Добавил:

alleken Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова

Предмет:

Оптика

Файл:

random books / Чирцов А.С - Конспект лекций по вводному курсу квантовой механики, электродинамики и оптики ч.1(2016)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2020

Размер:

1.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Ψ r,t ~ exp i

(p,r) Wt

W m c

UГр

m0c

m v

(3.16) Волновая функция для свободной части массой m.

(3.17) Волновые и корпускулярные характеристики частицы

(3.18) Групповая скорость волнового пакета и «механическая» скорость классической частицы

КОНТРОЛЬНО - ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ТЕМЕ ЛЕКЦИИ – 2

Билеты для экзамена

3.1Планетарная модель атома Резерфорда-Бора

Планетарная модель атома

Правила квантования орбитального момента импульса

Боровские орбиты и соответствующие им энергетические уровни

Спектр излучения атома водорода

Атомная система едини

3.2Корпускулярноволновой дуализм

Опыт Юнга со световыми пучками

Волновая и корпускулярная интерпретации результатов опыта Юнга

«Физический смысл» векторов Е и S.

Соотношение неопределенности Гейзенберга.

Волновая функция для свободной частицы.

Лекция -4

Основы

Квантовой

механики

Новую, более общую теорию невозможно ввести из старой, надежно проверенной на эксперименте, ни математически, ни логически, ни вообще никаким образом. Новую правильную теорию нужно УГАДАТЬ…

Соотношения, которые нужно понимать и весьма желательно помнить

	L		d L

	qj		dt qj
	qj		dt qj

H pj qj L

H pqj

Hp qjj



,	pj qj
j	pj qj	qj pj

d H, dt t

qˆj qj

pˆ j i qj pˆ i

Hˆ pˆ2 U(r) 2m

i a Hˆ a

i t a r,t 2pˆm2 U r

Уравнение Лагранжа

Связь между функциями Лагранжа и Гамильтона

Канонические уравнения Гамильтона

Скобки Пуассона в классической физике

Использование функции Гамильтона и скобок Пуассона для записи скорости изменения физической величины

Основные оператор квантовой механики

Уравнение Гамильтона для квантовомеханических амплитуд и/или состояний

Уравнение Шредингера

4.1		Функция Лагранжа в классической механике
S12	1	L q,q,t dt min			(4.1)	Действие и функция
	2					Лагранжа (Лагранжиан)
	dq					Лагранжа (Лагранжиан)
q	dt
0 S S~12			S12		(4.2)	Вариация действия
2				2		(см. Приложение – 1)
2				2
L q		q, q q,t dt L q, q,t dt

2				dt
L q, q		,t
1
L	d		L

	dt
qj			qj

j 1,2,3,...

	2			d
...		q	L			L , q dt
...		q	L	dt		L , q dt
				dt	q
	1

(4.3) Уравнение Лагранжа

Пример 4.1 Функция Лагранжа для частиц в потенциальном поле

Рассчитать Лагранжиан частицы, движущейся в потенциальном поле

Решение:

(4.4)

Пробный вид функции

U(r),

Лагранжа

(4.5)

Получение классического

U(r)

уравнения движения для

выбранного вида

лагранжиана.

d(mv )

F ,

x,y,z

L mv

(4.6)

Функция Лагранжа для

гармонического

осциллятора

4.2 Функция Гамильтона в классической механике

pj qLj

	d		d L	/(4/7)/	L

		pj dt qj			qj
pj dt

H j qLj qj L j pj qj L

(4.7) Определение обобщенного импульса

(4.8) Скорость изменения обобщенного импульса

(4.9) Функция Гамильтона

(4.10)

Разложение в ряд

гамильтониана как

функции обобщенных

координат и импульсов

(4.11)

Разложение гамильтониана

dH qj pj

pj qj L

в ряд с использованием

разложения в ряд функции

qj pj

pj qj

Лагранжа и уравнений

(4.7),

(4.8)

)

qj pj

( pj qj )

pj qj ( pj qj

qj pj

pj qj

H L

(4.12)

Канонические уравнения

Гамильтона

Пример 4.2 Функция Гамильтона для частиц в потенциальном поле

Найти функцию Гамильтона для частицы в потенциальном поле и получить соответствующие канонические уравнения

Решение:

L mv		2	U(r),						(4.13)	Обобщенный импульс
L mv			U(r),							частиц
	2
p	L		mv
p			mv
	v
				(mv )v	mv2		mv2		(4.14)	Гамильтониан для частиц
H pj qj L				(mv )v	2	U(r)	2	U(r)		в потенциальном поле
	j				2		2			совпадает с ее полной
										совпадает с ее полной

энергией

H		H
q	j	r


H		1
pj		2m

H U Fr r

(mv)2 mv v(mv ) m

dp p dt

dr r dt

(4.15) Частный вид канонических уравнений Гамильтона в случае движения частиц в потенциальном поле

4.3 Скобки Пуассона

					(4.16) Определение скобок
					Пуассона
,	pj	qj	qj		Пуассона
j	pj	qj	qj	pj	23
					23

, ,, 0

Const, 0

1 2, 1, 2,

, , ,

(!важно!)

, , , , , , 0

dqj

dpj

r ,r 0;

p , p 0;

r , p 0;

r , p 1

(4.17) Свойства скобок Пуассона. Весьма трудоемкое доказательство последнего из свойств (тождества Пуассона-Якоби) можно найти, например, по адресу:

http://stu.scask.ru/book_iam.php?id=44

(4.18) Скобку Пуассона от функции Гамильтона и произвольной функции от координат, импульсов и времени

(4.19) Использование скобок Пуассона для расчета скорости изменения функции Ψ.

(4.20) Важные для дальнейшего свойства скобок Пуассона

4.4 Операторы

p,q,s,g,h,...

( g,h ) g h h gf (g h) (f g) h

: ( g ) g g

( C) g g

g g

g h g h

g g

1:( g ) 1 g g

( g,h) g,h C

(g q,h) (g,h) (q,h)

g,h g,h

g,h h,g *

(g,g) 0, (g,g) 0 g 0

(4.21) Гильбертово пространство - множество элементов, для которых:

1)определена операция сложения, …

(4.22) 2) … определена операция умножения на комплексное число, …

(4.23) 3)… определена операция скалярного перемножения,

а так же выполняются свойства сходимости в себе и сепарабильности.

Lˆ :		(g )			Lˆg f	(4.24)	Оператор - правило, по
							которому одному элементу
							Гильбертова пространства
							сопоставляется другой
							элемента того же
							пространства
Lˆ(g h) Lˆg Lˆh						(4.25)	Линейность оператора
(Lˆg,h) (g,Kˆh)					Kˆ Lˆ	(4.26)	Эрмитовски сопряженнй
							оператор
Lˆ Lˆ			самосопряженнй (эрмитовский) оператор			(4.27)	Эрмитовский и
ˆ		ˆ		антирмитовский оператор			антиэрмитовский операторы
L L				антирмитовский оператор
Lˆ,Mˆ LˆMˆ				MˆLˆ		(4.29)	Коммутатор и
ˆ	ˆ		ˆ	ˆ	ˆ ˆ		антикоммутатор двух
L,M			LM ML				операторов
Lˆf	f					(4.30)	Собственный вектор и
Lˆ Lˆ				f R			собственное число оператора
Lˆ Lˆ				f R
ˆ		1 f1				(4.31)	Взаимная ортогональность
Lf1		1 f1					собственных векторов
							собственных векторов
ˆ		2 f2					эрмитовски сопряженного
Lf2		2 f2					эрмитовски сопряженного
1 f1, f2 Lˆf1,					f2 f1,Lˆf2 f1, f2 2		оператора,соответствующих
f1, f2 0							разным собственным числам .
f1, f2 0

4.5 Основные положения квантовой механики

1.Каждой физической величине сопоставляется линейный самосопряженный оператор и каждому линейному самосопряженному оператору сопоставляется физическая величина. Физическая величина может принимать значения только

из спектра оператора. Если физической величине L соответствует оператор Lˆ,

то величине F(L) соответствует оператор F(Lˆ ).

(4.32)

Операторные скобки

, ,

Пуассона удовлетворяют

...

всем соотношениям,

1 2

, 1 2

, 2

аналогичным (4.17)

1 2 1 , 2

, 1

ˆ ˆ

...

(4.33)

Два способа раскрытия

1 2

1 2 1

скобок Пуассона от

ˆ ˆ

1 2, 1 2 1

1 2,

2 ...

произведений двух операторов (см. Приложение -2)

ˆ ˆ

(4.34)

Ввод из сравнения

1, 1 2

( 1 1

1 1)

2, 2

результатов, получаемых

двумя способами,

указанными в (4.33)

Const

(4.35)

Вытекающая из (4.34)

( 1 1 1 1)

, 1

C 1

, 1

связь квантовых скобок

Пуассона с коммутатором

Чисто мнимый характер

Fˆ

,Gˆ Fˆ,Gˆ C Fˆ,Gˆ

C C

(4.36)

коэффициента С

F,G

C F,G

F,G

C i /

Fˆ,Gˆ

(4.37)

Связь скобок Пуассона и

коммутатора

qˆj qj

pˆ j

(4.38)

Вводимые по аналогии со

свойствами (4.20)

операторы координаты и

pˆ i

импульса для

нерелятивистской частицы

(4.39)

Оператор кинетической

энергии

2.В чистом состоянии квантовомеханическая система описывается вектором в Гильбертовом пространстве или волновой функцией; в смешанном состоянии система описывается статистическим оператором или матрицей плотности.

a *

a ,

b ,... :

(a)

Lˆ

(4.40) Аппарат квантовой механики: вектор состояния системы в дираковских обозначениях, «физический» смысл скалярного произведения состояний и способ расчета измеряемого значения физической величин L.

Разложение произвольного

Lˆ :

Lˆ

(4.41)

состояния по базису из набора

собственных состояний

оператора L

(4.42)

Измеряемое значение

физической величин L в

Lˆ

состоянии системы, являющемся

L b

m am

собственным вектором

оператора этой величины (см. Приложение – 3).

(4.42)

Измеряемое значение

физической величин L в

Lˆ

состоянии системы, не

m,n

являющемся собственным

вектором оператора этой

m,n

величины.

m b

an mn am

m,n

2 m Pm (b)

Если

при измерении физической величин L было получено значение < L >, то

при

повторном

измерении через бесконечно малый промежуток времени

будет получено тоже значение.

(???)

(4.43)

Эволюция во времени

измеряемого значения

Lˆ

физической величин L.

ˆ ˆ

Lˆ

(4.44)

Различные способ прочтения

Lˆ

(4.43)

ˆ ˆ

(4.45)

Уравнение Гамильтона для

квантовомеханических

состояний.

4В интервале между измерениями чистое состояние развивается в соответствии

суравнением Шредингера

pˆ

(4.46)

Волновая функция и уравнение

a r,t r

a i

a r,t

U r a r,t

Шредингера для нее.

Hˆ fˆ(t)

Стационарное уравнение

r,t (r)exp i

(4.47)

Шредингера для стационарных

состояний

Hˆ (r) W (r)

r,t

(r)

2 F(t)

КОНТРОЛЬНО - ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ТЕМЕ ЛЕКЦИИ – 4

Билеты для экзамена

4.1Элементы теоретический механики

Принцип минимального действия

Уравнение Лагранжа

Канонические уравнения Гамильтона

Скобки Пуассона

Запись скорости изменения физической величин

спомощью функции Гамильтона и скобок Пуассона

4.2Математический аппарат квантовой механики

Векторы Гильбертова пространства и операторы

Связь коммутатора операторов со скобками Пуассона

Основные оператор квантовой механики

	Амплитуд вероятности и уравнение Гамильтона для них
	Волновая функция и уравнение Шредингера для нее

Раздел 2

Одноэлектронные волновые функции многоэлектронных атомов

В данном разделе рассматриваются методы построения волновых функций одного электрона в эффективном центрально симметричном электростатическом поле, создаваемым атомным ядром и оставшимися электронами

Соотношения, которые следует помнить

( , , ) ik

exp i

cos

iexp i

sin

iexp i

sin

exp i

cos

( ) 1

i ,l 1 i l

l2 r, , r,

sin

sin2 2

4 Y

( , ) l,m ( ) ( ) l,0

l,m

2l 1

j1, j2,J,M C((J1,,M 2))

j1, 1

j 2 , 2

j1, j2,J,M

1, 2

( 1)

j1 j2 M

j1, 1

j2, 2

2J 1

1, 2

2 d

l(l 1)

Rnl (r) 0

r dr

Матрица вращений на произвольнее углы Эйлера для состояний частиц со спином ½

Связь операторов поворота и момента импульса

Оператор квадрата момента импульса

Шаровые функции

Коэффициент Клебша Гордана

3j символы

Уравнение для радиальной части зависящей от углов волновой функции

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке random books