random books / Левичев В.В. - Основы квантовой механики в простейших задачах (2014)

U II

E

Рисунок 17 Потенциальный барьер

Обозначим цифрой I область слева от барьера, цифрой II область 0<x<a и цифрой III область справа от барьера. Будем считать, что частица приближается к барьеру со стороны отрицательных значений x, т.е. движется слева направо. Рассмотрим случай, когда энергия частицы E меньше высоты потенциального барьера U0, т.е. E<U0.

Уравнение Шредингера в областях I, II и III имеет вид:

k1=k3 так как разница (E-U0) в областях I и II одинакова. Волновые функции, являющиеся решением уравнений:

Будем считать амплитуду падающей на барьер волны де Бройля A1=1, а также положим коэффициент B3=0, принимая во внимание, что при движении частицы слева направо в области III может распространяться только проходящая волна.

Сшивка функций по границам:

Эта система имеет решение при любых значениях параметров k1 и k2, т.е. при любых значениях энергии частицы E. Следовательно, энергетический спектр частицы является непрерывным. Основное внимание в данной задаче сосредоточим на анализе прохождения частицы через барьер. Решаем систему, для амплитуды A3 прошедшей через барьер волны.

jпрош k1 A3 2

m0

находим коэффициент прохождения частицы через барьер:

где гиперболический синус sh k2a 12 ek2 a e k2 a

Если k2a>>1, то выражение упрощается до

sh(k2a) 12 ek 2 a

Тогда коэффициент прохождения частицы через барьер D в этом случае принимает вид.

Так как E/U0 медленно изменяющаяся функция.

Потенциальный барьер произвольной формы.

Обобщим полученный результат на случай потенциального барьера произвольной формы. Для этого представим потенциальный барьер в виде

22

последовательности большого числа узких прямоугольных потенциальных барьеров, расположенных один за другим

Рисунок 18 Потенциальный барьер произвольной формы

При х1 и х2 значение U(x)= E

Будем считать, что его высота на расстоянии, сравнимом с длиной волны де Бройля, изменяется незначительно. В этом случае отражением волны на выступающих участках прямоугольных барьеров можно пренебречь и считать, что ослабление волны происходит в основном за счет поглощения.

Яма конечной глубины с одной бесконечной стенкой

Рассмотрим частицу, движущуюся в одномерной потенциальной яме вида

, x 0

U (x) 0, 0 x a

U0 , x a

U

I II

U0

E

х

Рисунок 19 Яма конечной глубины с одной бесконечной стенкой

23

1) Рассмотрим сначала случай, при котором полная энергия частицы E<U0 т.е. будем считать, что частица находится в потенциальной яме. Уравнение Шредингера в области I и II имеет вид:

Воспользуемся условиями, налагаемыми на волновую функцию. Поскольку волновая функция должна быть всюду конечной, а первое слагаемое в при x →∞ неограниченно возрастает, то необходимо потребовать, чтобы коэффициент B был равен нулю B=0

Так как Ψ 1(0)=0, то φ=0

Сшивка при х=a дает следующую систему уравнений

Asin k2a Ce k2 ak1 Acosk1a k2Ce k2 a

Разделив первое уравнение на второе, приходим к соотношению

1 tgk1a 1 , k1 k2

которое и определяет энергетический спектр частицы в яме.

Данное уравнение является трансцендентным уравнением, и четких решений не имеет. Следовательно, явным образом получить значения Е не получится.

Покажем с помощью графического метода, что энергетический спектр частицы является дискретным, т.е. энергия частицы в яме квантуется:

Подставим k2:

24

2

sin k1a 2m0U0a2 k1a

Построим графики левой и правой частей уравнения как функции параметра k1a

Рисунок 20 графическое решение

Решения уравнения находятся на пересечении двух графиков (на рисунке отмечены точками).

Так как tg(k1a)<0, то зона определения

ряют условию.

Чем больше U0 и ширина ямы, тем ниже наклон прямой и тем больше точек пересечения имеет прямая с синусоидой. Следовательно, больше уровней Е в потенциальной яме.

Если имеем только одну точку пересечения графиков, то

U0a2 2 2

8m0

Для данного условия уравнение Шредингера имеет решение, то есть в яме есть 1 энергетический уровень. Если потенциальная яма недостаточно глубока или недостаточно широка, так что условие не выполняется, то уравнение Шредингера для частицы в яме не имеет решения, или, как говорят, в яме не помещается ни одного энергетического уровня. Так, например, между двумя нейтронами или между двумя протонами действуют ядерные силы притяжения, однако связанного состояния двух нейтронов или двух протонов в природе не существует - потенциальная яма, соответствующая взаимодействию этих частиц, имеет недостаточную ширину и глубину.

Волновая функция ψ2(x) вне потенциальной ямы отлична от нуля и спадает с расстоянием x по экспоненциальному закону, а это означает, что

25

существует отличная от нуля вероятность пребывания частицы вне потенциальной ямы. Соотношение между константами A и C находятся из условия нормировки волновой функции.

Рисунок 21 Распределение волновых функций в потенциальной яме с одной бесконечной стенкой

2) Рассмотрим теперь случай E>U0

Уравнение Шредингера в областях I и II , соответственно, имеет вид:

Решая эту систему относительно амплитуд B`и C`, получаем их выражения через амплитуду A`

26

Соотношение, определяющее B’ и C’, существует при любых k1 и k2, т.е. при любом значении E>U0, а, следовательно, частица имеет непрерывный спектр энергии.

Обсудим вид волновых функций. Каждая их них представляет собой сумму двух волн де Бройля: волны, распространяющейся слева направо, и волны, распространяющейся справа налево. Пришедшая из +∞ волна на границе ямы (x=a) частично отражается, давая вклад в первое слагаемое Ψ 2, и преломляется двигаясь в области I (второе слагаемое Ψ 1). Далее волна отражается от стенки при x=0 (первое слагаемое Ψ 1), и опять преломляется на границе ямы (x=a), давая вклад в первое слагаемое ψ2, и уходит на бесконечность.

Частица в яме конечной глубины

Рассмотрим частицу, находящуюся в области потенциальной прямоугольной ямы конечной глубины (рис. 25). Такая модель качественно описывает движение заряженной частицы, например, электрона, вблизи атома и применяется в атомной физике и физике твердого тела. Пусть потенциальная энергия частицы имеет вид

U0 , x 0

U (x) 0, 0 x a

U0 , x a

E

Рисунок 22 Потенциальная яма конечной глубины

27

Покажем с помощью графического метода, что энергия частицы в яме квантуется, т. е. энергетический спектр, определяемый уравнением, имеет дискретный характер. Для этого построим графики левой и правой частей уравнения в зависимости от k2:

3π

2π

Рисунок 23 Графическое определение решений уравнения

Чем глубже и шире яма, тем больше в ней энергетических уровней.

При k2 max a n в потенциальной яме может находится n энерге-

тических уровней. При уменьшении глубины потенциальной ямы (U0), величина k2max, а следовательно и число энергетических уровней уменьшается.

уровень. Следовательно, в потенциальной яме такого типа всегда есть 1 энергетический уровень.

29

Рисунок 24 Качественный вид волновых функций потенциальной ямы конечной глубины

Как показано на рисунке 27 внутри потенциальной ямы волновые функции имеют вид синусоид с количеством полуволн равных номеру энергетического уровня, а вне ямы убывают по экспоненциальному закону.

Квантовый гармонический осциллятор

Рисунок 25 параболическая потенциальная яма Согласно классической механике осциллятор совершает гармониче-

ские колебания с циклической частотой k m . Будем искать решение уравнения Шредингера: