random books / Портнов, Тимофеева - Методические указания к решению задач по волновой и квантовой оптике, строению вещества

МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ)

Ю.А. ПОРТНОВ, Г.Ю. ТИМОФЕЕВА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ВОЛНОВОЙ И КВАНТОВОЙ ОПТИКЕ,

СТРОЕНИЮ ВЕЩЕСТВА

УДК 53

ББК 22.3

П601

Портнов, Ю.А.

П601 Методические указания к решению задач по волновой и квантовой оптике, строению вещества / Ю.А. Портнов, Г.Ю. Ти-

мофеева. – М.: МАДИ, 2017. – 72 с.

В учебном пособии системно излагаются основные вопросы таких разделов физики, как волновая и квантовая оптика, а также строение вещества, основные формулы, понятийный аппарат, классификации, практические методы и приемы для решения задач по названным разделам. Изложены общие основы применения физических законов для решения задач и представлены примеры решения некоторых наиболее часто встречающихся задач.

УДК 53

ББК 22.3

___________________________________________________________

Учебное издание

ПОРТНОВ Юрий Алексеевич ТИМОФЕЕВА Галина Юрьевна

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ВОЛНОВОЙ И КВАНТОВОЙ ОПТИКЕ,

СТРОЕНИЮ ВЕЩЕСТВА

Редактор Н.В. Шашина

Редакционно-издательский отдел МАДИ. E-mail: rio@madi.ru

Подписано в печать 06.02.2018 г. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 4,5. Тираж 200 экз. Заказ . Цена 150 руб. МАДИ, Москва, 125319, Ленинградский пр-т, 64.

© МАДИ, 2017

3

РАЗДЕЛ I. Волновая оптика

1. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА

1.1. Основные формулы и законы

Явлениями, подтверждающими волновую природу света, являются интерференция, дифракция, поляризация.

Интерференция заключается в перераспределении энергии волн в пространстве при их наложении, в результате чего в разных точках пространства наблюдается усиление или ослабление интенсивности результирующей волны. Интерферирующие волны должны быть когерентными, т.е. волнами, имеющими одинаковые частоты и постоянную разность фаз в пространстве.

К задачам на интерференцию света относятся задачи о наложении волн от двух точечных источников. В этом случае необходимо определить оптическую разность хода двух световых волн от источников до точки наблюдения:

2 n2 1 n1,

где 1 – расстояние, пройденное светом в среде с показателем преломления n1, 2 – расстояние, пройденное светом в среде с показателем преломления n2.

Оптическая разность хода связана с разностью фаз соотношением:

2 .

Результат интерференции света от двух когерентных источников при совпадении начальных фаз световых колебаний зависит от величины .

Условие интерференционного максимума:

4

Суммарная интенсивность света при наложении когерентных волн определяется выражением:

I I1 I2 2I1I2 cos .

Из этого выражения видно, что при сложении когерентных волн с одинаковыми амплитудами (и одинаковыми интенсивностями) суммарная интенсивность равна в минимуме нулю I = 0, в максимуме I = 4I1.

В опыте Юнга (рис 1.1) для нахождения координат максимумов и минимумов интерференционной картины, расстояния между интерференционными полосами (ширина интерференционных полос) необходимо воспользоваться соответствующими формулами.

Рис. 1.1. Схема наблюдения опыта Юнга

Оптическая разность хода в точке наблюдения Р на экране для случая интерференции двух волн:

xd n(l2 l1) n L ,

где L – расстояние от источников до экрана, d – расстояние между источниками, х – координата точки наблюдения Р на экране (d << L).

Расстояние между соседними интерференционными полосами на экране (ширина интерференционной полосы):

Для решения задач на интерференцию в тонких пленках определим оптическую разность хода световых волн, отраженных от двух поверхностей тонкой плоскопараллельной пластинки толщиной d с показателем преломления n2, по обе стороны которой находятся одинаковые среды с показателем преломления n1 = 1(рис. 1.2).

Полная разность хода между лучами 1 и 2 будет равна:

5

Здесь учтено, что луч 1 в точке А отражается от более плотной среды (n2 > n1), при этом фаза волны скачком изменяется на рад, что соответствует изменению разности хода на /2.

1 2

D

n1 1

d

Рис. 1.2. Интерференция в плоскопараллельной пластинке

На рис. 1.3 изображен ход лучей при наблюдении интерференционных полос Ньютона. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности. Наблюдения ведутся в отраженном свете.

r

Рис. 1.3. Схема наблюдения колец Ньютона

6

Для решения задач на тему «Кольца Ньютона» необходимо использовать следующие формулы.

Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете:

где m = 1, 2, 3 … – порядковый номер кольца, R – радиус кривизны линзы.

Радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете:

rm mR , (m = 0, 1, 2, 3 …).

Радиусы светлых колец Ньютона в проходящем свете:

rm mR , (m = 0, 1, 2, 3 …).

Радиусы темных колец Ньютона в проходящем свете:

Дифракция заключается в отклонении направления распространения световых волн от прямолинейного у края препятствия. Различают дифракцию Френеля и дифракцию Фраунгофера.

Френелем был предложен метод зон Френеля, который позволяет рассчитывать амплитуду волны в точке наблюдения Р (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Зоны Френеля

На рис. 1.4 S – точечный источник, P – точка наблюдения; а – расстояние от источника до экрана с круглым отверстием, b – расстояние от экрана с отверстием до точки наблюдения Р.

Суть метода зон Френеля состоит в разбиении волновой поверхности на кольцевые зоны, при этом расстояние от краев соседних

зон до точки наблюдения Р отличается на 2 . Это означает, что коле-

бания, создаваемые каждой из соседних зон, будут отличаться по фазе на , то есть находиться в противофазе.

7

Результирующая амплитуда, создаваемая сферической волной в точке наблюдения Р, равна половине амплитуды, создаваемой первой зоной Френеля:

A A21 .

Если в экране оставить отверстие под 1 зону Френеля, то амплитуда в точке наблюдения будет равна А1, то есть в 2 раза больше, чем А, а интенсивность в точке Р будет в 4 раза больше, чем интенсивность падающей волны.

При решении задач на дифракцию Френеля на круглом отверстии используются формулы Френеля для радиусов зон для плоских или сферических волн.

Внешний радиус rm m-й зоны Френеля для сферической волны:

Для плоской волны изотропный источник света удален от точки наблюдения (a ), следовательно, радиус зон Френеля для плоской волны:

rm m b.

Если в отверстии укладывается четное число зон Френеля (радиус круглого отверстия равен радиусу зоны Френеля соответствующего номера), то в центре дифракционной картины образуется темное пятно, если нечетное число – светлое.

Если расстояние от экрана до источника света S и до точки наблюдения Р велико, а лучи, идущие в точку Р, практически параллельны, то говорят о дифракции Фраунгофера (или дифракции в параллельных лучах).

Схема наблюдения дифракции Фраунгофера на щели показана на рис. 1.5. Ширину щели обозначим буквой b, причем длина щели в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка, много больше ее ширины. Рассмотрим два параллельных луча, исходящих из крайних точек С и В щели под углом дифракции к первоначальному направлению. Для удобства наблюдения дифракционной картины поставим на пути световых лучей собирающую линзу МN с фокусным расстоянием F, в фокальной плоскости которой поместим экран Э.

Разность фаз крайних лучей связана с разностью хода ∆ соотношением:

2 .

8

ний следует условие для минимумов интенсивности света на экране:

C ∆

F

L

Рис. 1.5. Схема наблюдения дифракции Фраунгофера на щели

Заметим, что m ≠ 0, поскольку при m = 0 образуется максимум. Условие для максимумов определяется формулой:

Число m называется порядком дифракционного максимума

(или минимума). В центре экрана всегда будет наблюдаться максимум освещенности. Этот максимум называется максимумом нулево-

го порядка.

График распределения интенсивности света на экране (I от sin ) показан на рис. 1.6.

I

Рис. 1.6. Распределение интенсивности света на экране при дифракции на щели

9

Дифракционная картина от одной щели, как правило, нечеткая и слабо различимая. Поэтому на практике для увеличения яркости применяют специальное устройство, называемое дифракционной решеткой, которое позволяет получить отчетливую дифракционную картину.

Дифракционная решетка – это стеклянная пластинка, на которую нанесено большое количество непрозрачных параллельных штрихов, чередующихся с узкими прозрачными полосками.

Величина, равная сумме ширины b одной щели и ширины промежутка a между щелями, называется постоянной (периодом) ди-

фракционной решетки:

d b a

и

где N0 – число щелей, приходящихся на единицу длины решетки. Если на дифракционную решетку падает плоская монохромати-

ческая волна перпендикулярно плоскости решетки (рис. 1.7), то оптическая разность хода между волнами от краев соседних щелей равна длине отрезка АС

d sin ,

где – угол дифракции.

Рис. 1.7. Схема наблюдения дифракции на решетке

В решетке осуществляется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света, исходящих от щелей решетки при ее освещении, поэтому на экране мы будем наблюдать систему достаточно узких максимумов (рис. 1.8).

Главные дифракционные максимумы решетки будут наблю-

даться под углами, удовлетворяющими условию:

d sin m m 0, m 0, 1, 2, 3, .