 54 -58.

18Калинин Н.Г., Бошкова И.Л., Панченко Г.И., Коломийчук С.Г. Влияние низкочастотного и высокочастотного электромагнитного поля на семена..// Биофизика. 2005, 50(2), 361– 365.

19Кудрявцев А.А., Мустафаев А.С., Цыганов А.Б., Чирцов А.С., Яковлева В.И. Спектры энергии электронов в гелии, наблюдаемые в микроплазменном детекторе CES // ЖТФ. 2012. Т. 82. № 10. С. 1–6.

20Eliseev S., Kudryavtsev A.A., Liu H., Ning Z., Daren Z., Chirtsov A.S. Transition from Glow Microdischarge to Arc Discharge with Thermionic Cathode in Argon at Atmospheric Pressure // IEEE Transactions on Plasma Science - 2016, V. 44, Is. 11, pp. 2536-2544

21Adams S.F., Demidov V.I., Bogdanov E.A., Koepke M.E., Kudryavtsev A.A., Kurlyandskaya I.P. Erratum: Control of plasma properties in a short direct-current glow discharge with active boundaries (Physics of Plasmas (2016) 23 (024501) DOI: 10.1063/1.4941259) // Physics of Plasmas - 2016, Vol. 23, No. 10, pp. 109901

22Собельман И.И. Введение в теорию атомных спектров. // И.И.Собельман – «Медиа», 2012, – 318 с.

23Борн М. Атомная физика. / М. Борн М.:Мир,1967. 493 С.

24Л.А.Вайнштейн, И.И.Собельман, Е.А.Юков. Возбуждение атомов и уширение спектральных линий. – М., Наука, 1979., 257 С.

25Очкур В.И. О методе Борна-Оппенгеймера в теории атомных столкновений // ЖЭТФ, 1963, Т. 45, С. 753-756.

26Вайнштейн Л.А., Пресняков Л.П. Расчет оптически запрещенных столкновительных переходов во втором борновском приближении. //Труды Физ. Ин-та АН СССР. 1970. Т. 51., С. 90-123.

27Майер И. Избранные главы квантовой химии: доказательства теорем и вывод формул. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — 384 с. — Глава 6. Метод Хартри — Фока. — стр. 197—267.

28Хартри Д. Расчёты атомных структур. — М.: ИИЛ, 1960. — 256 с.

29Фок В. А. Начала квантовой механики. — М.: Наука, 1976. — 376 с. — Часть IV, § 3. — стр. 273—279.

30Мессиа А. Квантовая механика / Пер с франц. — М.: Наука, 1979. — Т. 2. — Глава XVIII. — стр. 254—290.

31Вайнштейн Л.А. Вычисление волновых функций и сил осцилляторов сложных атомов. – В сб.: Тр. ФИАН. – М.: Наука, 1961, т. 15, с. 3.

32Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III).

33R. G. Parr and W. Yang. Density-Functional Theory of Atoms and Molecules./ R. G. Parr and W. Yang. — New York: Oxford University Press, — 1989.

34Гордеев С.В., Чирцов А.С. Столкновительные переходы между различающимися по спину высоковозбужденными уровнями атомов второй группы. // Вестник С.- Петербургского ун-та, сер. физ., 1991, вып.1, С. 146 - 149.

35Sychov S.V., Chirtsov A.S. Genetic Algorithm as a Means of Solving a Radial Schrodinger Equations System // Proceedings of the 19th International Conference on Soft Computing and Measurements, SCM 2016 - 2016, pp. 265-267

67

Миссия университета – генерация передовых знаний, внедрение инновационных разработок и подготовка элитных кадров, способных действовать в условиях быстро меняющегося мира и обеспечивать опережающее развитие науки, технологий и других областей для содействия решению актуальных задач.

КАФЕДРА ФИЗИКИ

Кафедра Физики как общеобразовательная кафедра университета обеспечивает преподавание курса общей физики по двум (стандартной и расширенной) учебным программам в количестве 324 и 500 аудиторных часов для всех дневных факультетов, а также заочного и вечернего отделений. Лекции, практические и лабораторные занятия проводятся в течение 1-4 семестров на 1 и 2 курсах и заканчиваются сдачей зачетов

иэкзаменов в конце каждого семестра. Также на кафедре физики разработаны и реализуются специализированные дисциплины для студентов старших курсов – физика низких температур, биофизика, специальные и дополнительные главы физики.

Кафедра оснащена учебно-лабораторным оборудованием по всем разделам физики и имеет, помимо традиционных, специализированные компьютеризированные учебные лаборатории по электромагнетизму, колебательным процессам, волновой и квантовой оптике, физике низких температур.

В2011 г. в соответствии с приказом Министра образования и науки Российской Федерации от 18.08.2011 г. № 2209 произошло объединение Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики (Университет ИТМО) и Санкт-Петербургского государственного университета низкотемпературных

ипищевых технологий (СПбГУНиПТ). После реорганизации в структуре Университета ИТМО с 01.01.2012 г. по 31.08.2015 г. функционировали две кафедры физики: 1) физики-1, заведующий д.т.н., профессор Стафеев Сергей Константинович; 2) физики-2, заведующий д.т.н., профессор Баранов Игорь Владимирович. С 01.09.2015 г. с целью оптимизации образовательного процесса вышеуказанные кафедры объединены в единую кафедру Физики.

Учитывая богатую и плодотворную историю педагогической и научной работы кафедр физики Университета ИТМО и СПбГУНиПТ, ниже представлена краткая историческая справка об их развитии образовательной

инаучной деятельности.

Кафедра физики Университета ИТМО (1930-2011 гг.).

Преподавание физики как учебной дисциплины велось в Ремесленном училище цесаревича Николая всегда с момента его создания. Механикооптическое и часовое отделение, а затем — Техникум точной механики и оптики имели в своем составе Физический кабинет. Преподаванию дисциплины Физика для учащихся всегда уделялось большое внимание. В

68

1930 году при организации вуза — Ленинградского института точной механики и оптики — была организована кафедра Физики как одна из общеобразовательных кафедр.

Организатором и первым заведующим кафедрой Физики явился профессор А.П. Ющенко. Затем в довоенные годы кафедру возглавляли: профессора В.Ф. Трояновский, Л.С. Полак. С 1935 года кафедру возглавил известный специалист в области рентгенометрии профессор И.В. Поройков.

В эвакуации в г. Черепаново Новосибирской области кафедру Физики возглавил известный ученый, сотрудник Всесоюзного научноисследовательского института метрологии (ВНИИМ), занимавшийся дозиметрией и метрологией рентгеновских лучей, профессор К.К. Аглинцев.

С 1945 года кафедру Физики возглавил крупный специалист в области рентгенографии и физики твердого тела профессор Д.Б. Гогоберидзе. В 1946 году профессор Д.Б. Гогоберидзе стал первым деканом нового Инженернофизического факультета.

Во второй половине 1940-ых годов на кафедре работал выдающийся советский физик-теоретик, член-корреспондент Академии наук СССР

Я.И. Френкель. Впоследствии кафедру Физики возглавляли: основоположник теплофизической школы ЛИТМО профессор Г.М. Кондратьев, профессор Н.А. Толстой, доцент С.В. Андреев, доцент А.Ф. Бегункова, профессор А.Я. Вятскин и профессор Н.А. Ярышев.

Втечение 16 лет с 1957 по 1973 г. под руководством доктора физикоматематических наук, профессора А.Я. Вятскина на кафедре было сформулировано научное направление по исследованию физики взаимодействия электронных пучков с веществом.

С 1973 года на кафедре под руководством профессора Н.А. Ярышева получили развитие научные исследования в области теплофизики, в частности, изучение нестационарной теплопроводности и теплометрии.

В1987 году сотрудником кафедры стал С.А. Козлов (ныне декан факультета фотоники и оптоинформатики), Лауреат премии Ленинского комсомола по науке и технике, в 1998 году им была открыта лаборатория волновых процессов.

С конца XX века на кафедре проводится комплексная работа по совершенствованию всего учебного процесса, включая создание фронтальных компьютеризированных учебных лабораторий, банков контроля и проверки усвоения знаний, подготовку программнометодического обеспечения по дистанционному обучению студентов через компьютерные сети RUNNET и INTERNET. В этих учебно- и научнометодических направлениях деятельности кафедры принимали активное участие ведущие сотрудники кафедры доценты С.К. Стафеев (ныне профессор, декан естественнонаучного факультета), Ю.Л. Колесников (ныне профессор, проректор по учебно-организационной и административной деятельности), А.В. Смирнов, А.А. Королев, Г.Л. Башнина, ст.преподаватель С.А. .Курашова.

69