random books / Парамонов - Физика. Оптика.2. Волновая оптика_ учебное пособие

2. Плоская монохроматическая волна бежит в направлении оси z1 , составляющей угол β с осью z . Какова разность фаз ко-

лебаний в двух точках любой плоскости z = const , расстояние между которыми равно x ?

Решение:

На рис. 27 изображена плоскость z = const (перпендикулярная оси z ) и две волновые поверхности: AA' , в которой лежит точка О, и BB' , в которой находится точка Р ( OP = x ). Расстояние между поверхностями OD = ∆z1 .

Рис. 27

Пусть колебания на волновой поверхности AA' (и в точке О этой поверхности) происходят по закону

E(t)= acosωt .

Тогда на поверхности BB' (и в частности, в точках D и P) колебания отстают по азе на величину

∆ϕ = k∆z1 = k OP sin β = kxsin β .

Таким образом, разность фаз колебаний в двух точках плоскости z = const зависит от расстояния между точками по линейному закону

∆ϕ(x)= (k sin β)x .

Линейный закон изменения фазы колебания по некоторой плоскости z = const означает, что имеется плоская волна, направление распространения которой составляет угол β с осью z , перпендикулярной этой плоскости.

41

3. Плоская световая волна (длина волны λ0 ) падает нор-

мально на тонкую прозрачную пластинку толщиной d (рис.28). Показатель преломления пластинки меняется вдоль координаты x

распространятся волна за пластинкой?

x x

z

d

Рис. 28

Решение:

Пусть в плоскости, примыкающей к пластинке слева, падающая волна создает колебания

E0 = acosωt .

Время распространения волны через пластинку в разных местах различно и равно

τ (x)= υ(dx) = dc n(x).

Тогда на выходе из пластинки (в плоскости, примыкающей к ней справа) получаем

E(t)= acosω(t −τ )= acos ωt −ω n(x)d ,

c

или

E(t)= acos(ωt −k0n(x)d ),

42

где k0 = ωt – волновое число в вакууме.

Распределение фазы колебаний на выходе из пластинки есть

ϕ(x)=ϕ0 +k0n0 db x ,

где ϕ0 = k0n0d – константа. Мы получили линейный закон изме-

нения фазы колебаний в плоскости, примыкающей к пластинке справа. Это означает, что, пройдя через пластинку, волновой фронт повернулся (как показано на рисунке) на угол

β = arcsin nb0d .

Направление распространения составляет угол β с осью z – таким образом пластинка эквивалентна призме.

4. Две монохроматические волны одинаковой амплитуды (долина волны λ ) падают на плоский экран, как показано на ри- с.29а. Угол между сходящимися пучками света равен 2α . Найдите распределение интенсивности света на экране и ширину интерференционных полос, т.е. расстояние между двумя соседними светлыми полосами.

43

Решение:

Воспользуемся результатами задачи 2. Распределение фазы колебаний, создаваемых волной 1 на экране, запишем в виде

ϕ1 = kxsinα , а волной 2 – в виде ϕ2 = −kxsinα .

Тогда разность фаз колебания равна ∆ϕ = 2kxsinα , а интенсивность – I = 2I0 (1+cos(2kxsinα)).

График функции I = I (x) изображен на рис.29б.

Максимальной интенсивности соответствует условие cos(2kxsinα) =1,

откуда 2kxsinα = 2πm и xmax = kπsinmα .

При этом ширина интерференционной полосы равна

∆x = 2sinλ α .

Для малых углов схождения 2α можно записать

∆x = 2λa .

5. Интерферируют две синфазные плоские волны. Чему равна ширина x интерференционной полосы, если угол схождения волн на экране α , а длина волны λ ?

Решение:

На рис.30 изображены положения волновых фронтов в некоторый момент времени.

Сплошные линии соединяют точки, где в этот момент напряженность электрического поля принимает амплитудное значение E = +A. Расстояние между соседними сплошными линиями равны. Штриховые линии соединяют точки, где напряженность поля

E= −A. Расстояниемеждуштриховымилиниямитожеравны.

Вточках O, M, N, M*, N* и т.д. две волны встречаются в одинаковых фазах. Поскольку фазы колебаний обеих волн одинаково

меняются со временем (ϕ =ωt +ϕ0 ), то в любой момент времени

волны будут приходить в эти точки в одинаковых фазах и, следовательно, усиливать друг друга. Точки O, M, N, M*, N* соответствуют интерференционным максимумам.

44

Таким образом, ширина интерференционной полосы зависит от длины волны источников и угла схождения.

Этот результат справедлив для любой интерференционной схемы с малым углом схождения и углом схождения лучей (при достаточном удалении от источников волны всегда можно считать

плоскими). В частности, для точечных источников α = dL ;

x = αλ = λdL .

В красном свете ( λ ≈ 7 10−7 м) полосы шире, чем в зеленом ( λ = 5,5 10−7 м); с удалением экрана от источников полосы расширяются ( x L); сближение источников также ведет к расшире-

45

6. От точечного монохромного источника А (рис.31) отодвигают точечный монохромный источник В (источники когерентны и синфазны) до тех пор, пока в точке О, где наблюдается интерференция, не наступает потемнение. Расстояние между А и В при этом равно d = 2 мм. Расстояние между источником А и экраном составляет L = 9 м. На сколько нужно придвинуть экран к источнику А, чтобы в центреэкрана (точке О1) снова возникло потемнение?

Рис. 31

Решение:

При удалении источника В первое потемнение в точке О возникает при условии, что разность хода волн от В и А равна половине длины волны.

Если экран приблизить к источникам на расстояние l, минимум в точке О будет соответствовать разности хода три вторых длины волны:

или

d2 = λL ,

d2 = 3λ(L −l).

Отсюда l = 23 L = 6 м.

7. Два когерентных источника S1 и S2 (рис.32) с длиной

волны 0,5 мкм находится на расстоянии 2 мм друг от друга. Параллельно линии, соединяющей источники, расположен на экране на расстоянии 2 м от них. Что будет наблюдаться в точке А экрана?

d

S1 S2

∆

l

A

Рис. 32

Решение:

В точке А экрана будет максимум интенсивности, если разность хода двух лучей, исходящих из источников S1 и S2 ,

равна целому числу длин волн, и минимум интенсивности, если эта разность хода равна нечетному числу полуволн. Вычислим разность хода:

∆ = S2 A − S1 A ,

47

где

8. Сначала вертикальную мыльную пленку наблюдают в отраженном свете через красное стекло ( λ = 6,3 10−7 м). При этом расстояние между соседними красными полосами равно 3 мм. За-

тем эту пеленку наблюдают через синее стекло ( λ = 4 10−7 м). Найти расстояние между соседними синими полосами. Считать, что форма пленки за время наблюдения не изменяется.

Решение:

В глаз наблюдателя попадают лучи, отраженные от тонкого клина перпендикулярного его поверхности. Тогда для k-й и ( k +1 )-й красных полос оптические разности хода (рис.33а) соответственно равны

∆k = 2hkn − λ21 = kλ1 ,

∆k+1 = 2hk+1n − λ21 = (k +1)λ1

( cos r =1 в обоих случаях). Здесь hk и hk+1 – соответствующие

данным полосам толщины вертикальной мыльной пленки, сечение которой – клин.

48

Рис. 33а Рис. 33б

Из соотношений

∆k = 2hkn − λ21 = kλ1 ,

∆k+1 = 2hk+1n − λ21 = (k +1)λ1

находим

∆k+1 −∆k = 2hk+1n − λ21 − 2hk n − λ21 = (k +1)λ1 −kλ1 ,

откуда

2n(hk+1 −hk )= λ1 .

Аналогично для синих полос (рис.33б)

2n(hm+1 −hm )= λ2 .

Разделив почленно выражения

2n(hk+1 −hk )= λ1 и 2n(hm+1 −hm )= λ2 ,

получим

Из подобия заштрихованных треугольников следует

( λ = 5 10−5 см) освещает непрозрачный экран с двумя маленькими отверстиями S1 и S2 (рис.34), расстояние между которыми

d =1 см. Интерференционная картина возникает в плоскости наблюдения Э, находящейся от экрана с отверстиями на расстоянии h = 2 м. Определите ширину интервенционной полоски.

Э

S1

S2

h

Рис. 34

50