random books / Портнов, Тимофеева - Методические указания к решению задач по волновой и квантовой оптике, строению вещества

Добавил:

alleken Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова

Предмет:

Оптика

Файл:

(V b ) RT , где поправка a

учитывает силу при-

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2020

Размер:

1.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

RT.

шению

концентрации

частиц n0 на нулевой высоте, равна

m0gh

n n e

, где m – масса молекулы газа.

Среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой

за секунду,

, где

– средняя длина свободного пробега моле-

кул, то есть усредненное расстояние, которое проходит молекула до

столкновения, равно	1	, где – эффективный диаметр моле-
	2 n

кулы, n – концентрация молекул.

Числом степеней свободы i называется число независимых величин, с помощью которых может быть задано положение точки или частицы. Для молекул одноатомного газа i 3 все три степени свободы приходятся на поступательное движение; двухатомного газа i 5, три степени свободы приходятся на поступательное движение и две на вращательное, трех- и более атомных газов i 6 три степени свободы приходятся на поступательное движение и три на вращательное движение.

Температура – мера средней кинетической энергии движения молекул; связь кинетической энергии с температурой определяется

kT.

формулой: E

Перевод

из градусов

Цельсия в Кельвины

T(K) t(°C) 273.

Давление – величина, численно равная силе действующей на

единицу поверхности

(Па). Единицы измерения 1 атм =

= 1,01325 бар = 760 мм рт. ст. = 101325 Па.

Универсальная газовая постоянная R kN

8,31 Дж·моль–1·К–1.

Основное уравнение МКТ p

nkT.

Уравнение Менделеева – Клайперона pV

Закон Дальтона – закон о суммарном давлении смеси газов

pV ( 1 2 3 ...	n )RT.
			Таблица 1.2
	Изопроцессы

процесс	неменяющаяся	формула
процесс	величина	формула
	величина
изобарный	давление	V /T	const

изохорный	объем	p/T	const

изотермический	температура	pV	const

При изучении реальных газов используют уравнение Ван-дер-

тяжения между молекулами, поправка b – суммарный объем всех молекул газа.

1.2.Методические указания к решению задач

Вкинетической теории газов употребляются различные типы скоростей молекул: средняя квадратичная, средняя арифметическая и наиболее вероятная.

Средней квадратичной скоростью пользуются в тех случаях, когда необходимо рассчитать какую-нибудь физическую величину, пропорциональную квадрату скорости, например, кинетическую энергию поступательного движения молекул газа, давление газа.

Средняя арифметическая скорость позволяет определять среднее значение физических величин, в формулу которых входит скорость в первой степени, например, среднее число столкновений молекул в единицу времени, среднее время свободного побега.

Наиболее вероятной скоростью пользуются в задачах, связанных с применением закона распределения молекул по скоростям. Этой скорости соответствует максимум функции распределения.

Закон распределения молекул по скоростям, записанный в дифференциальной форме, используется в случаях, если речь идет о больших интервалах скоростей; число молекул, скорости которых лежат в некотором интервале, находится при помощи интегрирования правой части уравнения в указанных пределах. Если же рассматриваемый интервал скоростей мал, то закон распределения скоростей

можно писать, заменив дифференциалы dN и dv промежутками N

иv, что значительно упрощает вычисления.

Уравнение Менделеева-Клайперона, закон Дальтона или уравнения Ван-дер-Ваальса используют тогда, когда известны макроскопические параметры системы – давление, объем и температура.

1.3. Примеры решения задач

Задача 1.1. Определить наиболее вероятную, среднюю арифметическую и среднюю квадратичную скорости молекул хлора Cl2 при температуре Т = 500 К, если молярная масса хлора 71 г/моль.

Решение

Наиболее вероятная скорость движения молекул идеального газа в условиях равновесия находится с помощью формулы


vвер	2kT	.

	m0

Используя данные из условия задачи, находим массу одной молекулы

			m		M	.
			m			.
			0		NA
					NA
Для этого подставляем молярную массу хлора и постоянную
Авогадро:	M	71 г/моль, N	6	1023			(моль–1), в результате получа-
		A
ем, что масса одной молекулы хлора составляет m 1,2										10 25 кг.
							0
Зная	массу одной		молекулы						и постоянную	Больцмана
k 1,38 10 23		(Дж/К), находим наиболее вероятную скорость молекул
хлора vвер	341 м/с.
Средняя арифметическая скорость движения молекул хлора на-
ходится по формуле:

			v A		8kT			,
			v A					,
					m0

подставляем найденную массу одной молекулы, постоянную Больцмана и температуру, находим значение vA 385 м/с.

Средняя квадратичная скорость движения молекул хлора находится по формуле:

Используя данные температуры и массы одной молекулы хлора, получаем значение средней квадратичной скорости: v 418 м/с.

Задача 1.2. Найти относительное число молекул идеального газа, скорости которых отличаются не более чем на = 1% от значения средней квадратичной скорости.

Решение

Заданный интервал скоростей в соответствии с условиями зада-

чи составляет dv 2

. Используя функцию распределения Мак-

свелла

vвер

подставляем значение скорости

среднюю квадратичную ско-

3kT

рость v

и наиболее вероятную скорость движения молекул

vвер

2kT

в функцию распределения Максвелла

3kT

3kT m0

3kT

2kT

dN N

m0 2kT

2kT

Упрощаем полученное выражение

e 2

окончательно получаем

dN 0,0185.

Задача 1.3. Каким должен быть наименьший объем баллона, вмещающего 6,4 кг кислорода, если его стенки при температуре 20°С выдерживают давление 15,7 МПа?

Решение

Для решения задачи найдем молярную массу кислорода О2 согласно таблице периодической системы химических элементов

M 32 10 3 кг/моль.	Найдем количество вещества, которое должно
вмещаться в баллон		m	. Подставляя значение массы и молярной
вмещаться в баллон			. Подставляя значение массы и молярной
		M
массы газа, получаем		200 моль вещества. Используем для нахо-
ждения объема уравнение Менделеева-Клайперона
				pV		RT.
Используя найденное значение количества вещества и переведя
температуру в абсолютную шкалу T						293 К, получаем, что объем со-
суда будет равен:
	V			RT	3,1 10 2 м3.

				p
				p
Задача 1.4. Во сколько раз плотность воздуха, заполняющего
помещение зимой t1	7°С,			больше его плотности летом t2 37 °С?

Давление газа считать постоянным.

Решение

Поскольку давление газа остается постоянным, в помещении протекает изобарный процесс

			V1		V2	.
						.
			T1	T2
Так как плотность	m	, то подставляя это выражение в закон
Так как плотность	V	, то подставляя это выражение в закон
	V

изобарного процесса и считая, что масса воздуха в помещении не меняется

m	m	,

1T1	2T2

находим, что отношение плотностей равняется

1T2 .

2T1

Переводим температуру в абсолютную шкалу и получаем

1	T2		310		1,1.
2		T1		280

Задача 1.5. В сосуде находится 10 г углекислого газа СО2 и 15 г азота N2. Найти плотность смеси при температуре 27°С и давлении

150 кПа.

Решение

Согласно условию задачи в сосуде находится смесь газов, следовательно используем закон о суммарном давлении смеси газов – закон Дальтона

pV	( 1	2 )RT.
Найдем молярную массу углекислого газа M1			44 г/моль и количе-
ство вещества углекислого газа	1	0,23 моль. Найдем молярную массу
азота M2 28 г/моль и количество вещества азота			2 0,54 моль.

Подставляя давление, количество вещества, температуру (переведенную в абсолютную шкалу) и универсальную газовую постоянную R 8,31 Дж·моль–1·К–1, находим объем газа:

	(	1 2 )RT		2	3
V			1,28 10		м .
V		p	1,28 10		м .
		p

Плотность смеси газов может быть найдена по формуле:

m1		m2	1,95	3
				кг/м .
	V			кг/м .
	V

Задача 1.6. Лагерь альпинистов расположен на высоте 3250 м над уровнем моря. Найти давление воздуха на этой высоте. Температура воздуха постоянная и равна 5°С. Молярная масса воздуха равна 29 кг/кмоль. Давление воздуха на уровне моря считать равным 101 кПа.

Решение

Для решения задачи используем распределение Больцмана

m0gh

n n0e kT .

Концентрация частиц связана с давлением через основное уравнение МКТ p nkT. Подставляя эту формулу в распределение

Больцмана и помня, что температура воздуха остается постоянной, получаем:

	p		p0			m0gh
	p		p0	e		kT .
	kT		kT	e		kT .
	kT		kT
Числитель дроби можно сократить, в результате имеем баро-
метрическую формулу
					m0gh
	p	p e			kT ,
		0

где p – давление воздуха которое надо найти, p0 – давление воздуха на уровне моря. Связь между массой одной молекулы и молярной

массой воздуха равна m	M	, в результате барометрическая фор-

0	NA

мула принимает вид

Mgh

pp0e kNAT .

Всвою очередь произведение постоянной Больцмана и посто-

янной	Авогадро равняется	универсальной газовой постоянной
R kN	8,31 Дж·моль–1·К–1. Получаем
A
		Mgh
	p	p e RT .
		0

Подставляем данные условия задачи:

	29 10 39,8 3250
p 101 103 e	8,31 278
p 101 103 e

67,682 кПа.

Задача 1.7. На какой высоте над уровнем моря плотность воздуха уменьшается: 1) в два раза; 2) в е раз? Считать, что температура воздуха и ускорение силы тяжести не зависят от высоты. Молярная масса воздуха равна 29 кг/кмоль, температура воздуха равна 0°С.

Решение

Сила земного тяготения является внешним воздействием на смесь газов, из которых состоит воздух.

В этом случае справедливо распределение Больцмана, записанное в виде

m0gh

n n0e kT .

Связь между массой одной молекулы и молярной массой возду-

ха равна m	M	, в результате формула принимает вид
ха равна m		, в результате формула принимает вид
0	NA
	NA
			Mgh
		n n e kNAT .
	0

В свою очередь произведение постоянной Больцмана и посто-

янной	Авогадро равняется	универсальной газовой	постоянной
R kN	8,31 Дж·моль–1·К–1. Получаем:
A
		Mgh
	n	n e RT .
		0
Концентрация и плотность связаны соотношением			m0n, что
позволяет записать формулу

Mgh 0 e RT

m0 m0

или после упрощения

Mgh

0e RT .

Для нахождения искомой величины выразим из полученной формулы высоту

h RTMg ln 0 .

Согласно первому условию задачи плотность уменьшается в два раза, тогда подставляя данные в полученную формулу, получаем:

h	8,31 273		ln(2)	5533 м.
	29	10 39,8

Согласно второму условию задачи плотность уменьшается в е
раз, тогда подставляя данные в полученную формулу, получаем:
h	8,31 273		ln(e)	7982 м.
	29	10 39,8

Задача 1.8. Какая часть молекул азота при 150°С обладает скоростями от 300 м/с до 325 м/с?

Решение

Рассчитаем молярную массу молекул азота M 28 10 3 кг/моль. Запишем распределение Максвелла:

			2	v	2
	4 v		2	v		dv
dN N	4 v		e	vвер		dv	,
		vвер				vвер


где dN – число молекул,	скорости которых лежат в интервале (v,

v dv ), N – общее число молекул газа, vвер – наиболее вероятная

скорость.

Для нахождения части молекул, скорость которых лежит в указанном диапазоне, поделим распределение Максвелла на N:

			2	v	2
dN	4 v		2	v		dv

			e	vвер			.

N		vвер			vвер

Сначала рассчитаем наиболее вероятную скорость молекул:


					vвер		2kT	.
					vвер			.
							m0
	Связь между массой одной молекулы и молярной массой возду-
ха равна m			M	, а произведение постоянной Больцмана и постоян-
ха равна m				, а произведение постоянной Больцмана и постоян-
	0	NA
		NA
ной	Авогадро равняется				универсальной				газовой	постоянной
R	kN 8,31 Дж·моль–1·К–1. Это позволяет переписать формулу для
	A
наиболее вероятной скорости в виде

				vвер		2RT	501 м/с.

						M
						M
	Диапазон		скоростей		согласно данным				задачи	составляет
dv	325 300		25 м/с.
	Подставляем все найденные и данные величины в функцию
распределения Максвелла и получаем

dN	4 300	2	300 2

		e	501
			501

N	501

25 0,028.

501

Задача 1.9. При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул кислорода равна такой же скорости молекул азота при температуре 100°С?

Решение

Молярную массу M1 32 10 3 кг/моль для кислорода O2 и

M 28 10 3 кг/моль для газа азота N2 найдем из таблицы периоди-

ческой системой химических элементов.

Средняя квадратичная скорость молекул рассчитывается по

формуле

3kT

С учетом связи между массой одной молекулы и молярной мас-

сой воздуха равна m

и произведением постоянной Больцмана с

8,31 Дж·моль–1·К–1. Получаем

постоянной Авогадро R

3RT

Тогда средняя квадратичная скорость молекул кислорода рас-

считывается по формуле

3RT1

а средняя квадратичная скорость молекул азота рассчитывается по аналогичной формуле

3RT2

Согласно условию задачи

тогда

3RT1

3RT2

Или

, откуда следует, что

M1T2

Подставляя численные значения, находим

10 3373

426 К,

10 3

или переведя найденную температуру в градусы по Цельсию

426

273

153°С.

Задача 1.10. В закрытом сосуде находится идеальный газ. На сколько процентов изменилось давление газа, если средняя квадратичная скорость его молекул увеличилась на 40%?

Решение

Если обозначить начальную среднюю квадратичную скорость молекул v1, то при увеличении скорости на 40% конечная скорость бу-

дет равна v2 v1 0,4v1 1,4v1.

Средняя кинетическая энергия движения одной молекулы

	m		2		2
		v	2
		v
EK	0			, а давление численно равно p		nEK , следовательно,
EK	2			, а давление численно равно p	3	nEK , следовательно,
	2				3

связь между давлением и средней квадратичной скоростью будет

		2
	m nv	2
p	0		.
p	3		.
	3

В этом случае начальное давление будет

												2
							m nv					2
			p				0		1				,
			p										,
		1							3
									3
а конечное давление
					2			m n						1,42v	2
		m nv			2			m n						1,42v	2
p		0 2							0					1		.
p																.
2		3												3
		3												3
Разделим второе давление на первое:
	p2		3m0n				1,42				v12			2
														1,4 ,
	p									2				1,4 ,
	p			3m nv						2
1						0			1

т.е. давление газа увеличилось и стало равным p								1,42 p . Рассчита-
							2	1
ем, на сколько процентов изменилось давление газа:
	p	p	1,42 p		p
2		1	1		1	0,96	96%.
		p1		p1		0,96	96%.
		p1		p1

Задача 1.11. В сосуде емкостью 20 л при температуре 310 К находится 4 кг углекислого газа СО2. Найти давление газа на стенки сосуда, если газ считать идеальным и если газ считать реальным.

Решение

Воспользовавшись периодической системой химических элемен-

тов, найдем молярную массу углекислого газа M					44	10 3 кг/моль.
Для нахождения давления идеального газа воспользуемся зако-
ном Менделеева-Клайперона
		pидеалV RT,
где количество вещества будет высчитано, как
	m / M		4 / 44 10 3 91 моль.
В этом случае давление идеального газа будет рассчитано как
p	RT	91 8,31 310		1,2	107	Па.

		20 10 3
идеал	V

Полученное давление превышает допустимые нормы для не промышленного хранения углекислого газа, по этому применение уравнения идеального газа вряд ли оправдано. Рассчитаем давление по уравнению Ван-дер-Ваальса

pреал

a 2

b )

RT,

V 2

где постоянные Ван-дер-Ваальса для углекислого газа равны

0,361 Нм4/моль2,

42,8 10 6 м3/моль.

Выражаем давление реального газа

pреал

a 2

b )

V 2

и подставляем данные

8,31

310

0,361

912

7 106

Па.

10 3

10 6

91) (20 10 3 )2

реал

(20

42,8

Задача 1.12. В сосуде объемом 2

10 3

м3 имеется 4 моля во-

дорода при давлении 8 МПа. Найти температуру газа: 1) по уравнению Менделеева-Клайперона; 2) по уравнению Ван-дер-Ваальса.

Решение

Для нахождения температуры в первом случае воспользуемся законом Менделеева-Клайперона

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке random books