random books / Чирцов А.С - Конспект лекций по вводному курсу квантовой механики, электродинамики и оптики ч.1(2016)
.pdf
А.С. Чирцов
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВВОДНОМУ КУРСУ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ, ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И ОПТИКИ (часть -1)
Санкт-Петербург
2016
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
УНИВЕРСИТЕТ ИТМО
А.С. Чирцов
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВВОДНОМУ КУРСУ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ, ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И ОПТИКИ
(Часть -1) Учебное пособие
Санкт-Петербург
2016
А.С. Чирцов, Конспект лекций по вводному курсу квантовой механики, электродинамики и оптики (Часть- 1) – СПб: Университет ИТМО, 2016. – 82 с.
Учебное пособие содержит сводку основных математических соотношений, идей и их обоснований по вводному курсу в квантовые механику, электродинамику и оптику вместе с поясняющими их рисунками и кратким изложением теории. Представленные в пособии материалы по форме и содержанию максимально приближены к реально читаемым лекциям и предназначены для сопровождения самостоятельной работы обучающихся по освоению материала теоретической части курса и подготовке к аттестациям. Часть -1 посвящена обзору основных идей квантовомеханического описания и их приложению к расчету атома водорода.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по углубленным учебным программам Академических бакалавриатов: 01.03.02 – Математическое моделирование; 01.03.02 – Математические модели и алгоритмы в разработке программного обеспечения; 12.03.03 – Компьютерная фотоника; 12.03.03 – Оптические и квантовые технологии передачи, записи и обработки информации; 16.03.01 – Световая инженерия; 16.03.01 – Техническая оптика.
Рекомендовано к печати Ученым Советом Естественно-Научного Факультета № 5, 01.11.2016.
Университет ИТМО – ведущий вуз России в области информационных и фотонных технологий, один из немногих российских вузов, получивших в 2009 году статус национального исследовательского университета. С 2013 года Университет ИТМО – участник программы повышения конкурентоспособности российских университетов среди ведущих мировых научно-образовательных центров, известной как проект «5 в 100». Цель Университета ИТМО – становление исследовательского университета мирового уровня, предпринимательского по типу, ориентированного на интернационализацию всех направлений деятельности.
Университет ИТМО, 2016
Чирцов А.С., 2016
СОДЕРЖАНИЕ |
|
|
|
Лекция – 1 |
Введение: метод описания квантовомеханической системы |
|
|
|
«Электромагнитное поле +атом (молекула)» …………………… |
5 |
|
|
Раздел -1 Основания квантовой механики ……………………… |
7 |
|
Лекция – 2 Излучение, волн, квант, фотоны ………………………………… |
8 |
||
|
Контрольноизмерительные материал по теме Лекции – 2 ……… |
15 |
|
Лекция – 3 |
Атом Резерфорда-Бора и корпускулярно-волновой дуализм … |
16 |
|
|
Контрольноизмерительные материал по теме Лекции – 3 ……… |
20 |
|
Лекция – 4 |
Основы квантовой механики ………………………………………. |
21 |
|
|
Контрольноизмерительные материал по теме Лекции – 9 ……… |
28 |
|
|
Раздел – 2 Одноэлектронные волновые функции |
|
|
|
многоэлектронных атомов …………………………………………. |
29 |
|
Лекция – 5 |
Сферически симметричнее состояния электрона |
|
|
|
в атоме водорода …………………………………………………… |
30 |
|
|
Контрольноизмерительные материал по теме Лекции – 5 ……… |
33 |
|
Лекция – 6 |
Спиновые состояния электрона в атоме водорода ……………… |
34 |
|
|
Контрольноизмерительные материал по теме Лекции – 6 ……… |
38 |
|
Лекция – 7 |
Спиновые состояния атома водорода …………………………… |
39 |
|
|
Контрольноизмерительные материал по теме Лекции – 7 ……… |
41 |
|
Лекция – 8 |
Волновые функции электрона в атоме водорода в состояниях, |
|
|
|
зависящих от углов ………………………………………………….. |
42 |
|
|
Контрольноизмерительные материал по теме Лекции – 8 ……… |
47 |
|
Лекция – 9 |
Одноэлектронные волновые функции многоэлектронных атомов .. |
48 |
|
|
Контрольноизмерительные материал по теме Лекции – 9 ……… |
51 |
|
Приложение 1 |
Вариация действия …………………………………………. |
52 |
|
Приложение 2 |
Свойство квантовых скобок Пуассона…………………… |
52 |
|
Приложение 3 |
Возможность точного измерения величины L |
|
|
|
|
при нахождении систем в собственном состоянии |
|
|
|
соответствующего оператора ……………………………… |
52 |
Приложение - 4 |
Вариант конкретной реализации итерационного метода |
|
|
|
|
нахождения радиальных частей одноэлектронных |
|
|
|
волновых функций многоэлектронных атомов …………... |
53 |
3
Соотношения и результаты, которые нужно осознать и желательно запомнить в ходе изучения курса
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гипотеза Планка о квантовании энергии |
||||||||||||||||||
W /c |
|
|
|
|
/c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Четрехвектор энергии-импульса для фотона |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Связь между коэффициентами Эйнштейна |
||||||||||
|
A |
|
|
|
|
2 |
|
|
B |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2c3 |
|
|
|
2c3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
UD |
|
|
|
|
UD |
|
|
|
|
|
|
DU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соотношение неопределенности Гейзенберга |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r p |
2 |
|
|
|
1 i l |
|
|
|
|
|
|
|
|
Связь операторов поворота и момента импульса |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
( ) |
1 i ,l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
l2 r, , r, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оператор квадрата момента импульса |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
sin |
|
|
sin |
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаровые функции |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Yl,m ( , ) l,m |
|
z ( ) y ( ) |
|
l,0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2l 1 |
|
|
|
Разделение переменных в уравнении Шредингера |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n,l,m (r, , ) Rnl (r)Ylm ( , ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
для одноэлектронной волновой функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
j1, j2,J,M |
|
C((J1,,M 2)) |
|
j1, 1 |
|
j 2 , 2 |
|
Коэффициент Клебша-Гордана |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
j1, j2,J,M |
|
|
|
|
1, 2 |
|
|
|
j |
|
j |
|
|
J |
|
|
|
3jсимволы |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
( 1) |
j1 j2 M |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
j1 |
, 1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2J 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j2, 2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
M |
|
|
|
Уравнение для радиальной части зависящей от |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
d |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
d |
|
|
2 |
|
|
|
l(l 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
углов волновой функции |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2W |
|
Rnl (r) 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
r dr |
|
r |
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4
Лекция -1
Введение: метод описания
квантовомеханической системы «Электромагнитное поле + +атом (молекула)»
Атом (молекула) + Электромагнитное поле
Уединенный |
Электромагнитное |
Атом (молекула) |
поле |
Взаимодействие
|
Модель Томсона |
|
|
Электродинамика |
|
|
|
||
|
Модель Резерфорда – Бора |
|
|
Максвелла |
|
Уравнение Шредингера |
|
|
Фотонная теория |
|
Уравнение Дирака |
|
|
Квантовая |
|
|
|
|
электродинамика |
|
|
|
|
|
Классическая теория излучения
Квантовомеханическая теория возмущений
Приближение сильного поля
5
Основные этапы квантовомеханического расчета атома (молекулы)
№Физическое приближение
1Притяжение электрона к ядру
2Классическое квантование
3Принцип Паули
4Электростатические отталкивание электронов
5Обменное взаимодействия
6Спин-орбитальное взаимодействие
7Учет зависимости массы от скорости
8Взаимодействие спин-чужая орбита
9Спин-спиновое взаимодействие
10Влияние внешних электростатических полей
11Влияние внешних магнитных полей
12Учет подмешивания состояний из-за спонтанного распада
13Учет спина ядра
14Учет конечности массы ядра
15Учет конечных размеров ядра
16Учет несферичности ядра
17Учет взаимодействий с темновыми фотонами (0- колебаниями вакуума)
Наблюдаемые эффекты
Наличие у электрона связанных состояний Стабильность атома (невозможность
ультрафиолетовой катастрофы)
1)Периодический закон.
2)Существование спектров излучения
1)Нарушение порядка заполнения оболочек
2)Квантовый дефект (расщепление уровней по квантовому числу L)
Расщепление уровней по квантовому числу S (термы)
Тонкое расщепление
Частичная компенсация тонкого расщепления у легких атомов Нарушение простых закономерностей в тонком расщеплении Нарушение простых
закономерностей в тонком расщеплении Частичное снятие вырождения
уровней тонкой структуры (расщепление по |m|). Частичное снятие вырождения уровней тонкой структуры (расщепление по m). Естественное уширение уровней
Сверхтонкая структура Изотопический сдвиг
Нарушения простых правил интервалов расщепления в СТС Нарушения простых правил интервалов расщепления в СТС Лэмбовский сдвиг
6
Раздел 1
Основания
квантовой
механики
В данном разделе рассматриваются основные теоретические идеи перехода от классического к квантовомеханическому описанию и основы математического аппарата квантовой механики
Соотношения, которые следует помнить
W
Wp/c k/c
AUD 2c23 BUD 2c23 BDU
r p 2
|
|
|
a |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
i |
t |
H |
|
a |
ˆ2 |
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
t |
a r,t |
2m |
U r |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Гипотеза Планка о квантовании энергии
Четрехвектор энергии-импульса для фотона
Связь между коэффициентами Эйнштейна
Соотношение неопределенности Гейзенберга
Уравнение Гамильтона для квантовомеханических амплитуд и/или состояний
Уравнение Шредингера
7
Лекция -2
Излучение, волны, кванты, фотоны
На рубеже XIX и XX веков ряд экспериментальных открытий и теоретических исследований привели к «кризису физики», свидетельствовавшему об ограниченности области применимости казавшихся незыблемыми классических принципов, составлявших фундамент всего классического естествознания, стоявшего на позициях детерминизма
Соотношения, которые нужно понимать и весьма желательно помнить
|
w |
|
|
2 |
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2c3 |
осц |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
w |
|
2 |
Wосц |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
2c3 |
2c3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
W /c |
|
|
|
|
/c |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
|
|
|
mv2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Вых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Связь между объемной плотностью спектральной плотности энергии равновесного излучения и средней энергией одномерного осциллятора
Гипотеза Планка о квантовании энергии
Формула Планка для равновесного излучения абсолютно черного тела
Четрехвектор энергии-импульса для фотона
Уравнение для фотоэффекта
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
1 cos |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
mc2 |
dN |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NDnBDU |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
||||
|
W |
W |
|
|
|
W |
|
|
|
(I ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dN |
|||||||||||||
f |
|
|
U |
|
|
D |
|
|
UD |
|
|
|
|
|
|
NU nBUD |
|||
|
|
|
|
|
dt |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dN (S ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NU AUD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
|
|
2 |
|
B |
|
|
2 |
B |
|
|
|
|
|
|||||
|
2c3 |
|
2c3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
UD |
|
|
|
|
UD |
|
DU |
|
|
|
|
||||||||
8
Зависимость частот света от угла Комптоновского рассеяния
Гипотеза Эйнштейна о возможных процессах взаимодействия света с веществом: поглощение, вынужденное и спонтанное излучение
Связь между коэффициентами Эйнштейна
2.1Излучение черного тела
w d T 4
0
max const
T
Nизлученнное
Nпоглощенное
E d sin2 , d(t) d0 exp i 0t
Rc
S |
|
c |
|
|
E |
|
2 |
|
1 |
|
04d02 sin2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
R2c3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Nизлученнное |
|
|
( S ,ds) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
04d |
02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 sin2 sin d |
|
||||||||||||||||||||||||||||
8 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
4d2 |
|
|
4 |
|
1 4d |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4 |
|
|
|
c3 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
W |
mv2(t) |
|
m 02x2(t) |
|
|
m 02d02 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2q2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 04 2q2 |
|
|
|
2 02 q2 |
|
||||||||||||
Nизлученнное |
|
|
|
3 c3 |
|
|
|
|
W 3 c3 m Wосц |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m 02 |
||||||||||||||||||||||||||||
d 2x |
2 dx |
2x qEx |
exp i t |
||||||||||||||||||||||||||||||
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x(t) |
(qEx /m)exp i t |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
02 2 2i |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
v |
(t) dx |
|
i |
(qEx /m)exp i t |
|
||||||||||||||||||||||||||||
( 02 2)2 4( )2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
02 2 2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
dNпоглощенное |
|
ReF'э,Revx 2 mRevx Revx |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Revx |
|
|
|
(qEx /m)exp i t |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
( 02 2)2 4( )2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
( 02 |
|
2)sin( t) 2 cos(( ) |
9 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(2.1) Закон Стефана-Больцмана
(2.2) Закон смещения Вина
Условие равновесия одномерного осциллятора с
(2.3) равновесным черным излучением в полости абсолютно-черного тела
(2.4) Поле, излучаемое осциллятором с собственной частотой ω0 и высокой добротностью.
(2.5) Плотность потока энергии, излучаемой осциллятором
(2.6) Мощность, излучаемая осциллятором
(2.7) Выражение для излучаемой мощности через энергию одномерного осциллятора
(2.8) Уравнение для вынужденных колебаний одномерного осциллятора под действием хаотически изменяющегося ω- компонент поля черного излучения
(2.9) Идея вычисления средней мощности, поглощаемой осциллятором на частоте ω.