random books / Жорина Л.В., Старшинов Б.С. - Оптика (2011)

Решение. Изобразим ход лучей через систему линз (см. рис. 5.10). Запишем формулу для рассеивающей линзы с учетом правила знаков и найдем расстояние d0 от линзы до изображения предмета, если расстояние от линзы до предмета d = x1 − x0:

Найдем фокусное расстояние собирающей линзы, учитывая, что параллельность пучка после собирающей линзы означает, что лучи идут так, как они шли бы из фокуса линзы:

f2 = (x2 − x1) + d0 = 20 см.

Задача 5.2. Объектив фотоаппарата имеет фокусное расстояние F = 5 см, а размер кадра h×l = 24×36 мм. С какого расстояния d надо сфотографировать чертеж размером H × L = 480 × 600 мм, чтобы получить максимальный размер изображения? Какая часть

ηплощади кадра будет при этом занята изображением? Выразить

ηв виде простой дроби или десятичной дроби с точностью до второго знака после запятой.

Решение. Запишем формулу линзы:

Из отношения высот кадра (h) и чертежа (H) найдем увеличение k и свяжем его с расстоянием d0 от объектива до пленки:

Отсюда расстояние до чертежа при съемке

d = 1 +k k F = 105 см,

аотношение площадей изображения и кадра

η= 24 ∙ 30 = 5. 24 ∙ 36 6

Задача 5.3. Выберите один правильный ответ из предложенных вариантов. При фотографировании удаленного предмета фотоаппаратом, объективом которого служит собирающая линза с фокусным

61

расстоянием f, плоскость фотопленки находится от объектива на расстоянии:

1)большем, чем 2f;

2)равном 2f;

3)между f и 2f;

4)равном f.

Решение. Согласно формуле тонкой линзы, плоскость фотопленки находится от объектива на расстоянии между f и 2f.

Задача 5.4. На оси X в точке X1 = 0 находится тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием f = 30 см, а в точке X2 > 0 — плоское зеркало, перпендикулярное оси X. Главная оптическая ось линзы лежит на оси X. На собирающую линзу по оси X падает параллельный пучок света из области X < 0. Пройдя оптическую систему, пучок остается параллельным. Найти расстояние l от линзы до зеркала (в сантиметрах).

Решение. Условие задачи может быть выполнено, если плоскость зеркала пройдет через фокус линзы (в силу обратимости лучей). Ход лучей через оптическую систему в этом случае показан на рис. 5.11. На рисунке видно, что l = f = 30 см.

Рис. 5.11

Задача 5.5. Выберите один правильный ответ из предложенных вариантов. Человек с нормальным зрением рассматривает предмет невооруженным глазом. На сетчатке глаза изображение предметов получается:

1)увеличенным прямым;

2)увеличенным перевернутым;

3)уменьшенным прямым;

4)уменьшенным перевернутым.

Ответ: 4.

62

Рис. 5.12

Задача 5.6. Выберите один правильный ответ из предложенных вариантов. Фокусы рассеивающей линзы оптической системы, изображенной на рис. 5.12 обозначены F1, фокус собирающей — F2. Изображение предмета, расположенного в точке S, в этой оптической системе получается:

1)мнимым перевернутым;

2)мнимым прямым;

3)действительным перевернутым;

4)действительным прямым.

Ответ: 3.

Задача 5.7. Найдите оптическую силу D объектива проекцион-

ного аппарата, если он дает двадцатикратное увеличение k, когда слайд находится от него на расстоянии a = 21 см.

Решение. В проекторе для получения увеличенного изображения слайда на экране используется собирающая линза, поскольку изображение должно получиться действительным. Используя фор-

мулу тонкой линзы

a1 + 1b = f1

и связь между увеличением k и расстояниями от изображения и

предмета до линзы

k = h1 = b , h2 a

D = 1 = (k + 1) = 5 дптр. f ka

63

6. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА

Волновая оптика — раздел оптики, изучающий явления, в которых существенна волновая природа света. Волновые свойства света выражаются в двух характерных явлениях: интерференции и дифракции света.

В соответствии с законом электромагнитной индукции, открытым Фарадеем, любое изменение индукции магнитного поля вызывает появление в окружающем пространстве вихревого электрического поля. Максвелл предположил, что справедливо и обратное утверждение: любое изменение напряженности электрического поля сопровождается возникновением вихревого магнитного поля. Согласно гипотезе Максвелла, однажды начавшийся в некоторой точке процесс изменения электромагнитного поля будет непрерывно захватывать все новые области окружающего пространства. Максвелл показал, что электромагнитное поле может существовать и при отсутствии источников: зарядов и токов. При этом переменное электромагнитное поле в среде без источников будет представлять собой волну, называемую электромагнитной волной, распространяющуюся со скоростью

1

v = √εε0 μμ0 .

Совпадение скорости электромагнитных волн в вакууме (ε = 1,

μ = 1)

сизмеренной задолго до открытия этих волн скоростью света

с= 3 ∙ 108 м/с

послужило основанием для отождествления света с электромагнитными волнами и создания электромагнитной теории света.

Поскольку электрическое и магнитное поля имеют энергию, электромагнитная волна переносит эту энергию в направлении своего распространения. Энергия, переносимая волной через единицу площади в единицу времени, называется интенсивностью волны.

Излучателями оптических волн являются атомы и молекулы. В каждом атоме процесс излучения длится очень короткое время (порядка 10−8 с), затем обрывается и начинается вновь с иной

64

интенсивностью и начальной фазой. Поэтому два независимых источника света возбуждают волны с быстро изменяющейся разностью фаз. Если свет от таких источников направить на экран, то в результате наложения этих волн вся поверхность экрана будет равномерно освещена с некоторой средней интенсивностью. Если же одну волну разделить на две или более, то при наложении полученных таким образом когерентных волн разные точки экрана будут освещены с разной интенсивностью. Такой же эффект получим при наложении друг на друга волн от когерентных источников. Напомним, что когерентными называются источники, создающие синусоидальные волны одинаковой частоты, одинакового направления, с одинаковой фазой или постоянной разностью фаз.

6.1. Интерференция

Явление увеличения или уменьшения интенсивности света (пространственное перераспределение энергии светового излучения) при наложении нескольких когерентных волн называют интерференцией, а устойчивое пространственное распределение интенсивности света или освещенности экрана в виде чередующихся светлых и темных полос называют интерференционной картиной.

В качестве примера интерференции от двух источников рассмотрим схему опыта Юнга. Свет от источника проходит через щель S и затем падает на второй экран, в котором на близком расстоянии друг от друга прорезаны две щели: S1 и S2 (рис. 6.1). Если свет рассматривать с позиций геометрической оптики, то на экране, расположенном позади щелей, следует ожидать две яркие линии.

Рис. 6.1

65

Рис. 6.2

Однако Юнг наблюдал целую серию ярких линий и объяснил это как результат интерференции волн. Выделим две волны света, падающие на две щели. Согласно принципу Гюйгенса, за щелями волны будут распространяться по всем направлениям. Рассмотрим только волны, распространяющиеся под тремя углами (рис. 6.2). На рис. 6.2, а показаны волны, попадающие в центр экрана, при этом от каждой из щелей волны проходят одинаковое расстояние и достигают экрана в одной фазе, а в центре экрана возникает светлое пятно, что свидетельствует о максимуме интерференционной картины в данной точке. Увеличение интенсивности света при наложении двух волн возникает каждый раз, когда разность хода

S этих волн (т. е. разность путей, проходимых волнами) равна целому числу длин волн (четному числу длин полуволн), как показано на рис. 6.2, б. Но если одна из волн проходит дополнительно расстояние, равное полуцелому числу длин волн (нечетному числу длин полуволн), то обе волны попадут на экран в противофазе (рис. 6.2, в). В этом случае наблюдается минимум интерференционной картины, и экран в данном месте оказывается темным. Так образуется схема светлых и темных полос — интерференционных полос.

Определим положение этих полос на экране. Пусть расстояние между щелями равно d, а длины волн — λ. Если расстояние d между щелями очень мало по сравнению с расстоянием ` до экрана, то лучи, вдоль которых распространяются волны, вблизи экрана будут почти параллельны. На заштрихованных треугольниках (см. рис. 6.2, б, в видно, что разность хода S волн равна дополнительному расстоянию dsin θ, проходимому нижней волной, где θ — угол, образуемый лучами с перпендикуляром к поверхностям пре-

66

грады и экрана. Максимум интерференционной картины на экране наблюдается, если величина S равна целому числу длин волн или четному числу длин полуволн:

где m = 1, 2, 3, . . . называется порядком интерференционной полосы.

Соотношения (6.1) и (6.2) соответствуют случаю, когда интерферирующие волны распространяются в вакууме. Если волна распространяется в некоторой среде с показателем преломления n, то еe скорость v будет в n раз меньше, чем в вакууме. Оптической длиной пути l света называется произведение геометрической длины пути S, пройденного светом в среде, на показатель преломления n этой среды: l = nS. Величина l равна пути, проходимому светом в вакууме за то же время, за которое в данной среде он проходит путь S. В среде длина волны λ частотой ν равна

vc

λ= ν, или λ = nν,

где с = 3∙108 м/с — скорость света в вакууме, которая также уменьшится в n раз, при этом на том же участке пути будет укладываться другое число длин волн. Поэтому если интерферирующие волны проходят через среды с различными показателями преломления n1 и n2, то в фoрмулах (6.1) и (6.2) разность хода S следует заменить

оптической разностью хода:

где S1, S2 — пути, пройденные первой и второй волной соответственно.

Если обе волны распространяются в одной и той же среде с показателем преломления n, то с учетом (6.3) выражения (6.1) и (6.2) примут вид

67

где λ — длина волны в вакууме.

Максимумы интерференции будут наблюдаться в точках экрана с координатами (см. рис. 6.2, б)

xmax = ±`tg θmax.

Поскольку в действительности интерференционные полосы наблюдаются только в небольшой области экрана (так называемом поле интерференции), то можно считать, что углы θ малы и tg θ ≈ sin θ. C учетом (6.4) получим

Расстояние между двумя соседними максимумами называют

расстоянием между интерференционными полосами, а расстояние между соседними минимумами — шириной интерференционной полосы. Из формул (6.6) и (6.7) следует, что расстояния между полосами и ширина полосы имеют одинаковое значение

Две щели, изображенные на рис. 6.2, действуют подобно когерентным источникам излучения, так как разделяют свет от одного источника на две системы волн, которые когерентны в силу общности происхождения. Необходимо отметить, что интерференционная картина наблюдается только для когерентных источников. Если источники некогерентные, например лампы накаливания, то интерференции мы не увидим: любая поверхность будет равномерно освещенной.

Интерференция света порождает многочисленные явления, наблюдаемые нами в повседневной жизни, например радужные переливы мыльных пузырей или тонких пленок нефти на воде. Чтобы понять происходящее, рассмотрим тонкую пленку нефти на воде (рис. 6.3).

68

Часть падающего света отражается от верхней поверхности, а часть света проходит внутрь пленки и отражается от ее нижней поверхности. Волна, отраженная от нижней поверхности, проходит относительно волны, отраженной от верхней поверхности, дополнительный путь АВС. Если оптиче-

ский путь АВС равен длине волны или целому числу длин волн, то обе волны, интерферируя, дадут максимум интерференционной картины. Если же оптический путь АВС кратен нечетному числу длин полуволн, то интерферирующие волны окажутся в противофазе и возникнет минимум интерференции.

Если на тонкую пленку падает белый свет (т. е. свет, содержащий все длины волн), то оптический путь АВС будет кратен целому числу длин волн при данном угле зрения только для определенной длины волны. Соответствующая этому условию окраска интерференционной полосы будет яркой. Для света, падающего под другим углом, интерференция будет происходить для других длин волн, и в результате мы увидим яркие разноцветные полосы, расположенные друг за другом. На окраску и последовательность расположения полос также влияет неоднородность пленки по толщине. Таким образом, для интерференции света в тонких пленках различают полосы равного наклона и полосы равной толщины.

Полосы равного наклона наблюдаются в тех случаях, когда на плоскопараллельную тонкую пленку падает под разными углами расходящийся (или сходящийся) пучок света. Поскольку толщина и показатель преломления пленки везде одинаковы, то оптическая разность хода интерферирующих волн изменяется вдоль поверхности пленки только вследствие изменения угла падения света. Условия интерференции для всех лучей, падающих на поверхность пленки и отражающихся от нее под одним и тем же углом, одинаковы. Соответственно интерференционная картина называется полосами равного наклона. При этом интерферирующие лучи параллельны, поэтому полосы равного наклона наблюдаются на экране, установленном в фокальной плоскости собирающей линзы.

69

Рис. 6.4

Полосы равной толщины наблюдаются при отражении параллельного пучка света от тонкой прозрачной пленки, толщина которой неодинакова в разных местах. Оптическая разность хода интерферирующих волн изменяется при переходе от одних точек поверхности пленки к другим в соответствии с изменением толщины пленки, так что условия интерференции одинаковы в точках, соответствующих одинаковой толщине пленки. Полосы равной толщины можно наблюдать при освещении монохроматическим светом искривленной стеклянной поверхности (например, выпуклой линзы), соприкасающейся с плоской стеклянной поверхностью (рис. 6.4, а). Здесь мы увидим серию концентрических окружностей (рис. 6.4, б), называемых кольцами Ньютона. Они возникают вследствие интерференции света, отраженного от верхней и нижней границ воздушного зазора между стеклами. Поскольку толщина этого зазора растет по мере удаления от точки касания к краям, то дополнительный оптический путь АВС также увеличивается. Поэтому в одних местах будут наблюдаться максимумы интерференции, а в других — минимумы.

Можно заметить, что точка соприкосновения двух стекол оказывается темной (см. рис. 6.4, б). Так как оптическая разность хода волн в этой точке равна нулю, то можно было бы ожидать, что волны, отражаясь от верхней и нижней границ зазора, находятся в фазе, и точка соприкосновения будет светлой. Но в действительности она оказывается темной, и это свидетельствует о том, что волны находятся в противофазе. Так может происходить только в случае, если одна из волн при отражении меняет фазу на 180◦. Как показывают опыты, в частности с кольцами Ньютона, при отраже-

70