random books / Жорина Л.В., Старшинов Б.С. - Оптика (2011)

Задача 2.4. Светящаяся точка А находится между тремя зеркалами так, как показано на рис. 2.14, где зеркала 1 и 3 параллельны друг другу, зеркало 2 перпенди-

кулярно им. Постройте луч, который после Рис. 2.14 последовательного отражения в зеркалах вернется в точку А.

Решение. Выходящие из точки А лучи будут падать на зеркала и отражаться от них расходящимися пучками, давая всякий раз на своем продолжении мнимые изображения. В нашем случае точка А даст в зеркалах три мнимых изображения, расположенных симметрично точке А относительно зеркал. Каждое изображение будет источником для этих зеркал и даст, в свою очередь, новые изображения. Отсюда следует, что в данной задаче число изображений точки А будет бесконечно и построить их все невозможно. Поэтому будем строить их последовательно одно за другим до тех пор, пока не выполнится условие задачи.

Изображение в одном зеркале можно считать предметом для другого. Точка А в зеркале 1 даст изображение А1 (рис. 2.15), которое будет предметом для зеркала 2. При этом точки А и А1 будут расположены симметрично относительно зеркала 1. Изображение в зеркале 2 будет расположено симметрично точке А1 относительно зеркала 2. Изображение А3 точки А2 в зеркале 3 будет расположено симметрично точке А2 относительно зеркала 3. Поскольку изображение А1 получается на продолжении лучей, отраженных зеркалом 1, изображение А2 — на продолжении лучей, отраженных зеркалом 2, изображение А3 — на продолжении лучей, отраженных зеркалом 3, на изображении А3 следует остановиться (так как по

Рис. 2.15

21

условию задачи луч должен последовательно отразиться от всех зеркал по одному разу и вернуться в точку А).

Прямая, соединяющая точки А3 и А, определит направление луча, отраженного зеркалом 3 в направлении точки А. В точку D пересечения этой прямой с зеркалом 3 луч падает, как будто он выходит из точки А2. Поэтому прямая А2D определит направление луча, отраженного зеркалом 2 в направлении точки D. Аналогично в точку С пересечения этой прямой с зеркалом 2 луч падает, как будто он выходит из точки А1, и прямая А1С определит направление луча, отраженного зеркалом 1 в направлении точки С. Для окончательного решения задачи осталось лишь направить луч из точки А в точку В пересечения прямой А1С с зеркалом 1.

В точках В и С также выполняется закон отражения. Действительно, треугольники АВЕ и А1ВЕ равны (по построениюАЕВ = А1ЕВ = 90◦, АЕ = А1Е, сторона ВЕ общая), поэтому АВЕ = А1ВЕ. Если ВА1А2 = А1ВЕ, то угол падения луча АВ на поверхность зеркала 1 будет равен углу отражения луча ВС. Аналогично, рассмотрев треугольники А1СМ и А2СМ , А2DN и А3DN, можно показать, что закон отражения также выполняется на зеркалах 2 и 3.

Задача 2.5. Какого наименьшего размера ` должно быть плоское зеркало, чтобы, встав перед ним, человек ростом h = 170 см увидел себя в полный рост?

Решение. Глядя в зеркало, человек видит свое мнимое изображение A0G0. Пуcть глаза человека находятся на расстоянии h0 от его макушки. Построим ход лучей, отраженных от плоского зеркала (рис. 2.16). Луч, идущий от точки A, отразившись от зеркала, переходит в луч ВЕ и попадает в глаз (точка Е). Так как луч от точки А попадает в глаз после отражения в точке В, то нет необходимости в наличии зеркала ниже этой точки. Поскольку угол

Рис. 2.16

22

отражения равен углу падения, высота ВD составляет половину высоты АЕ. Но АЕ = h − h0, поэтому ВD = 12(h − h0). Eсли человек должен видеть свою макушку, то верхний край зеркала

должен доходить только до точки F , которая на 12h0 ниже макушки. Следовательно, DF = h− 12h0, и зеркало должно иметь высоту

BF = DF − BD = 1h = 85 см. При этом нижний край зеркала

должен находиться на2высоте ВD от пола.

Задача 2.6. Танцовщица в репетиционном классе движется со скоростью v0 = 1,5 м/с под углом α = 30◦ к зеркальной стене. С какой скоростью она приближается к своему изображению?

Решение. В любой момент танцовщица и ее изображение в зеркале будут расположены симметрично относительно стены. Поскольку за равные промежутки времени танцовщица и ее изображение проходят одинаковые расстояния, АВ = А0В0 (рис. 2.17), изображение будет приближаться к зеркалу со скоростью v, равной по значению скорости v0 танцовщицы и направленной под углом α к стене. При этом скорость танцовщицы относительно ее изображения будет равна ~vотн = ~v0 − ~v. Модуль скорости можно

Рис. 2.17

Задача 2.7. Стеклянный шар (показатель преломления n) освещается узким расходящимся пучком лучей, ось которого проходит через центр шара. Источник света расположен на расстоянии ` от поверхности. На таком же расстоянии от поверхности, но по

23

Рис. 2.18

другую сторону от шара находится изображение источника. Определите радиус шара.

Решение. Изображение источника света находится в точке пересечения любого луча пучка и осевого луча. В силу симметрии источника света и его изображения относительно центра шара и обратимости световых лучей луч внутри шара пойдет горизонтально (рис. 2.18). Пренебрегая длиной отрезка ВС по сравнению с радиусом шара по закону преломления света в точке А имеем систему уравнений:

β = R.

Подставляя из второго и третьего уравнений полученной системы

углы α и β в первое уравнение, придем к следующему результату:

R = `(n − 1).

Задача 2.8. Сколько изображений даст светящаяся точка, находящаяся на биссектрисе двугранного угла α = 45◦, образованного двумя плоскими зеркалами?

Решение. Светящаяся точка S даст два мнимых изображения S1 и S2 (рис. 2.19), расположенных симметрично точке S относи-

24

Рис. 2.19

тельно зеркал ОА и ОВ. Из равенства треугольников АOS, BOS, АOS1, BOS2 следует, что изображения S1 и S2 лежат на дуге окружности с центром в точке О и радиусом R = OS, SOS1 = α. Мнимый источник S1 отражается в зеркале ОВ, давая изображение S3, лежащее на той же окружности (так как OS3 = OS1 = OS), причем угол между прямыми OS3 и OS равен 2α = 90◦.

Аналогично образуется изображение S4 мнимого источника S2 в зеркале ОА. Изображения S5 и S6 образуются точно так же, а углы между прямыми OS и OS5, OS и OS6 одинаковы и равны 3α = 135◦. Изображения S5 и S6, отражаясь в зеркалах ОВ и ОА соответственно, дадут изображения, которые наложатся друг на друга в точке S7. Следовательно, все-

го будет семь изображений светящейся точки S.

Задача 2.9. Найдите фокусное расстояние вогнутого сферического зеркала радиусом R для луча, падающего на зеркало параллельно главной оптической оси на расстоянии a от нее.

Решение. На рис. 2.20 в равнобедренном (по двум углам при основании ОА)

треугольнике АОF боковую сторону ОF = АF выразим через основание ОА = R и угол α (на рисунке R не указан). По теореме косинусов

OF 2 = OA2 + OF 2 − 2OA ∙ OF cos α,

25

и, как следует из последней формулы, зависит от а, т. е. для разных лучей будет разным. Для параксиальных лучей (a R)

Следовательно, лучи, идущие вблизи главной оптической оси параллельно ей, собираются в одну точку — фокус зеркала.

Задача 2.10. Предмет расположен перед вогнутым сферическим зеркалом перпендикулярно к его главной оптической оси так, что отношение линейных размеров действительного изображения и предмета Г1 = 1,5. После того, как предмет отодвинули от зеркала на расстояние ` = 16 см, отношение размеров изображения и предмета Г2 = 0,5. Найти радиус кривизны зеркала.

Решение. В отличие от плоских зеркал, в которых изображение всегда мнимое, в случае сферического зеркала можно получить как мнимое, так и действительное изображение. Например, если предмет АВ находится между фокусом и оптическим центром вогнутого сферического зеркала с радиусом кривизны R (рис. 2.21, радиус R на рисунке не обозначен), то изображение действительное и увеличенное. В случаях если источник расположен за оптическим центром зеркала, изображение будет действительным

иуменьшенным. Если же источник расположен между фокусом

иповерхностью зеркала, то изображение будет мнимым и увеличенным. Очевидно, что в нашей задаче первоначально предмет

26

Рис. 2.21

находился между фокусом и оптическим центром зеркала, а после того как его отодвинули — за оптическим центром.

Обозначим расстояния от предмета до зеркала и от зеркала до изображения буквами d и f соответственно. Радиус кривизны R и фокусное расстояние F сферического зеркала связаны соотношением R = 2F . Следовательно, задача сводится к нахождению фокусного расстояния зеркала. Используя формулу вогнутого зеркала

Выразив из соотношения (2.4) значение

3.ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА

3.1.Полное внутреннее отражение света, предельный угол

Из закона Снеллиуса следует, что если свет переходит в среду с меньшим показателем преломления, т. е. когда n21 < 1 (рис. 3.1), он отклоняется от нормали, при этом может оказаться, что при

определенном угле падения величина sin β = sin α будет больше единицы.

Рис. 3.1

Угол падения α0, при котором sin α0 = 1, называется кри-

n2,1

тическим углом, или предельным углом полного внутреннего отражения. Другими словами, угол падения α0, при котором угол преломления β = 90◦, а преломленный луч отсутствует, называет-

ся предельным (критическим) углом падения света и sin α0 = n2 . n1

28

Если свет переходит из какой-либо среды с абсолютным показателем преломления n в воздух, абсолютный показатель преломления которого приближенно можно принять за единицу, то

1 α0 = arcsin n.

При углах падения, меньших α0, преломленный луч существует. Но по мере приближения угла α к предельному α0 интенсивность преломленного пучка, непрерывно уменьшаясь, обращается в нуль. Интенсивность же отраженного пучка, непрерывно возрастая, становится равной интенсивности падающего пучка, и если угол падения превышает критический, то преломленный луч отсутствует и весь свет отражается. Это явление получило название

полного внутреннего отражения.

Полное (внутреннее) отражение — явление отражения света на границе двух прозрачных сред при отсутствии преломленного света.

На полном внутреннем отражении основана вся волоконная оптика: свет передается по пучку тонких прозрачных волокон (световоду), испытывая только скользящие отражения от стенок, т. е. претерпевая полное внутреннее отражение (рис. 3.2). Световод представляет собой тонкое волокно ци-

линдрической формы из кварцeвого стекла с добавлением германия или бора. Толщина волокон варьируется от 100 до 1 мкм и меньше. За счет многократного полного

отражения свет может быть направлен по Рис. 3.2 любому прямому или изогнутому пути. Волокна набираются в жгуты с числом волокон до миллиона. Таким

образом создаются волоконные линии связи протяженностью до сотен километров.

3.2.Прохождение света через плоскопараллельную пластину

ичерез трехгранную призму

Внекоторых случаях световой пучок пересекает границы раздела различных сред не один раз, например, когда луч света падает

29

Рис. 3.3

из воздуха (n1 = 1) под углом α на прозрачную плоскопараллельную пластину (n2 = n) толщиной d (рис. 3.3).

По закону преломления на верхней границе пластины sinsin αβ =

= n. Угол падения луча в точке О2 на нижней границе пластины равен углу преломления β на ее верхней границе как накрест лежащие углы при параллельных прямых (перпендикулярах к границам раздела в точках О1 и О2). Поэтому закон преломления на ниж-

ней границе пластины имеет вид sinsinϕβ = n1 . Перемножая левые и правые части закона преломления на верхней и нижней границах

пластины, получаем sinsinϕα = 1, т. е. ϕ = α.

Таким образом, при прохождении через плоскопараллельную пластину луч не изменяет своего направления, он только смещается. Боковое смещение луча h пропорционально толщине пластины d: чем толще пластина, чем больше угол падения луча и показатель преломления материала пластины, тем больше смещение луча h.

То, что угол выхода луча равен углу падения на пластину, можно доказать и по принципу обратимости лучей. Если луч падает из среды 1 под углом α и преломляется в среде 2 под углом β, то, падая из среды 2 под углом β, луч будет преломляться в среде 1 под углом α.

30