random books / Портнов, Тимофеева - Методические указания к решению задач по волновой и квантовой оптике, строению вещества

Подставим последнее соотношение в выражение для нахождения длины волны и вычислим её, учитывая, что по условию задачи m = 3:

2. ДИСПЕРСИЯ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА

2.1. Основные формулы и законы

Явление зависимости показателя преломления вещества от длины волны называют дисперсией света n f ( 0 ), где 0 – длина

световой волны в вакууме.

Дисперсией вещества называют величину

Это нормальная дисперсия.

При изучении интерференции и дифракции не рассматривается поперечность световых волн, однако их поперечность приводит к зависимости свойств света от направления его распространения.

В солнечном свете (и лампах накаливания) колебания светового

вектора Е совершаются хаотически по всем направлениям, так как в любом источнике света одновременно излучает очень большое количество атомов, имеющих различные фазы. Волну, в которой направ-

ление колебаний светового вектора Е упорядочено каким – либо образом, называют поляризованной. Естественный свет является неполяризованным.

21

Плоская волна называется линейно-поляризованной, если элек-

трический вектор E все время имеет одно и то же направление. Линейно поляризованный свет испускается лазерными источниками.

Плоскость, в которой лежат векторы E и V, называется плоско-

стью колебаний. Плоскость, содержащая векторы B и V – плоскостью поляризации. Эти две плоскости взаимно перпендикулярны, а вдоль линии их пересечения распространяется волна.

Эллиптически-поляризованная – это наиболее общий вид поляризации волны, переходящий при определенных условиях в линейную и круговую поляризации.

Из естественного света можно получить плоскополяризованный с помощью приборов, называемых поляризаторами. Эти приборы свободно пропускают колебания светового вектора, параллельные плоскости, которую называют плоскостью пропускания поляризатора. Колебания же, перпендикулярные к этой плоскости, задерживаются полностью или частично (рис. 2.1).

поляризатор анализатор

Рис. 2.1. Закон Малюса

В законе Малюса интенсивность прошедшего света через поляризатор пропорциональна cos2 .

где I0 – интенсивность падающего плоскополяризованного света, –

угол между направлением вектора E и осью пропускания поляризатора. Рассмотрим прохождение света последовательно через два поляризатора. На рис. 2.2 представлен случай, когда на систему из двух поляризаторов падает естественный свет. Ось пропускания первого поляризатора П1 обозначена уу1 и составляет угол с осью пропускания второго поляризатора П2. (ось пропускания второго поляризатора

также обозначена уу1).

Если интенсивность падающего естественного света равна I0, то после прохождения первого поляризатора она согласно закону Малюса будет равна:

22

Здесь учтено, что углы, которые составляют векторы напряжен-

ности E в естественном свете с осью пропускания первого поляризатора уу1, могут быть произвольными и усредненное значение

cos2 21.

После прохождения второго поляризатора интенсивность прошедшего света согласно закону Малюса будет равна:

Рис. 2.2. Прохождение естественного света через два поляризатора

Вращая второй поляризатор относительно неподвижного первого, можно удостовериться в том, что когда поляризаторы параллельны (угол между поляризаторами = 0), направление поляризации света, прошедшего через первый поляризатор, совпадает с осями пропускания первого и второго поляризаторов, а интенсивность прошедшего света максимальна. В случае, если поляризаторы скрещены (угол между поляризаторами = 90°), свет через систему из двух поляризаторов не проходит.

Помимо плоско поляризованного и естественного света существует еще частично поляризованный свет. Частично поляризованный свет, как и естественный, можно представить в виде наложения двух некогерентных плоско поляризованных волн с взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации, но разными по интенсивности. Частично поляризованный свет характеризуют степенью поляризации Р, которую определяют как:

23

Здесь Iпол – интенсивность поляризованной составляющей, I0 – полная интенсивность частично поляризованного света:

I0 Imax Imin.

Для плоско поляризованного света (Iпол = I0) степень поляризации Р = 1, для естественного света (Iпол = 0) Р = 0. Для эллиптически поляризованного света понятие степень поляризации не применимо.

Поляризация света при отражении и преломлении на границе двух диэлектриков (рис. 2.3) удовлетворительно описывается в рамках электромагнитной теории Максвелла.

При падении света на границу раздела двух диэлектриков под углом падения, отличным от нуля, и отраженный луч, и преломленный оказываются частично поляризованными.

1

n1

n2

2

Рис. 2.3. Поляризация при отражении и преломлении на границе двух диэлектриков

2.2. Методические указания к решению задач

При решении задач на дисперсию необходимо помнить, что спектр, даваемый решеткой при падении на нее немонохроматического света, отличается от спектра, даваемого стеклянной призмой, тем, что призма отклоняет падающие лучи тем сильнее, чем короче длина волны падающего света, а в дифракционной решетке все происходит наоборот.

В случае прохождения естественного света через поляризатор его можно представить как наложение двух некогерентных электромагнитных волн, поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях и имеющих одинаковую интенсивность. При прохождении естественного света через несовершенный поляризатор получаем частично поляризованный свет. Если пропустить частично поляризо-

24

ванный свет через анализатор, то при вращении прибора вокруг направления луча интенсивность проходящего света будет меняться

от Imax до Imin.

При изучении поляризации на границе двух диэлектриков необходимо учитывать, что при преломлении естественного света наблюдается лишь частичная поляризация. Степень поляризации преломленного луча максимальна при падении света на диэлектрик под углом Брюстера.

2.3. Примеры решения задач

Задача 2.1. Показатель преломления воды для красного света равен 1,329, а для голубого – 1,337. Какая дисперсия (нормальная или аномальная) наблюдается в воде?

Решение

Дисперсией света называется зависимость показателя преломления вещества от длины волны света. Если с уменьшением длины волны показатель преломления увеличивается, то есть если

наблюдается нормальная дисперсия. Следовательно, при прохождении света в воде наблюдается нормальная дисперсия.

Задача 2.2. Найти угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора, если интенсивность естественного света I0, проходящего через поляризатор и анализатор, уменьшается в 4 раза.

Решение

При прохождении естественного света через поляризатор луч имеет интенсивность I1 0.5I0.

После прохождения через анализатор луч согласно закону Ма-

Задача 2.3. Естественный свет с интенсивностью I0 падает на вход устройства, состоящего из двух скрещенных поляроидов. Между поляроидами поместили третий поляроид, ось которого составляет с осью первого угол . Чему равно отношение интенсивности света, проходящего через систему, к интенсивности падающего света?

Решение

Закон Малюса позволяет определить интенсивность проходящего света по формуле

25

где I0 – интенсивность падающего плоско поляризованного света.

На первый поляроид падает неполяризованный свет, поэтому он пропускает только половину интенсивности падающего естественного света. Свет становится поляризованным с интенсивностью

I1 I20 .

После прохождения следующего поляроида получим по закону Малюса

После прохождения светом третьего поляроида получим интенсивность

Отношение интенсивности проходящего света к интенсивности падающего равно:

Задача 2.4. Два поляризатора расположены так, что угол между плоскостями пропускания поляризаторов составляет = 60°. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность I0 естественного света: 1) при прохождении через первый поляризатор, 2) при прохождении через оба поляризатора. Коэффициент поглощения света k = 0,05.

Решение

Пучок естественного света интенсивностью I0 падает на грань первого поляризатора. В этом пучке «на равных» представлены все направления поляризации, так что из поляризатора выйдет линейнополяризованный свет интенсивностью I1. Эта интенсивность уменьшается по сравнению с I0 по двум причинам. Во-первых, поляризатор не пропустил ровно половину пучка с направлениями поляризации, ортогональными плоскости пропускания поляризатора. Во-вторых, часть пучка теряется в поляризаторе из-за его несовершенства. Таким образом, интенсивность света, проходящего через первый поляризатор,

26

раза. Далее, пучок линейно поляризованного света интенсивностью I1 падает на второй поляризатор. Интенсивность I2 выходящего пучка также уменьшается по сравнению с интенсивностью I1 входящего пучка из-за: а) несовпадения направлений осей поляризаторов плоскости пропускания (закон Малюса); б) потерь во втором поляризаторе. В результате имеем:

Задача 2.5. Естественный луч света падает на полированную поверхность стеклянной пластины (n2 = 1.5), погруженной в жидкость. Отраженный от пластины луч образует угол = 97° с падающим лучом. Определить показатель преломления жидкости, если отраженный луч полностью поляризован. Какой наименьший угол составляет преломленный луч с падающим?

Решение

Согласно закону Брюстера луч света, отраженный от диэлектрика, полностью поляризован в том случае, если тангенс угла падения численно равен относительному показателю преломления (показателю преломления второй среды (стекла) относительно первой (жидкости)). Относительный показатель преломления равен отношению абсолютных показателей преломления. Следовательно,

27

РАЗДЕЛ II. Квантовая оптика

1. ФОТОЭФФЕКТ, ЭФФЕКТ КОМПТОНА, СВЕТОВОЕ ДАВЛЕНИЕ

1.1. Основные формулы и законы

Развивая гипотезу Планка о квантах, Эйнштейн предположил, что квантовые свойства электромагнитного излучения проявляются при распространении излучения в пространстве, а также при испускании и поглощении его веществом.

Согласно гипотезе световых квантов свет испускается, поглощается и распространяется в виде дискретных порций (квантов), называемых фотонами.

Энергия фотона согласно формуле Планка равна:

= 1,05·10–34 Дж·с).

Поскольку фотоны не существуют в состоянии покоя, то их масса покоя равна нулю. Согласно теории относительности фотоны обладают релятивистской массой

h m c2 c2 .

Направление импульса фотона совпадает с направлением распространения световой волны, характеризуемым волновым век-

тором k

p k.

Одним из явлений, подтверждающим гипотезу фотонов, является фотоэлектрический эффект. Под внешним фотоэффектом понимается явление вырывания электронов с поверхности вещества под действием электромагнитного излучения.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

энергия электрона.

28

Если энергии кванта достаточно только на вырывание электро-

Законы фотоэффекта:

1.Количество электронов, испускаемых катодом, или ток насыщения, при неизменном спектральном составе падающего излучения прямо пропорционально интенсивности излучения или освещенности катода (количеству квантов света).

2.Кинетическая энергия фотоэлектронов не зависит от интенсивности излучения, а зависит от частоты падающего излучения. Она определяется по задерживающей разности потенциалов.

3.Для каждого вещества, у которого возможен фотоэффект, существует минимальная частота (или максимальная длина волны излучения), при которой фотоэффект исчезает.

Максимальное значение кинетической энергии фотоэлектронов определяется по обращению в ноль силы фототока при задерживающем напряжении между катодом и анодом. При этом выполняется закон сохранения энергии

где Uз – задерживающая разность потенциалов.

Эффект Комптона – упругое рассеяние электромагнитного излучения на свободных электронах, сопровождающееся увеличением длины волны.

При решении задач на эффект Комптона необходимо учитывать комптоновское смещение, зависящее от угла рассеяния.

Схема наблюдения эффекта Комптона показана на рис. 1.1. Монохроматическое излучение, исходящее из рентгеновской трубки R, проходит через свинцовые диафрагмы D и в виде узкого пучка направляется на рассеивающее вещество – мишень Р (графит, алюминий). Излучение, рассеянное под некоторым углом , анализируется с помощью спектрографа рентгеновских лучей S, в котором роль дифракционной решетки играет кристалл K, закрепленный на поворотном столике. В направлении угла с помощью кристалла и детектора измерялись как интенсивность, так и длина волны рассеянного излучения (рис. 1.1).

Комптон обнаружил, что в рассеянном излучении, наряду с исходной длиной волны , появляется смещенная линия с длиной волны ′ > . Это получило название комптоновского смещения, а само явле-

ние – эффекта Комптона.

29

Рис. 1.1. Схема наблюдения эффекта Комптона

Опыт показал, что наблюдаемое комптоновское смещение ∆= = ′ – не зависит от материала рассеивающего образца и длины волны падающего излучения, а определяется лишь углом между направлениями рассеянного и падающего излучений.

Рассеяние света на веществе сводится к столкновению между фотонами и электронами, входящими в состав атомов. В результате столкновения фотон изменяет не только направление своего движения, но и частоту, т.к. часть своей энергии он передает электрону. Следовательно, энергия фотона при столкновении уменьшается, а длина волны увеличивается.

Пусть на первоначально покоившийся свободный электрон с

Законы сохранения импульса и энергии при столкновении будут иметь вид:

k k1 рe, mec2 mc2,

где полная энергия электрона после столкновения:

Закон сохранения импульса для системы фотон-электрон можно записать с помощью теоремы косинусов для треугольника импульсов

(рис. 1.2).

р2e ( k)2 ( k1)2 2 2kk1 cos .