random books / Жорина Л.В., Старшинов Б.С. - Оптика (2011)

Рис. 3.4

Рассмотрим преломление света треугольной призмой, на которую падает из воздуха перпендикулярно одной из ее граней луч света. Преломляющим углом призмы называется угол между гранями призмы, на которых происходит преломление света. Пусть абсолютный показатель преломления материала призмы n, ее преломляющий угол α (рис. 3.4). Рассмотрим два случая.

Случай 1. Преломляющий угол призмы меньше угла полного внутреннего отражения (α < α0).

Найдем угол отклонения δ луча от первоначального направления падения после преломления луча призмой.

При нормальном падении на грань АВ призмы луч не преломляется, падая на вторую преломляющую грань АС под углом α ( LОК = ВАС = α как углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Угол преломления β = К0ОМ на грани АС

найдем из закона преломления sinsin αβ = n1 . При малом преломля-

ющем угле призмы α можно считать, что sin α ≈ α, sin β ≈ β, поэтому β ≈ nα.

Как показано на рис. 3.4, треугольная призма отклоняет луч, падающий на нее из воздуха, к основанию. Угол отклонения луча

δ = β − α. Тогда

δ = α(n − 1).

Чем больше преломляющий угол призмы и абсолютный показатель преломления вещества, из которого она сделана, тем больше она отклоняет луч от первоначального направления.

31

Рис. 3.5

Случай 2. Преломляющий угол призмы больше угла полного внутреннего отражения (α > α0).

Пусть для определенности призма стеклянная, α0 = 42◦, а α = 45◦ (рис. 3.5). Луч, нормально падающий на грань АВ, не преломляется на ней. Его угол падения на грань АС равен 45◦ > α0, поэтому в точке О он испытывает полное внутреннее отражение. На грань ВС отраженный луч падает перпендикулярно и не преломляется, выходя из призмы под углом 90◦ к направлению падения. Такую призму называют поворотной, так как она поворачивает луч на угол 90◦.

Полное внутреннее отражение используется во многих оптических приборах. Например, в биноклях и перископах для отражения света применяются не зеркала, а специальные призмы (рис. 3.6, 3.7), при этом доcтигается почти 100 %-ное отражение света.

32

Примеры решения задач

Задача 3.1. На дне водоема глубиной Н = 1,2 м находится точечный источник света. Найдите наибольшее расстояние от источника до того места на поверхности воды, где лучи выходят за пределы воды. Показатель преломления воды n = 1,33.

Решение. Обозначения отрезков и углов показаны на рис. 3.8. Очевидно, что луч, идущий под углом к вертикали, больше чем α, не выйдет из воды, а испытает полное внутреннее отраже-

Но S = ` sin α = n. Следовательно, ` = √n2 − 1.

Задача 3.2. Шар радиусом R из стекла с показателем преломления n разрезан но диаметру. На диаметральную плоскость одной из половин шара нормально падает параллельный пучок света. На каком расстоянии от центра шара пересекут главную оптическую ось лучи, прошедшие сферическую поверхность на наибольшем удалении от этой оси?

Решение. Ход луча, удовлетворяющего условию задачи, изображен на рис. 3.9. Отметим, что для него луч, преломленный в точке А, пойдет перпендикулярно радиусу ОА и пересечет главную оптическую ось в точке В.

По закону преломления sin α = n1 , так что лучи, идущие па-

раллельно выбранному лучу дальше от прямой ОВ, из полушара не выйдут в силу полного внутреннего отражения.

Из треугольника ОАВ находим

33

Задача 3.3. Луч света, лежащий в плоскости (рис. 3.10), падает на боковую грань АВ призмы, имеющей при вершине угол 90◦. В каких пределах лежат возможные значения угла падения α, если известно, что луч вы-

Рис. 3.10 ходит из боковой грани АС? Показатель преломления призмы n = 1,25.

Решение. По закону преломления луча на гранях призмы АВ и АС имеем систему уравнений

(

sin α = n sin β;

nsin(90◦ − β) = sin γ.

Для того чтобы луч не испытал полное внутреннее отражение на грани АС, необходимо выполнение условия sin γ < 1, т. е. ncos β < 1, а с учетом первого уравнения системы и основного тригонометрического тождества получим

s

откуда имеем √n2 − 1 < sin α.

√

Значит, arcsin n2 − 1 < α < 90◦, так как α — острый угол. Следовательно, 48◦400 < α < 90◦.

Задача 3.4. Пучок параллельных световых лучей падает по нормали на плоскую грань стеклянной призмы с показателем преломления n и выходит из призмы под углом θ к первоначальному направлению падения. Угол α при вершине призмы весьма мал. Найдите угол α.

Решение. По условию угол α мал, поэтому считаем, что sin α = α. Луч, проходя через точку А, не преломляется (рис. 3.11), а для точ-

Рис. 3.11 ки В запишем закон преломления света в виде n sin α = sin(α + θ). Угол θ также мал, поэто-

му мал и угол (α + θ). Имеем nα = α + θ, откуда α = n −θ 1.

34

Задача 3.5. Сечение стеклянной призмы имеет форму равностороннего треугольника. Луч падает на одну из граней перпендикулярно к ней. Вычислите угол между этим лучом и лучом, вышедшим из призмы. Показатель преломления стекла n = 1, 5.

Решение. Поскольку луч падает на первую грань призмы по нор-

молинейно доходит до точки Е. Запишем для этой точки закон пре-

жет быть. Следовательно, в точке Е будет полное внутреннее отражение, и через вторую грань луч из приз-

мы не выйдет. Геометрически ясно, что, отразившись от второй грани, луч пойдет по нормали к третьей. А значит, он выйдет из призмы без преломления. Таким образом, искомый угол равен

2 ∙ 60◦ = 120◦.

Задача 3.6. Сечение стеклянной призмы имеет форму равнобедренного треугольника. Одна из больших граней посеребрена. Луч света падает нормально на другую большую непосеребренную грань и после двух отражений выходит через основание призмы перпендикулярно ему. Найдите углы призмы.

Решение. На рис. 3.13 показан ход луча в призме, неизвестный угол при вершине которой обозначен α. Величины остальных углов легко выражаются через α. Применим к треугольнику АВС

Рис. 3.13

35

теорему о сумме углов: α + (90◦ + α) + α2 = 180◦, откуда находим

α = 36◦. Тогда другие два угла будут по 72◦.

Задача 3.7. Луч света падает на трехгранную призму под углом α (рис. 3.14). Призма сделана из стекла с показателем преломления n. Преломляющий угол при вершине призмы ϕ. Под каким углом ψ луч выйдет из призмы и каков угол θ отклонения луча от первоначального направления?

ме углов треугольника АВС и четырех-

+= 360◦. Откуда γ = ϕ − β. Зна-

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух его внутренних углов, с ним не смежных, то θ = (α − β) + (ψ − γ) = = (a + ψ) − (β + γ). Но ранее найден угол β + γ = ϕ. Тогда

θ= α − ϕ + ψ, где ψ — уже определенный угол.

4.ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА НА СФЕРИЧЕСКОЙ

ПОВЕРХНОСТИ

4.1. Преломление луча на сферической поверхности раздела прозрачных сред

Пусть источник света находится в среде с показателем преломления n1 и лучи, исходящие из него, попадают в среду с показателем преломления n2, а точка О — центр кривизны сферической поверхности радиуса R (рис. 4.1).

36

Рис. 4.1

Рассмотрим произвольный луч SР, выходящий из точки S, в предположении, что он составляет малый угол α с прямой SО. По закону преломления n1sin θ1 = n2sin θ2.

Так как мы предположили, что угол α мал, то углы θ1 и θ2

Поскольку рассматриваем только случай малых углов, можно записать следующие приближенные равенства (полагая тангенсы углов α, β, γ приближенно равными самим углам):

где h — расстояние от прямой SС до точки Р; d — расстояние от источника до преломляющей поверхности; f — расстояние до изображения.

Подставив (4.2) в (4.1), после деления результата на h получим

Из (4.3) ясно, что при заданной величине d расстояние до изображения f не зависит от угла, образуемого лучом с осью. Следовательно, все лучи, составляющие малые углы с осью и друг с другом, соберутся в точке С.

37

Рис. 4.2

Уравнение (4.3) справедливо и для случая падения луча на вогнутую поверхность (рис. 4.2), если учесть правило знаков:

1)для выпуклой преломляющей поверхности радиус кривизны берется со знаком «+», а для вогнутой преломляющей поверхности — со знаком «–»;

2)расстояние до изображения f берется со знаком «+», если ис-

точник света и изображение находятся по разные стороны от преломляющей поверхности (действительное изображение, т. е. изображение получено при пересечении преломленных лучей), и со знаком «–», если источник и изображение находятся по одну сторону от поверхности (изображение мнимое, т. е. получено при пересечении продолжений преломленных лучей);

3) расстояние d до предмета берется со знаком «+», если предмет действительный, и со знаком «–», если предмет мнимый, когда сам предмет является изображением, полученным от какой-либо линзы или зеркала; при этом лучи на преломляющую поверхность идут сходящимся пучком.

Для случая, изображенного на рис. 4.2, значения величин R и f в уравнение (4.3) следует подставлять со знаком «минус».

4.2. Линзы. Уравнение шлифовщика линз

Тонкие линзы являются наиболее простыми и вместе с тем очень важными оптическими устройствами. По своему внешнему виду они обычно бывают круглыми (причем толщина линзы много меньше ее диаметра) и каждая из поверхностей линзы представляет собой сегмент сферы (иногда часть цилиндрической поверхности).

38

Ограничивающая линзу поверхность может быть выпуклой, вогнутой или плоской. В зависимости от этого линзы называют двояковыпуклыми, двояковогнутыми, плосковыпуклыми или плосковогнутыми. При этом линзы более толстые в центре, чем по краям, называют собирающими (рис. 4.3), а линзы, которые в центре тоньше, чем у краев, — рассеивающими (рис. 4.4). Линия, проходящая через центры кривизны обеих поверхностей линзы, называется главной оптической осью. Средние точки частей сферических поверхностей, ограничивающих линзу, сливаются для тонких линз в одну точку, называемую оптическим центром линзы.

Рассмотрим двояковыпуклую линзу, толщина которой в центре равна `, а радиусы кривизны сферических поверхностей R1 и R2 (рис. 4.5). Пусть линза изготовлена из материала с показателем преломления n2 и находится в среде с показателем преломления n1 < n2. Для передней поверхности линзы (т. е. со стороны распространения луча) уравнение (4.3) примет вид

Рис. 4.5

39

где знак «–» перед вычитаемым вторым слагаемым в левой части связан с тем, что при таком расположении источника и линзы, как на рис. 4.5, изображение S0 мнимое.

Применим уравнение (4.3) ко второй поверхности. Лучи падают на вторую поверхность так, как если бы они исходили из точки S0 в среде с показателем преломления n2. В силу правила знаков

если ее рассматривать со стороны распространения луча, вогнутая. Предполагая, что толщина линзы ` мала по сравнению с рас-

Соотношение (4.6) называют уравнением шлифовщика линз.

4.3. Формула тонкой линзы

Если на тонкую линзу падают лучи, параллельные главной оптической оси, то они соберутся в точке, называемой фокальной точкой, или фокусом F . Поэтому если источник удалить на бесконечность (d = ∞), то на линзу будут падать лучи, параллельные главной оптической оси, и расстояние до изображения f совпадет

Это и есть уравнение тонкой линзы.

Величина, обратная фокусному расстоянию D = F1 , называет-

ся оптической силой линзы (измеряется в диоптриях — дптр). Как следует из выражения (4.7), если линзу перевернуть так,

что свет будет падать на нее с противоположной стороны, то фокусное расстояние останется прежним даже при различной кривизне

40