random books / Левичев В.В. - Основы квантовой механики в простейших задачах (2014)

В.В. Левичев, Основы квантовой механики в простейших задачах. – СПб:

НИУ Университет ИТМО, 2014. – 36 с.

Базовые основы квантовой физики, изложенные в данном пособии, помогут понять основные принципы и её отличия от классической механики. Пособие предназначено для студентов старших курсов по специальности 12.03.01 «Приборы исследования и модификации материалов на микро- и наноразмерном уровне»

Рекомендовано к печати Ученым советом факультета 12 ноября 2013 года

протокол № 9

В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена программа его развития на 2009–2018 годы. В 2011 году Университет получил наименование «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики»

Университет ИТМО, 2014

Левичев В.В., 2014

2

3

Оглавление

Основы квантовой механики…………………………………….. 4

Зонная теория…………………………………………………...… 7

Электрон –волна и частица………………………………………. 9 Уравнение Шредингера…………………………………………... 10 Квантово-механические операторы……………………………... 11 Частица в потенциальной яме с бесконечными стенками……... 12 Движение частицы в области порога……………………………. 15 Прохождение частицы через барьер…………………………….. 19 Яма конечной глубины с одной бесконечной стенкой…………. 22 Частица в яме конечной глубины………………………………... 26 Квантовый гармонический осциллятор…………………………. 29

Теорема Блоха…………………………………………………….. 31 Литература………………………………………………………… 34

4

Основы квантовой механики

С давних пор человечество всегда старалось познать окружающий нас мир, исследуя объекты, находящиеся в непосредственной близости. Множились знания, совершенствовался экспериментальный инструмент, который позволял достичь новых границ познания. На основе экспериментальных данных строились новые теории, объясняющие сложную природу нашего мира. И долгое время классическая механика позволяла описывать работу почти любых физических систем. Однако при исследовании маленьких частиц, имеющих размер меньше 1 микрона, и некоторых физических явлений, основанных на взаимодействии этих частиц, проявлялись необычные свойства, которые невозможно было объяснить с точки зрения классической механики. С течением времени образовалось достаточное количество теорий и экспериментов, объясняющихся новой физической наукой "Квантовая механика".

Базовые основы Квантовой механики, изложенные в данном пособии, помогут понять основные принципы и её отличия от классической механики.

Для начала мы рассмотрим основополагающие элементы теоретической и практической квантовой механики. Основным объектом квантовой механики является квантовая частица и её взаимодействие с физическими объектами и комплексами.

Квантовая частица не имеет четких координат.

• Если определим х координаты, то частица имеет р импульса

• Невозможно одновременно определить х и р (принцип неопределенности Гейзенберга)

р

1

0,5

Рисунок 1 Распределение квантовой частицы в пространстве

Частица "расплывается" в пространстве, то есть невозможно определить её нахождение в любой момент времени.

Распределение электронной плотности показывает, в каких областях вокруг атома электрон пребывает преимущественно, то есть с вероятностью, близкой к 1. Энергетический спектр принято изображать в виде энергетической диаграммы. Состояние с минимальной энергией E1 называется основным. Пребывающий в нём электрон находится ближе всего к ядру.

5

Eвак.

E1 1s

Рисунок 2 Энергетический спектр атома

В одном стационарном состоянии могут одновременно находиться не более двух электронов. Это утверждение известно, как принцип Паули.

У любого атома стационарных состояний бесконечно много, а число электронов – конечно. Поэтому они заполняют нижайшие по энергии состояния в соответствии с принципом Паули. Рисунок 2 иллюстрирует заполнение электронных состояний в атоме водорода.

Рисунок 3 Схематичное изображение электронного облака атома

Как видно из Рисунок 3 электрон в пространстве атома распределен по пространству и не имеет каких-либо орбит движения или точного расположения.

Предел возможности определения координат и импульса квантовой частицы определяется следующим соотношением:

6

х р - Соотношение неопределенностей Гейзенберга

2

Постоянная Планка h = 6.62620·10–27 эрг·с

ной Дирака

dw p(x) x - Плотность вероятности

Существует достаточно большое разнообразие квантовых частиц. Основная частица, с которыми мы будем работать в рамках этого пособия, это - Электрон - стабильная, отрицательно заряженная элементарная частица.

Рассмотрим эксперимент, из которого и появился такой термин, как "квант".

На рубеже 19-го и 20-го веков некоторые ученые-физики занимались исследование излучения черного тела. Объекту передавали некоторое количество энергии путем нагрева, и затем исследовали идущее от него излучение (Рисунок 4).

Применив к проблеме равновесного теплового излучения методы электродинамики и термодинамики, Планк получил закон распределения энергии в спектре абсолютно чёрного тела и обосновал этот закон, введя представление о квантах энергии и кванте действия. Это достижение положило начало развитию квантовой физики, разработкой различных аспектов которой он много занимался в последующие годы.

7

Рисунок 4 Результат исследования абсолютно черного тела

Зонная теория

Структуру энергетического спектра кристалла качественно можно выяснить, исходя из спектра отдельного атома.

Представим себе N одинаковых атомов, удалённых на столь большие расстояния, что они никак не влияют друг на друга. Энергетический спектр такого ансамбля независимых атомов будет состоять из N совпадающих атомных спектров. Каждое атомное состояние будет одновременно и состоянием ансамбля. Такие состояния, энергии которых совпадают, называются N – кратно вырожденными.

E

E2

Eg2

E1

Eg2

E0

Рисунок 5 Расщепление энергетических уровней при объединении атомов в кристалл

Начнём сближать атомы (Рисунок 5). При некотором межатомном расстоянии станут заметными электростатические силы электрон-ядерного притяжения и электрон-электронного отталкивания. Суммарно будет преобладать притяжение, но отталкивание приведет к тому, что ранее совпадавшие атомные уровни энергии расщепятся на N отдельных уровней. При достижении межатомного расстояния а0 образуется кристалл. Дальнейшему сближению препятствуют большие силы отталкивания. Совокупность N уровней называют разрешенной зоной.

Ширина запрещенной зоны:

в проводниках Eg= 0;

в полупроводниках Eg= 1 еВ - 5 еВ;

в диэлектриках Eg> 5 еВ.

8

Зона свободных электронов

E

Ee

Ev

Зона валентных электронов

Рисунок 6 Структура энергетических зон вещества

Электронные диаграммы:

Соединение полупроводников с разной энергетической диаграммой и соответственно с разной шириной запрещенной зоны называется гетеропереходом

Рисунок 7 Гетеропереход 1-го рода

Рисунок 8 Гетеропереход 2-го рода

Последовательное соединение двух гетеропереходов образует кванто- во-механические объекты, такие как потенциальная (квантовая) яма или потенциальный (квантовый) барьер. Многократное повторение ям или барьеров – сверхрешетка.

9

Рисунок 9 Потенциальная (квантовая) яма

Рисунок 10 Сверхрешетка 1-го типа (симметричная)

Рисунок 11 Сверхрешетка 2-го типа (асимметричная)

В случае симметричных диаграмм для упрощения изображают только верхнюю часть.

Электрон – волна и частица

Свободному движению электронов соответствует плоская волна:

направления. Тогда

Acos kx t

Asin kx t

Следовательно, в общем виде: A(cos i sin ) Aei

10