random books / Жорина Л.В., Старшинов Б.С. - Оптика (2011)

ограничивающих линзу поверхностей, т. е. фокусы F располагаются по обе стороны от линзы на одинаковых расстояниях.

Линия, проходящая через оптический центр линзы и не совпадающая с главной оптической осью, называется побочной оптической осью. Любая собирающая линза будет сводить параллельные лучи в точку: лучи, параллельные главной оптической оси линзы, пересекутся в фокусе F (рис. 4.6, а), а лучи, падающие на линзу под некоторым углом — в побочном фокусе F 0 (рис. 4.6, б).

Рис. 4.6

Плоскость, в которой расположены все точки типа F и F 0, называется фокальной плоскостью линзы.

У рассеивающей линзы параллельные лучи за линзой будут расходиться, а их продолжения пересекутся в фокусе (при падении на линзу под углом — в побочном фокусе F 0), расположенном со стороны падения лучей (рис. 4.7).

Рис. 4.7

41

4.4. Построение изображений в тонких линзах

Изображение предмета в линзе можно получить, построив изображение каждой его точки, т. е. найдя пересечения лучей, исходящих из этой точки, после их преломления в линзе. Для этого достаточно найти пересечение каких-либо двух из этих лучей.

Например, если известны положения линзы и ее фокусов, то изображение точки будет в месте пересечения любой пары из трех лучей: луч 1 параллелен главной оптической оси, поэтому, преломившись в линзе, он пройдет через фокус за линзой, если линза собирающая (рис. 4.8).

Рис. 4.8

Если линза рассеивающая, то луч 1 будет отклоняться от главной оптической оси так, как будто он выходит из фокуса перед линзой (рис. 4.9).

Рис. 4.9

Луч 2 проходит через центр линзы, где обе поверхности, по существу, параллельны, поэтому этот луч выйдет из линзы под первоначальным углом.

Луч 3 в случае собирающей линзы идет через фокус, расположенный по ту же сторону от линзы, что и точка, поэтому в результате преломления линзой он оказывается параллельным главной

42

оптической оси. Если линза рассеивающая, луч 3 распространяется в направлении фокуса, расположенного за линзой, и также после преломления становится параллельным главной оптической оси. Если любые два из этих преломленных лучей пересекаются в некоторой точке, то изображение будет действительным, если же пересекаются их продолжения, то изображение будет мнимым. Как видно на рис. 4.8 и 4.9, действительное изображение может быть получено только собирающей линзой, если предмет находится за фокусом, при этом изображение перевернутое. Если же предмет расположен между фокусом и линзой или линза рассеивающая, то изображение будет мнимым и прямым.

Найдем увеличение линзы. Рассмотрим предмет АА0 и его изображение ВВ0, например в рассеивающей линзе (рис. 4.10). Треугольники F BB0 и F CP , AP A0 и BP B0 подобны, поэтому

Левые части этих равенств одинаковы, так как СР = АА0. Приравняв их правые части, поделив на f и переставив члены, получим

соотношение

d1 − f1 = −F1 ,

которое представляет собой уравнение (4.8) для рассеивающей линзы, если учесть правило знаков:

Рис. 4.10

1)фокусное расстояние F берется со знаком «+» для собирающих линз и со знаком «–» для рассеивающих;

2)расстояние d до предмета берется со знаком «+», если предмет действительный, и со знаком «–», если мнимый;

43

3) расстояние до изображения f берется со знаком «+», если предмет и изображение находятся по разные стороны от линзы (действительное изображение), и со знаком «–», если предмет и изображение находятся по одну сторону от линзы (изображение мнимое).

Используя рис. 4.10, можно найти увеличение линзы, т. е. отношение высоты изображения h0 к высоте предмета h:

Примеры решения задач

Задача 4.1. Прямая нить накала лампы размером d, параллельная плоскости линзы и находящаяся на расстоянии а от линзы, дает четкое изображение на экране, расположенном на расстоянии b от линзы. Выберите правильное продолжение фразы. Размер изображения равен:

1)dab ;

2)dab ;

3)da +a b;

4)da +b b.

Решение. По определению увеличение линзы Г = xd = ab →

→ x = bda . (Следовательно, правильный ответ: 2).

Задача 4.2. На каком расстоянии от собирающей линзы с фокусным расстоянием 60 см следует поместить предмет, чтобы его действительное изображение получилось уменьшенным в 2 раза?

Решение. По условию f = d/2. Формула линзы имеет вид 1/F = 1/d + 2/d = 3/d; тогда d = 3F = 180 см = 1,8 м.

Задача 4.3. На каком расстоянии от рассеивающей линзы с оптической силой D = −4 дптр нужно поместить предмет, чтобы его мнимое изображение получилось в 4 раза меньше самого предмета. Построить ход лучей.

44

проведем через оптический центр, точка А1 — их пересечение. Проведем через оптический центр линзы вспомогательный луч, параллельный произвольному лучу ВС. Параллельные лучи после преломления в линзе пересекаются в точке, лежащей на фокальной плоскости, К — точка пересечения луча ВС с фокальной

Рис. 4.13

45

плоскостью ab. Главная оптическая ось mn пересекается с лучом СК в точке В1, А1В1 — действительное изображение стрелки АВ.

Задача 4.5. Построить изображение стрелки АВ (рис. 4.14), даваемое рассеивающей линзой. Будет ли это изображение параллельным главной оптической оси линзы, если стрелка АВ ей параллельна?

Решение. Проведем луч из точки А параллельно главной оптической оси mn (рис. 4.15), после преломления он пройдет через точку F1. Второй луч проведем из точки А через оптический центр О. Точка пересечения продолжений преломленных лучей А1 — мнимое изображение точки А. Аналогично строим мнимое изображение точки В1; А1В1 — мнимое изображение предмета АВ. При этом отрезок А1В1 не параллелен оси mn.

Задача 4.6. Известен ход луча SА после его преломления в рассеивающей линзе (рис. 4.16). Найдите с помощью геометрического построения положение главных фокусов линзы.

Решение. Побочная оптическая ось О1О2 параллельна лучу SA (рис. 4.17). Точка С — пересечение продолжения АВ и О1О2 на

46

фокальной плоскости. Пересечение фокальной плоскости с главной оптической осью дает положение фокуса.

Задача 4.7. Постройте изображение точки S, лежащей на главной оптической оси рассеивающей линзы на расстоянии, большем фокусного. Положения фокусов линзы заданы.

Решение. Чтобы построить изображение точки S, нужно найти ход двух любых лучей, выходящих из точки S. Рассмотрим ход луча SO (падающего на оптический центр линзы О) и произвольного луча SA (рис. 4.18). Чтобы найти дальнейший ход луча SA, проведем побочную оптическую ось О1О2, параллельную лучу SA. Эта ось пересекает фокальную плоскость в точке С. После преломления в линзе продолжение луча АВ также должно пройти через точку С. Изображение S0 находится в точке пересечения лучей OS и AB.

Рис. 4.18

Рис. 4.19 Рис. 4.20

Задача 4.8. Постройте изображение предмета АВ в тонкой собирающей линзе (рис. 4.19).

Решение. Луч 1 пустим по главной оптической оси, луч 2 — произвольный луч (рис. 4.20); А0В0 — изображение предмета.

Задача 4.9. Расстояние от предмета до переднего фокуса собирающей линзы `1, а расстояние от ее заднего фокуса до изображе-

47

ния `2 — (рис. 4.21). Чему равно фокусное расстояние линзы F и ее линейное увеличение Г?

Рис. 4.21

Решение. Обозначим расстояние от предмета АВ до линзы d = `1 + F , а расстояние от линзы до изображения f = F + `2.

Тогда формулу линзы

d1 + f1 = F1

можно записать как

отсюда

F (F + `2) + F (`1 + F ) = (`1 + F )(F + `2) и F 2 = `1`2, p

Подставив (4.10) в (4.11), получим линейное увеличение Γ = r

= `2 . `1

Задача 4.10. На главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием 12 см находится точечный источник света на расстоянии 6 см от линзы. По ту же сторону, что и источник, перпендикулярно главной оптической оси помещают плоское зеркало с тем, чтобы по другую сторону от линзы на расстоянии 20 см от нее существовало действительное изображение источника. Найдите расстояние от зеркала до линзы.

48

Рис. 4.22

Решение. Для того чтобы существовало действительное изображение источника S0 на расстоянии f от линзы, необходимо, как известно, чтобы сам источник находился на расстоянии d1 от нее (рис. 4.22), определяемом формулой линзы

Но по условию задачи источник S находится на расстоянии d от линзы. Значит, плоское зеркало необходимо для того, чтобы полученное в нем мнимое изображение источника S1 находилось на расстоянии d1 от линзы и служило для нее источником света (см. рис. 4.22). Из того, что источник света S и его мнимое изображение S1 в плоском зеркале всегда расположены симметрично относительно плоскости зеркала, следует, что зеркало нужно расположить так, чтобы его плоскость делила отрезок |S1S| пополам, т. е. |S1C| = |CS|. Из рис. 4.22 следует, что |S1S| = d1 − d. Значит,

5.ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ПРИБОРЫ

5.1.Аберрации оптических систем

Простейшая оптическая система — линза. Однако она дает хорошее изображение только в узких одноцветных пучках, идущих вдоль главной оптической оси. Для совершенных изображений создают сложные оптические системы, имеющие большое число преломляющих поверхностей. Тем не менее сложные оптические системы также имеют недостатки, погрешности в изображении, называемые аберрациями.

Рассмотрим сферическую аберрацию. При большом диаметре линзы лучи, проходящие через отдельные зоны линзы, расположенные на разных расстояниях от оси, дают изображения источника, лежащие на разных расстояниях от линзы. В результате линза большого диаметра дает изображение точечного источника не в виде точки, а в виде расплывчатого светлого пятна (рис. 5.1). Если рядом с положительной линзой поставить отрицательную линзу, то рассеивающая линза благодаря своей сферической аберрации (в некотором смысле обратной сферической аберрации собирающей линзы) выравнивает различие фокусных расстояний центральных и периферических лучей, обусловленное сферической аберрацией собирающей линзы.

Рис. 5.1

Астигматизм проявляется при использовании световых пучков, составляющих значительный угол с главной оптической осью

50